P V KM
équivalent P'Xwn = PxKM d'où F =— ^^^^ . Opérez
d'une manière analogue pour la force Q; ce qui donnera une force verticale Q appliquée en K' et un couple Q' X mn = Q X M'K' agissant en sens contraire du précédent. Ces deux couples tireront le point fixe G dans le sens et la direction G B avec un effort
p, Q,PXKM-^QXM^K^
mn
et le point fixe c avec un effort égal parallèle, mais dirigé en sens contraire, de sorte que, au fond, tout le système se résume, savoir : 1» en an couple P X KM — Q X K'M' appliqué à la droite Ce qui joint les points fixes et tend ainsi à renverser toute la machine vers le côté droit; 2'*^en deux forces verticales égales P= Q qui, agissant sur des bras de levier égaux^ se font naturellement équilibre, et pressent sur les appuis fixes Ce avec un effort (P-}- Q) = leur somme.
9. On remarque que l'équilibre aurait encore lieu quand bien même les points d'encastrement E, E' seraient placés en des points quelconques de Aa et deBi, et enfin que, quelque mouvement qu'on imprime au parallélogramme articulé, le travail de P est Don-seulcment égal mais identique à celui de Q, les efforts et les chemins parcourus étant respectivement les mômes de part et d'autre.
10. Cette remarque a échappé à l'auteur d^un projet de mouvemeni perpétuel déposé au Conservatoire des arts et métiers, et dont la figure 3, planche LXXXIX indique le faux principe. Une chaîne sans fia passant sur deux poulies mobiles autour de leurs axes fixes
1046 LEVIEBS.
porte de petites masses qae la rotation éloigne de la chatae^ lorsqa'elles passent à droite et rapproche de cette chaîne, lorsqu'elles montent à gauche. Les moments de droite par rapport à la chaîne étant plus grands que les moments de gauche, de môme que dans les balances des figures 1 et 2 , l'auteur a espéré obtenir ainsi un mouvement de rotation perpétuelle. — Cette rotation n^ayant pas eu lieu, il a sagement et naïvement pris le parti de fixer à la poulie supérieure une manivelle qu'on tourne à la main.
1 1 . On voit {fig, 9, planche LXXXIX) une autre application, utile cette fois^ du système de leviers de Robcrval. C'est une balance à suspension inférieure aux plateaux, d'un emploi assez répandu parmi les petits débitants. Ces plateaux toujours horizontaux , restent en équilibre lorsqu'ils sont chargés de poids égaux P= Q , à quelque distance des liges verticales do support A a BA que soient placés ces poids égaux.
12. Théorie des quatre leviers (Jig. 4, planche LXXXiX). Je ne crois pas pouvoir me dispenser de résumer ici cette théorie qui a longtemps servi et sert peut-élre encore de hase dans les questions de stabilité des toutes, bien que je n'en aie fait aucun usage dans ce livre.
Des expériences faites avec beaucoup de soin par M. Boisiard(*) et dont on a tiré des conclusions peut-être trop absolues, semblent avoir montré :
1** Que la rupture des voûtes en berceau se fait toujours par des mouvements de rotation autour des arêtes b, d, a, d'^ b' des parties rompues ei jamais par un glissementsur les joints;
T Que, dans un état infiniment voisin de l'équilibre, la voûte ne se rompt en général qu'en cinq points, savoir : à la clef, en deux points intermédiaires entre la clef et les naissances, aux deux joints des naissances s'il n'y a pasde pieds-droits, ou aux bases de ces piedsdroits s'ils existent;
S"" Si l'effort de la partie supérieure l'emporte sur celui des parties inférieures, le joint de la clef et les joints des naissances s'ouvrent à l'intrados, tandis que les joints intermédiaires s'ouvrent à Pextrados, et la partie supérieure descend; c'est le cas représenté dans la figure. Lorsqu'au contraire les parties inférieures remportent sur la partie supérieure, l'ouverture des joints se fait, pour tous, eu sens contraire, et la partie supérieure se soulève.
13. On a été ainsi conduit à considérer les quatre parties dans lesquelles la voûte se rompt dans les deux cas, comme quatre leviers articulés bouta bout bd, da , ad'^ d' b' chargés chacun du poids de la partie de «voûte qui lui correspond; ces poids aglssaat aux
(*) 2* cahier de» Mémoires extraits de la bibliothèque des Ponts et Chnustécs.
poiots O, I^ 0', I'^ où les leviers sont coupés par les verticales gP, GQ qui tombent des centres de gravité g G des voussoirs. Les poiolfl bb' sont d'ailleurs supposés fixes.
Q,P étant les poids respectifs des voussoirs inférieur et supérieur^ f , (f', X, x\ y, y' les quantités que la figure indique suffisamment, on obtiendra comme suit les relations qui doivent exister entre les forces du système pour qu'il reste en équilibre.
