En mettant cette équation sous la forme

p Pi[fl«±:ptMP.yi]±:Wpt8ln.ytqpW,[6giD.e--p,8in.y,] * b siD. 8 — - (p, sin. tp, -|- pj sin. Çj) • • v /

on voit que Téquilibre exigerait que P^ fût infini pour toutes les positions qui donnent

8m.9=:ï^î ^'^ ^' li. (12)

de sorte que, en y faisant abstraction des forces d'inertie^ le système présenterait autant de points morts qu'il y a de positions du bras pour lesquelles Téanatiou (12) est satisfaite. Or^ dans une ré» volulion complète, sin. 0 prenant quatre fois tontes les valeurs comprises entre 0 et 1, coïncidera quatre fois avec la valeur de la fraction qui forme le second membre, et il y a dès lors quatre points morts dans une révolution entière^ fait qui parait n'avoir point échappé aux praticiens, et que la théorie de M. Moseley met en évidence pour la première fois. On voit même que la valeur de P étant, sinon inbnie, du moins excessivement grande entre les deu^ points morts supérieurs et les deux points morts inférieurs, toute position de la manivelle entre ces limites respectives ou voisine do ces limites peut être, en pratique, et abstraction faite des forces d'inertie, considérée comme correspondante à un point mort.

8. Equations du travail. Pour obtenir le rapport entre les travaux simultanés T^ , T, de P^ , P^ appelons toujours dÔ l'arc élémentaire de rayon un décrit par le bras b de la manivelle, a d^ sera le chemin décrit dans le même temps par le point d'application de P dont le travail élémentaire deviendra dT^z=:V^a^d^; multiplions par a^dH les deux membres de l'équation (10), intégrons cette équation entre les limites 6 = ic — 8 et 0 = 6^ il vient :

Pj [2 4 cos.e — (tt— 2 e) (pj sin.Çj -j- p^ sin.tp^ )] zz=

==[t±fi!ii:?i]T.±wp,siD.<p.(.-2e)

±W,[2Jc08.e — («-,2e)p,8in.ç^-|. . . . (13)

Rcmarqaant que «i b cos. B est le chemin décrit par le point d'application de P, dans la direction de cette force pendant que le bras

Jasse de l'angle 6 à Pangle tz — O, de sorte que P^ 2&C09.0 est i travail T^ dépensé sur le bouton c, pendant la durée du travail résistant T^^ il vient après avoir substitué à la place de P^ sa valeur

P,==— ^=~8éc.e (14)

* 2 6co8.e 2h ^

et en réduisant :

T.[i g e) séce (p''^-^'+P-""^-)]=

^|,±P^JT^^WC.-2e)p,sin.cp,

q:W,[24cos,e — pjSin.faC're — 26)]. . . (15)

les signes supérieurs correspondant toujours au cas où la manivelle descend^ et les signes inférieurs au cas où elle monte.

9. Cette équation (15) qui parait d* abord fort compliquée, est en même temps très-générale, et elle se simplifie beaucoup^ ainsi qu'on va le voir, dans toutes les applications pratiques. Ainsi, ajoutons les deux valeurs qu'elle embrasse sous ses doubles signes, faisons Td -f- Tm = la somme des travaux de P. pendant la descente et pendant la montée de la manivelle, t^ et Im les travaux respectif de P, pendant cette même descente et cette même montée, il vient pour une révolution complète

(T. + Tj[i-(l-e)séc.e(eî^ïi^^

équation qui suppose toujours que P^ et P, agissent verticalement, et qaedans chaque demi-révolution P^ ne travaille qu'en décrivant l'arc (ic — 20).

iO. Si la machine est à double effet t^ — /ni= 0 et le dernier terme disparaît. Si (ce qui est le cas le plus ordinaire) la force P^ travaille , en outre , constamment^ S devient 0 et faisant alors Td -f- Ta, = Th = travail moteur et Ij -|- /„, = T^ =: travail résistant^ on obtient, pour un nombre quelconque do révolutions complètes, l'expression simple

d^où, en négligeant les puissances supérieures de sin. (pi sin.cp,

T,= { i+«(f>L2i+P>ll2i)JT... . . ; . (18)

