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point m pris sur l’une des nappes de la surface conique 2, on peut toujours mener une droite Z parallèle à une génératrice droite G de celle surface 2.

Dès lors, la droite Z ne percera cette surface 2 qu'en le seul point m.

Si par la droite Z nous menons une suite de plans P, P', P", ... chacun de ces plans sera parallèle à la génératrice G, et il n’y aura entre eux qu’un seul plan P, ; qui sera parallèle nu plan 0 tangent à la surface 2 suivant la génératrice G.

Dès lors tous les plans P, P', P”,... couperont le cône 2 suivant dis hyperboles, et le plan P, sera le seul qui coupera ce cône 2 suivant uue parabole.

Ainsi, pour que deux coniques X et Y ne se coupent qu'en un seul point m, il faut qu’elles soient ou I" deux hyperboles, ou i“ une liyjierbole et une parabole ; et il est facile de voir que dans le premier cas les deux hyperboles ont chacune une de leurs deux asymptotes parallèles aux droites G et Z , et que dans le second ras riiv|>erbole èl la parabole sont des courbes telles, que l'axe intiui de la parabole est parallèle à l une des deux asymptotes de l’hyperbole, et ainsi à l’asymptote qui est elle-même parallèle aux droites G et Z.

Cela |>osé :

11 serait à craindre que les deux coniques y et S se coupassent en un seul point m, lorsque toutes deux: seront hyperboliques, ou lorsque l’une d’elles serait une hyper- ^

’’ bole , l’autre étant une parabole.

Mais comme la base commune aux trois cônes A, B, I) est un cercle C, si par hasard le point b pris sur la couique E se trouve placé de manière à ce que la courlre 6 intersection des cônes A et B se trouve être une hyperbole ou une parabole , on pourra toujours choisir un point d sur la courbe E, tel que le cône D coupe le cône A suivant une ellipse y. Et en effet : en unissant les points a et d par une droite et faisant glisser le cône D parallèlement à lui-même jusqu’en la position D', [>osition eu laquelle le sommet d sera venu 6e superposer sur le sommet a, ce cône D' sera V coupé par le plan du cercle C , suivant un cercle G'; et il est évident que l’on pourra toujours choisir sur la conique E , le point d de telle manière que les deux cercles G et C' ne se coupent pas ou ne se touchent pas, en un mot n’aient entre eux aucun point commun ; et l’on sait que dans ce cas les deux cônes A et D se coupent toujours suivant une ellipse.

l’ar conséquent , les deux coniques S et y se couperont toujours en deux points metm,.

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Il suit île ce qui précède que si l’on se donne deux coniipies quelconques C et E

tangentes l’une à l’autre en un point m et situées dans des plans différents , ces deux *2 s '■•, - v -\ /- ’M

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coniques ne pourront être enveloppées par un cène , qu’autant qu’elles auront entre elles une position convenable. r . e" '.*3

Ainsi, ces courbes E et E étant deux hyperboles, ou deux paraboles, ou une 'ri? ‘.a

hyperbole et une parabole, ne pourront pas être placées sur un cône, si les sommets K 1 ' ’ Jv ‘ ♦ ' des branches en contact par le point m ont leurs sommets situés l’un a droite et l’aulre •.;/ - ■ ■’ ”

à gauche du plan normal mené à la tangente B par le point m, comme l'indiquent les figures IV, V et VI. .j J

Car l'on sait à priori qu'il est impossible de couper un cône par deux plans de manière à avoir des coniques ainsi disposées l’une par rapport à l'autre; il tant ... • 1

quo les sommets des deux branches en contact au point m soient placés tous les deux, V\' ; ■

ou à droite, ou à gauche du plan normal mené à la tangente B par le point m, en un Ù • '.-jj

mot soient placés tous les deux d’un même côté par rapport à ce plan normal, • -W ’ :

comme l’indiquent les figures VU , VIII et IX. ’V" , .. I

Dans le cas où les coniques C et E auraient entre elles lu position indiquée par >0 .

les figures IV, V et VI , la construction des courbes S et y devrait nous indiquer l’im- • V r r f V possibilité d’unir les deux courbes C et E par un cône; et cette’ impossibilité sera

manifesté», par la manière d’être entre elles des courbes S et y ; aussi la construction graphique nous montrera-t-elle que ces courbes 6 et y no se eoupeul qu'eu le seul point m ; et elles seront dès lors disposées sur le cône A , comme nous l’avons dit § X.

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