MP~OK P

OU moment F f= moment P r.

On peut donc, en général, appeler moment d'une force F par rapport d un point O soit le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction propre, soit le produit du rayon de l'arc que le point d'application tend à décrire par la projection P de la force F sur la tangente à cet arc.

3. On appelle aussi moment d'une force R par rapport d une droite ou à un acce AB le produit Rp de cette force R par la per-

pendicolaire p = M G menée de la direction de la force à Taxe fixe;

toutefois il faut bien remarquer que le véri- ~

table moment de rotation de la force B,

celui qui mesure Ténergie avec laquelle elle

tend à faire tourner le corps Q autour de -^

soQ axe n'est pas Bp , il est Pp ; — de sorte "^

qae^ en général, le moment derot(Uton d'une p

force B relativement à un axe est le mo-

meat Pp de sa projection P sur un plan

PMG perpendiculaire à cet axe, moment

pris par rapport au centre de rotation G de

ce plan. Quant au travail élémentaire de

rotation, il est tout aussi évidemment Ppdco

(et non Bp </u>) , c'est-à-dire égal au chemin élémentaire effective-

meDt décrit par le point d'application multiplié par la projection P

de la force B sur la direction M P de ce chemin.

4* On appelle encore moment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force et de sa distance à ce plan. Mais il faut bien remarquer que^ en général, les moments de cette espèce n'ont riea de commun, comme dit Poisson, avec les moments par rapport à an point. Geux-ci dépendent de la direction de la force et sont indépendants de son point d'application, tandis que les moments par rapport à un plan dépendent au contraire de la position du point d'application de la force, et sont indépendants de la direction de celle-ci ; en sorte que P étant, par exemple, l'intensité d'une force appliquée en un point dont les coordonnée» sont x, y^ z, les produits Pjs, Py^ Px^ sont respectivement appelés le moment de la force par rapport au plan des xy^ k celui des x z, et enfin à celui des y X. On ne fait guère usage de ces moments que dans le cas des forces parallèles.

5.. Énfin^ les anciens géomètres ont encore appelé moment d'une force un produit analogue à ce que nous nommons aujourd'hui le travail élémentaire de cette force, son travail virtuel ou initial. Lorsque, dans le cours de cet Aide-mémoirCj j'ai employé le mot moment dans ce dernier sens, j'ai conservé, afin d'éviter toute équivoque^ la désinence latine qu'il avait autrefois, et j'ai ainsi appelé momentum d'une force sa tendance au travail ou son impetus, comme le nommaient les anciens.

6. S'il faut ajouter foi aux savantes et consciencieuses recherches historiques de Lagrange^h notion des moments derotation qui semble aujourd'hui dériver tout naturellement de la théorie du levier, ne se serait cependant introduite que bien des siècles après celle- ci dans la science mécanique; et A'Arckimèdej qui yivait 250 avant J.-G., et qu'il considërQ comme l'auteur de la théorie du levier, il faudrait redescendre la série des âges jusques au Uecanicorum liber

il 56 MOMENT.

de Guide Ubaldi (1577), pour en voir poindre le premier aperçu. Du priocipo du levier droit et horizontal donné par Archimède» il semble que Ton se serait d'abord élevé jusqu'à la théorie du levier coudé ou angulaire, et ce ne serait guère que vers Pannée 1687 que Varignorij liant le principe du levier à celui de la composition des forces, serait parvenu enfin au principe des momeniSj par le théorème qui porte encore son nom (Voy. la Mécanique de Varignon, publiée en 1725, après sa mort). J'ai pensé que Ton suivrait avec quelque intérêt les traces de cette génération des notions fondamentales de la mécanique, et j'ai essayé de les indiquer rapidement ici.

7. Voici d'abord la simple et ingénieuse démonstratiiMi du principe du levier droit, donnée par Àrchimède, que je retrouve dans on intéressant mémoire de Fourier. Soit une ligne droite chargée en chacune de ses parties égales de poids égaux ei en équilibre autour d'un point fixe placé an milieu M.

Si, à partir de l'une

des extrémités, A par ^ ■**• ^

exemple, on prend sur A —s I J B

la longueur entière 3 a

du levier, une longueur â l^ on pourra, sans rompre l'équilibre, réunir au milieu de 3{ les poids distribués sur cette longueur et opérer de même sur la ligne restante 3 a — â l. Mais alors les bras de levier des charges seront (a — I) et Ij tandis que les poids réunis en leurs points d' application seront proportionnels k leih(a — I), c'est-à-dire en raison inverse de leurs bras de levier.