1 1 . Ces expressions étant indépendantes du poids W de la bielle^ on voit que ce poids n'a pas d'influence sur les travaux relatifs à un tour entier 5 ou, plus exactement, tant que P^ et P, agiront yerticalement et que Ton aura P^ > (P, -|- W) l'augmentation du travail consommé par les frottements dus au poids de l'équipage pendant la descente^ est compensée par la diminution qui a lieu pendant la montée.

12. Les forces P^ F.^ ayant des directions quelconques, mais parailèles, les formules (17) (18) seront encore applicables^ si le frottement dû au poids de la manivelle peut être négligé.

1 3. La condition P^ > (P, -{- ^) qu^ ^^^ formules supposent aura d'ailleurs lieu pour toutes les positions possibles de la manivelle, si elle a lieu pour sa position horizontale, position qui^ en négligeant ici les frottements, fournit elle-même la relation

P.A = P,a, ou P, = P.^ (19)

elle sera donc toujours satisfaite si l'on a

P,>P,^ + W ou P, il— M>W. .(20)

ce qui exige que le bras de levier a^ de la résistance soit plus grand que la longueur b de la manivelle» et d'autant pins grand aue le premier membre de la dernière inégalité excédera plus W. Ces conditions étant généralement réalisées dans la pratique, nous renverrons à l'ouvrage de M. Moseley pour l'examen du cas où P^ serait <P2-|~W, remarquant toutefois que^ même alors ^ l'équation (15) serait encore vraie, mais seulement pendant la descente.

14. Si le système menait un volantj comme dans les machines à vapeur à double effet et à balancier, on aurait, en appelant Q le poids de ce volant^ p le rayon de son axe, 9 l'angle du frottement de cet

axe, E le chemin total décrit par le piston de la machine pendant

E un temps quelconque , -- pour le nombre de coups de piston acoom*

f)lis dans le même temps^ 2 b étant nécessairement la longueur do a course.

293rpQtang.<pX2^=^QE^(ang. ç. ..... (21)

serait donc le travail du frottement du volant, et dès lors, pour ce même temps que l'on suppose comprendre un nombre quelconque de révolutions complètes, on aurait

T. = 1 1 + . (P' '^- ^' + ^' -'°- '^■) } T, + . QE I tang. ,. . (22)

pour la yaleur du travail moteur Tu qu^il faudrait dépenser sur le système, afin qu'un travail résistant T^ pût être effectué par la pièce de la machine que Parbre de la manivelle conduit directement, et T|i et Tr étant toujours supposés parallèles.

15. Manivelle double (planche XCI, fig. 2). Ce système bien connu se retrouve surtout dans les machines des bateaux à vapeur, dont Parbre moteur porte deux coudes dont les plans forment un angle droit et auxquels deux bielles^ assez longues pour être considérées comme conservant sensiblement les positions verticales et parallèles, impriment le mouvement de rotation qui se transmet directement aux roues.

16. Etudions d'abord la période pendant laquelle les deux bielles agissent chacune avec un effort P^ d'un même côté du centre G. Au moment où la manivelle la plus élevée forme avec la verticale su-

périeare un angle Q, la seconde inclinée de r- sur la première for-

mera, avec Qo , l'angle 6 4- -r^ dont le sinus = cos.O. Conservant

les notations déjà employées, cherchons le bras de levier b^ de la puissance 2P^ qui aurait un moment égal à la somme des moments des efforts F, 4- Pi appliqués en B et E. Remarquant que l'on peut multiplier un terme quelconque par

1 = 1/ 2 X COS. -- = 1/ 2 X sin. 7, il vient

b^ = ^(sin. 0 -4" 00s. 6) = t-= (sin. 6 cos. j + cos. 8 sin. -A 5