log.e=:log. 2.71828. . . =; — r 7^=1» le mo
^ ^ log. hyp. 10
dfdê des tables ordinaires. — Le wufduU des logarithmes hyperboliques» dont la base estf» est un; et en générale étant la base d'un
système, son moduk mz=Z' — - — -. Quelques auteurs^ ^or<2d entre
autres, désignent au contraire» sous le nom de moduk d'un système, le logarithme hyperbolique de sa base; noua ne nous conformerons pas à cette dernière définition qui parait abandonnée. Les équations précédentes montrent encore que le rapport des logarithmes d'oa même nombre pris dans les deux systèmes» est une quantité constante =s le rapport des modules. Cette propriété est généjrale et s'applique i deux systèmes différents quelconques.
20. Je ne saurais» dans un livre destiné aux applications» m'arréter sur les méthodes qui ont fourni les tables de logarithmes en usage, je me bornerai à ce sujet à reproduire les séries suiraotes.
La première est due à ^^caror(anDée i6SS), Newton l'avait trouvée de son côté; on pourra consulter au reste V Introdtiction d'Eukr d Panalyse de Vinfini.
m étant le module, u un nombre quelconque, on a :
retranchant cette équation de la précédente > il vient
faisant -^ = t 4- - ^e qui donne u 5= - — r— , il vient log.(n+,) = los.n+2mj^ + î(^)*+J(^)'+. .j
série qui fait connaître le logarithme de n -f-^ 1 lorsque Ton connaît celui de n.
Si l'ott 7 suppose 5=1; ;s=:l; fi»=?:l, on irQ9ve & cause de log. 1 = 0
log. hyp. 2 = 0.693147181 et par suite log. 2 = 0.301029996
LOGARITHMIQUE (fig. 7, planche LWXl\y 1. Courbe dans laquelle les y sont les logarithmes des x, et dont Téquation est par conséquent
y=:Iog. jc ou a^ = x (1)
a étant la base du système, et dès lors log. a = 1.
2. Construction parpoinU. Divisez Taxe des flc en parties égales, qui représenteront les nombres 1, 2, 3 10. — Prenez les logarithmes correspondants dans les tables pour les porter sur les ordonnées. Faites passer une courbe par les extrémités des ordonnées c»mine dans la figure! qui représente la logarithtmiue vulgçiire, bas^=:« = 10.
3. On voit que la logarithmique reacontre Taxe des jp au point pour lequel a; = J , que sa branche 1 L est infinie, et que celle 1 z a pour asymptote la partie négative A -^ Y de Taxe des ordonnées, de sojtc que la courbe ne passe jamais à la gauche de cet axe.
4. O» appelle également logarithmique la courbe (fig. 8, môme
1060 LOGAttlTHMlQUE. — LOIS de Kepler.
planche) dont les x sont les logarithmes des y , et dont l'équation devient alors
xzzilog. y ou fl* = y (2)
De même que la première, sa branche 1 L est infinie^ mais c'est Taxe des x qui devient ici l'asymptote de la branche iz de la courbe, et Tordonnce à Torigine z= 1 . Si l'on prend a; = 1 , on a y = a = la base. Dans cette fig. 8 on a pris a = e =2.718. . .=base des logarithmes népériens, de sorte que la courbe tracée est la logarithmique hyperbolique. Ses abscisses étant prises en progression par différence, les ordonnées correspondantes forment une progression par quotient.
En général, les différentes espèces de logarithmiques semhlablement disposées ne diffèrent entre elles qu'à raison de la base ou du module.
5. Sous-tangente. Si l'on différentie Féquation 2, et que, par les méthodes exposées au motcouRBBS, on cherche la valeur de la soustangente, on trouve
sous-tangente PT =t/-f- = 'w = module ,
dy
c'est-à-dire queb sous-tangente est constante et égale au module pour tous les points de la logarithmique.
Cependant si l'on traite l'équation (1) par les mêmes méthodes, on trouve pour la sou8«tangenle une ligne transcendante
dx ^y x\o^.x "* dy m m
Mais, en considérant la sous-tangente par rapport à la convexité de la courbe, et la mesurant sur l'axe des Y , fig. 7, on retombe sur une valeur algébrique, et l'on a encore
se d ^
sous-tangente BT = —-^ =: m = module