14. Considérons d'abord isolément le levier bd;h charge Q qu'il supporte peut ôtre décomposée en deux autres charges verticales, savoir :
fx' ^^ 9') tt'
charge en 6 = Q ^ -, charge en d = Q-~
la charge P en I du levier da donnerait de même
charge en a = P - ; charge en d = — ^ ^
pM
le point a supporte d'ailleurs une autre charge verticale —^ de la part da levier a d\ de sorte que l'on a
charge verticale totale en a =
décomposant cette charge verticale suivant les directions ad, ad\ elle donnera des composantes égales^ soit Tune suivant ad
P<p J/ a-« + 3/* xy
Cette dernière peut être censée appliquée en of , où elle donnerait ;
p<p 1* Une composante verticale -— =- qui tire le point d suivant dt]
Ptt 2* Une composante horizontale -^ qui pousse le point d.sui-
vinl dy-y Ce point d se trouve ainsi sollicité par trois forces verticales
Q<p\. P(^-y) I P?„Qy^ . p
qui tendent à le faire tourner en dedans, et par la force horizon-
P9 taie— I qui tend à le renverser en dehors.
Le moment des premières est
(^ + PJ a;' = Q 9' + P x'
celai de la force horizontale est (— ] y'
donc, le point b étant supposé fixe, Féqailibre exige que ces moments soient égaux ou
Désignant par a et ^ les angles d^incliuaison db G , adl au-dessus de l'horizontale dos leviers inférieurs et supérieurs^ l'équation cidessus prendrait la forme
lang. a (Q ç' -]- P «') «
tang. p P <p «'
i 5. Si les leviers de section uniforme avaient chacun leur centre de gravité situé au milieu de leur longueur, il viendrait
Ung^ Q
tang.p ^ P
de sorte que, si les quatre leviers étaient en tout égaux^ on aurait simplement pour la condition de l'équilibre
tang. a= 3 tang.^
Ainsi les points bV étant fixes, le système des leviers égaux serait en équilibre, si la tangente.de Pangle a était égale à trois fois la tangente de Pangle ^.
16. Le tracé suivant satisfait à cette condition. Soient (fig, 5) B B' les points fixes et A le sommet , points dont la position est donnée. Faites passer une circonférence par ces trois points. Elevez sur le milieu de la corde la perpendiculaire HA; — par E, milieu de HB , élevez la perpendiculaire E F ; — tirez BF ; — portez de A yers G une corde AG = BF qui coupera la première en G. — B G , G A sont les leviers cherchés, situés dans la position demandée, car B'F étant parallèle à AG^ on a
FE z=: BE tang.FBE = B'E tang. FB' E et
tang. F B E B'E 3
taiig.FB'E bT ~ ï
Je crois que les charpentiers emploient un tracé d« tnana^rdi à peu prés semblable.
LIBAGE. — LIGNES. 1949
LIBAGE. Pierre nojéo dans l'épaisseur d*uD mur, et qui^ D^éfant pas visible, n^a pas besoin de parement. On appelle surtout libages les gros moellons qu^on emploie aux fondations.
LIGNE de partage des eaux. C'est la crôte m^mc des bassins; elle est ainsi nommée parce que les eaux qui tombent ou jaillissent sur cette \i^ne s'y divisent et roulent sur les pentes des bassins opposés. Il est facilo de tracer sur une carte, du moins par approximatioDf les lignes de partage ou les crêtes des bassins; il suffit pour cela de faire passer le crayon entre toutes les sources ou naissances des cours d'^saux tMtureU, sans les couper jamais.
LIGNE de plus grande pente. La ligne de plus grande pente est celle dont un élément quelconque a une pente plus forte que Télément correspondant de toute autre ligne qui aurait un point commun avec le premier élément. Lorsqu'un plan est incliné à Tborizon, les lignes de plus grande pente sont des droites perpendiculaires à toutes les horizontales menées dans ce plan.
La ligne de plus grande pente n^est point, en général, la trajectoire d'un point matériel qui serait mu sur une surface courbe par la seule action de la pesanteur. Un tel point ne s'y trouverait qu'au premier instant de sa chute, à moins qu'elle no satisfasse h certaines conditions.
LIGNE DE RÉSISTANCE ; LIGNES DE PRESSION: 1. Expressions par lesquelles M. H. Moseley a désigné deux lignes importantes sur la seule considération desquelles il a fondé une théorie Irés-générale de la stabilité des constructions^ que nous avons résumée tonte entière^ et dont le présent article est une simple introduction Ç^)*
2. Une construction, quelle qu'en soit la nature : mur, voûte, revêtement, etc., dont les matériaux sont d'abord supposés capables de résister partout à l'écrasement, conservera évidemment sa stabilité sous les charges habituelles auxquelles elle est soumise, savoir : l*" si aucune de ses parties ne peut glisser sur aucun de ses lits enjoints; 2^ si aucune de ses i>arties ne peut tourner autour d'aucune arête.
Lors donc que l'application des forces agissant sur la construction, lorsque la forme do celle-ci aura été réglée de telle sorte que ce glissement et cette rotation auront été à la fois rendus partout impossibles, la construction sera stable.
3. Ligne de résistance. Soit (fig. 6, planche LXXXIX) M N L K une construction quelconque ou plutôt un amas de pierres empi-
(^) Meehanieal principies of engineering , par n. Moêeley^ membre correiipondant de rinstitiii, de la Société royale ac Londres, etc.
