On démontre que
Dans le système vulgaire dont la base est dix, si deux nombres sont décuples l'un de l'autre, leurs logarithmes ont mêmes parties décimales.
14. La différence entre les logarithmes de deux nombres consécutifs est d'autant plus petite que ces nombres sont plus grands. Il en résulte que, bien que les logarithmes ne soient pas proportionnels aux nombres^ on peut, sans erreur sensible, supposer cette proportionnalité pour de grands nombres et dans une petite étendue ; ce qui autorise l'emploi des parties proportionnelkê des tables.
15. Dans tout système de logarithmes, celui de la base a est un. En efTet, l'équation fondamentale a^ = y peut être écrite af^*^ = y, puisque x =: log. y. Or si on y suppose y = a, il vient a^*" = a , équation qui ne peut avoir lieu qu'à la condition log. a = 1 .
16. Dans tout système de logarithmes^ le logarithme de un est zéro ; car l'équalion ci-dessus pour le cas de y = 1 devient a*^ ' = 1 , et elle ne peut être satisfaite qu'a la condition log. 1 == 0 , ou a"" = 1 .
17. Une série de nombres en progression par quotient étant donnée, leurs logarithmes forment une progression par difrérencc
18. Soit js ie logarithme d'un nombre n dans le système dont la base est e^ on a e' = n; on demande le logarithme a; de ce même nombre n dans le système dont la base est a y et pour lequel on a dès lors a' =: n. Désignant les logarithmes dn premier système par log. hyp.y et ceux du second par log., il vient
log. a
X = log. n = log. hyp. n X —^
log. hyp. n = log. n X ^^
19. Les logarithmes né/7drfei»,na/ttre/5 ou hyperboliques^log.byp.) ayant été calculés dans un système dont la base
et le logarithme de ce nombre e dans le système dont la base a=: 10
étant log. e = 0.4342944819
on û) en remarquant que log. a=: log. base = i les relations numériques suivantes qui permettent de passer du logarithme hyper*bolique d'un nombre n à son logarithme vulgaire (log.) et réciproquement
log. hyp. n= 3.30258092994 X log. n = -^^
log. n = 0.4342944819. . • X log. hyp. nz=im log. hyp. n
Comme on compare tous les systèmes de logarithmes au système népérien ou hyperbolique, on a appelé le facleur constant ci-deasiu»
