p^sin

c'est la valeur (8) de a^ , à cela près que la longueur b du bras de la manivelle y est divisée par {/Tet que 0 y est remplacé par

6 -f' T* Donc, en faisant ces substitutions dans Téquation (10) et

multiplant tousses termes par 2, on obtiendra l'équation des efforts dans le système à manivelle double, qui devient ainsi, pour cette période, identique avec celle relative à une manivelle simple dont le bras aurait même longueur divisée par |/ 2 , et dont la direction couperait toujours en deux parties égales l'angle droit mobile BGE. Mais cette équation n'a lien qu'autant que les deux bras sont à la fuis d'un même côté de la verticale, c'est-à-dire autant que Tangle 0^ compris entre la verticale et le bras moyen imaginaire a ponr limite

inférieure j , et pour limite supérieure tz — r ^^ I it, limites dont la différence est -.

\=i OU e, = «--=j«

Substituant donc dans la double équation (1 3) - à 6 ; rr^ à b ,

multipliant tous ses termes par 2 et faisant la somme de ses deux valeurs, en appelant t^ le travail résistant relatif à une seule manivelle, il vient

^Pi [*— ^(P2sin.?2 + PiSin.(pj] = 4/j. • • (24)

équation dans laquelle 4/, est le travail transmis à la résistance pendant la montée et la descente, mais seulement durant les périodes où les deux manivelles sont à la fois d'un même côté quelconque de la verticale. À ce travail partiel il faut donc ajouter^ pour avoir celui qui est relatif à une révolution entière, les travaux accomplis pendant que le bras moyen imaginaire parcourt les deux quadrans pour lesquels la verticale da centre passe entre les deux bras réels.

Or, dans cette situation des bras réels, les eflbrts P^ et P^ en tant quMls se transmettent à Taxe central G , sont parallèles et de sens contraires, de sorte que cet axe n^est plus soumis qu'à la pression toujours positive -^ 2 (P^ -f- W). L'équation des moments pendant cette période devient ainsi, en appelant 0^ Fangle formé par la direction du bras moyen avec la verticale

^ ^' [p^^*°- ^* ~ P» ^'°- ?«] = ^^^ K + Pi ®**^- ?i]

+ 2 W Pj sin. cp, rp 2 W, |^p^ sin. 0, — p, sin. cp,] (25)

lo multipliant tous ses termes par a^d^^ — 2^ intégrant d'abord

entre 8j=r- et 6^=0; puis entre 0^ = it et 6^ =- t: ou mieux

prenant deux fois l'intégrale entre les premières limites qui est la même que pour les deux autres, on parvient à une équation dont on divisera tous les termes par a^ -f-p^sin. (p^; 3^ en négligeant dans cette équation les produits de sin.cp^ par sin.cp^ et les puissances supérieures de chacune de ces quantités, ce qui permet de

considérer le multiplicateur — = : ^ comme sensiblement

::::^ I — ?! — l2il elle se simplifiera^ en conservant le double

signe ±: à son dernier terme ^ 4° faisant la somme des deux valeurs qu'elle implique, afin d'ajouter le cas de la descente à celui de la

it 1

montée, et y introduisant à la place de cos. jsa valeur rp::=, le

terme à double signe disparaîtra. 5» Ajoutant alors à l'équation (24) celle

*P,|4(v/â-l)-A^?^(|/â-l)-^p,9in.y,j =

S/j-f-âiï WpjSin. (p, (26)

à laquelle on parvient^ et dans laquelle 8 1^ exprime le travail total delà résistance pendant les périodes où les bras réels ne sont pas du même côté de la verticale^ on obtient une équation résultante que pour abréger je ne reproduis pas. 6"* Appelant T^m I^ travail moteur des forces 2'P^ pendant une révolution complète du bras moyen, T^a i^ travail résistant pendant la même période^ remarquant que

2P.Xpt = T', d'où *P. = ^ (27)

substituant cette valeur de 4?^ dans Téquation résultante, il vient enfin pour l'équation du travail dans ce système pendant une révolution complète

= T*a+a«Wp,sin.(p, (M)0 •

17. Cette formule suppose que les puissances et les résistances travaillent verticalement. Toutefois, si le frottement dû aux poids des bielles et des manivelles pouvait être négligé^ et dès lors W supposé = 0 , Téquation (28) s'appliquerait encore au cas où les forces auraient des directions quelconques^ pourvu qu'elles fussent parallèles.

Si Ton divise cette équation par le coefficient de T^m, on a, en négligeant les termes en sin. ^ ^ sin.cp^ qui ont plus d'une dimension

T.Tajl+^___J-^— +^^-^ jj

+ 2Wir p^sin.cpj (29)

18. Cas des bielles courtes. La bielle l est parfois tellement courte par rapport au bras b de la manivelle qu'il n'est plus possible de négliger son obliquité^ et de la considérer comme agissant suivant une direction constante. Tel serait le cas dans le système de la

i^) J'aÎTérifié ces longs» calculs avec quelque soin, et j'ai été conduit à intrcKloire dans le dernier ternie de cette équation le facteur 2, qui m'a paru oflÉts dans l'équation de M. Moseley,

figure 3j planche XCI. Nous supposerons^ pour fixer les idées^ que le bras de la maDivelle h reçoit son mouvement de rotation continu d'une bielle courte I directement articulée en A sur la tige du piston d'une machine à yapeur, tige qui se meut elle-même d'un monvement rectiligne alternatif et dont l'articulation A est guidée par une glissière courant dans des coulisses reclilignes fixes. Cette combinaison se retrouve dans les locomotives et dans un grand nombre de machines fixes modernes.

19. Faisons d^ abord abitraction des frottements du guide; appelons Pq TefTort dirigé suivant Taxe de la bielle que le bouton oppose à la rotation du bras de la manivelle à un instant quelconque du mouvement, P^ l'effort de la tige du piston à ce même instant, h la distance, à ce même instant , de l'articulation A au centre G de la manivelle, ^ Tangle BAC = inclinaison de la bielle sur la verlicale A, et Q l'angle du bras de la manivelle avec GA = A. Le triangle ABC donne {Géom., B. 32) les relations :

P = A* + J'— 2i/tcos.O

A = Acos.O±K/* — A'sin.»e = 6cos.6 + Jcos.p .

car Bm = Isin. ^=iisin.O

d'où 8in.p = y sin.e et cos. ^=: L/i |^sin.*e ^ ^^^^ on a donc en différentiant

dA = — (ésin.ede + isin.^dP) (32)

Or — dh et bd^ sont évidemment les chemins élémentaires simultanément décrits par les points A et B, et nous savons par le théorème de Willis (p. 128) que ces chemins sont entre eux réciproquement comme les cosinus des angles de la bielle avec les directions respectives du mouvement; on aura donc, en faisant BF tangente enB

— dh cos.FBO^ sin.OBC 8in.(0+P)

6d0 C09. p COS. 3 00». S

sin.OBC sin.OBC CO

sin. ABm sin.AOG b

20. Mais l'équilibre dynamique exige que P, et la force tan genlielle variable P^ sin. (Q -|- P) que nous faisons = F soient dans le rapport inverse de leurs vitesses virtuelles, c'est-à-dire des chemins élémentaires estimés dans leurs directions propres ; on a donc

sin.(0+p)F __0C

sorte qaePj agit à chaque instaDt pour faire tourner le système^ afec un moment qui est le produit de cette force par la distance an centre G du point O, où la direction de la bielle rencontre le diamètre perpendiculaire à la direction des coulisses.

On a d'ailleurs P^ zzzPjCos. ^ tant que Ton fait abstraction des frottements du guide A, quMl n^est cependant jamais permis de négliger lorsque la bielle est très-courte.

21 . Pour tenir compte des frottements du guide A , on remarquera que la direction de la résultante R des efforts P^ P^ est nécessairement inclinée sur la normale aux coulisses d^un angle z égal à l'angle f du frottement. En effet (p. 379) , puisqu'il y a^ à chaque instant^ réaction des coulisses, z ne peut être > cp^ et puisqu'il y a glissement du guide sur ces coulisses , z ne peut être <f , donc z = f et P| P2 H étant en équilibre, on a

^ .m.(|-y] ^ ce,

22. Au reste^ on arriverait encore au même résultat en obser- Tant que Teffort P^ de la bielle donnerait une composante P^cos. ^ dans la direction et en sens inverse de P^^ plus une composante PjSin. ^ perpendiculaire à P^ qui serait détruite par la réaction des coulisses, mais qui donnerait lieu toutefois à un frottement P, sin. ^ tang. f , de sorte que Ton aurait

Pj = P. €09. p + P, siD. p tang. «p = P, ^ ^-ï- ^ (37)

\ cos.cp /

ou comme ci-dessus (36)

P, = P^ séc. ? COS. (p — <p) (38)

23. Si l'on suppose P, constante et que P^ varie suivant la condition quUl y ait équilibre, T^ et T^^ étant toujours les travaux simultanés respectifs de ces forces, on a facilement

dT, z=— P4 cîfe=: + F, 8éc.<p 008. (P— 9) [6 sin. 6 dO + Isin. pdp]

= P,8éc.ïp 1 6 sin.ô CO8. (P — ç) (16 +{8iD. p C08. (P — <p) dp | . (39)

dT, = — P, dA CO8. P =:-|. P, [b 8in. 0 dO + Z sin. pd p] cos. 3

= P, jôsin.Ocos. pdO + i8in.pco8. pdpj (40)

24. Intégrant les dernières expressions de dl^ et dT^ entre les

limites f ^ poar l'angle 6 , et les limites correspondantes / de

l'angle ^^ ce qui rend nulles les intégrales relaUyes à ces dernières limites, il vient (Intbg&albs, §§ 24 et 25) , et en ayant égard aux relations (30, 31, 32) du triangle BAC

T,=zP,6 f l"-.~8m.«el^8iD.6<lÔ=-P,- /Ti!— l+cos.*6?(l.cos. T. ='p. V (.- J(^ -.)....., p. (|^)j

T,sP, &aéc.<p / "«in. 6 co». (p — <p) d 6

= T. + P.yteBg.<p /"'^Mn.»

e«ie

T. = T, + P..^Ung.<p

Eliminant P, et réduisant, on a pour l'équation des travaux T^ , Tji accomplis en A et en B pendant un nombre quelconque de demitours entiers de la manivelle^ et en tenant compte du frottement da guide

T.=T,il+ ,.. "'"^•'^ .. .J (43)

25. La valeur du coefficient du frottement /'=:taDg.(p n'étant qu'approximativement connue, je pense qu'on obtiendra T| avec une exactitude suffisante pour la pratique, en faisant

log. hyp.

ce qui réduira le dénominateur à 2 -- et donnera la formule approchée très-simple

T| = T,{l + jJtang.(pj (44)

26. Prenant avec Coulomb tang. cp =;:= o.l pour le coefficient da frottement de fer sur fer avec enduit de suif renouvelé, on aurait ainsi T^ = 1 .06 T, ou 1 .04 T, suivant que userait = 2.5& ou 3 & de sorte qu'à celte dernière limite le frottement du guide augmente de Y% I^ Iravail total.