8. On voit que Archimède considérait, soit comme un axiome, soit comme un fait d'expérience, l'équilibre de deux poids égaux, agissant sur un levier droit horizontal, à distances égales de Tappui, vérité qui pourra sembler évidente si l'on remarque que tout étant égal de part et d'autre de ce point, il n'y a pas de raison pour que l'un des poids l'emporte sur l'autre. Cependant, Lagrange nous apprend que cet axiome, qui est le principe de la balance, fut contesté et que Huygkens crut devoir essayer de compléter la démonstration d'Archimède dans un petit écrit imprimé, en 1693, sous le titre de Demonsiratio œquilibrii bilancis, Stevinj dans sa Statique, et GalUée, dans ses Dialogues, avaient eux-mêmes tenté de donner pins de rigueur encore à la démonstration à*Arckimêdej et celle que proposa Galilée^ dans son second Dialogue sur la Résistance des solides et que je ne crois pas utile de reproduire ici mérite cependant d'élrc remarquée en ce que la condition de l'égalité entre dans les moments des poids par rapport à Tappui, pour obtenir l'équilibre, y est peutêtre encore plus nettement indiquée.

9. On chercha aussi à prouver l'évidence du principe, qui veut que, dans le levier horizontal en équilibre, la charge sur l'appui

soit égale à la somme des poids (*) ; ce fat encore Huygkens qui y pourvut à peu prés comme suit :

Imaginez trois B

droites formant >/X^'''*"-«^

un triangle quel- j^ y^ P ^^"^^^""^>J5/'

conque chargé de y^" QX^^^^-^

deux poids égaux y^ V,"*^- — ----^^^^^r>^^

aux extrémités GB cf-- -7«r """^h A

de sa base et d'un 4 y Y2P

poids double de P #

chacun d'eux à son sommet A. Ce triangle sera en équilibre sur la droite EF qui passe par les milieux de ses deux côtés^ car chacun d'eux AB9 AG peut être considéré comme un leyter chargé de P=:P à ses extrémités^ et qui a son point d'appui à distances égaies de chacun d'eux. Mais on peut encore considérer l'équilibre en regardant la base BG du triangle comme un levier dont les extrémités B, G sont chargées de deux poids égaux, et en imaginant un levier D A qui joigne le sommet A du triangle au milieu D de sa base, dont une des extrémités A soit chargée du^poids âP, et dont Tautre D serve de point d*appui au levier BG. Il est évident que ce dernier levier BG sera en équilibre sur le levier D A qui le soutient en son milieu D, et que celui-ci sera en équilibre sur Taxe EF. Or cet axe passant par le milieu 0 de D A> ce levier D A devra être chargé également à ses deux bouts. Donc la charge en D = la charge en A = SP = la somme des poids en B et G. Ge qui complète la démonstration d'Archimède, et place le principe du levier droit à l'abri de toute contestation.

10. Quant au levier coudé qui conduit plus directemcni à la notion des moments, voici comment on a pu raisonner^ en partant du principe du levier droit :

On regardera d'abord comme évident, avec Lagrange, qu'un levier anffulaire BAB' à bras égaux, mobile autour du sommet A de Tangle est tenu en équilibre par deux forces égales (-|- P) ( — P) appliquées perpendiculairement aux extrémités de ses bras et tendant à le faire tourner en sens contraire.

Gela posé^ faites passer par le sommet A d'un levier coudé quelconaue BAG un levier droit B'AG' ajant des bras AB'=p A G^= q respectivement égaux aux bras A B, A G du levier angulaire, appliquez aux extrémités B'G'du levier droit des forces perpendiculaires ( — P) et ( — Q) respectivement égales aux forces P et Q appliquées en B et G sur le levier coudé , et considérez

(*) Et non h la somme des moments de» poids comme le sonteoait, en 1836, railleur de la Découverte de lacaute phyiiqu» des mouvements célestes.

d'abord rcnscmble des quatre bras comme an système unique se confondant avec ie plan do la figure et traversé par Taxe A. Supposez maintenant qu'il y ait équilibre sur gt

le levier droit, la condition de f p À ÎT ^

cet équilibre sera exprimée "^P 4-

par l'égalité ± Pp = ± Qg.

Or, indépendamment de cette condition, il y aura toujours équilibre séparément sur les leviers angulaires à bras égaux (--j-Q'^ — 0) (-f-PÂ — P). Donc, la condition de l'équilibre sur le levier droit, entraîne la condition de l'équilibre dans le levier angulaire B'AC aussi bien que dans le levier angulaire G'AB, en retournant le sens des forces ( — P) ( — Q); car les bras AB, AB' d'une part, AG, AG' de l'autre avec les forces qui les sollicitent, peuvent alors être respectivement substitués l'un à l'autre ; donc, la condition do l'équilibre du levier coudé BAG est celle du levier droit ayant mômes bras, ou Pp = Q 9.

11. Corollaires. Mais une force peut être censée appliquée à tel point que Ton veut de sa direction. Donc deux forces P Q appliquées à des points quelconques d'un plan retenu par un axe fixe A et dirigées comme on voudra dans ce plan sont en équilibre lorsqu'elles sont en raison inverse des perpendiculaires f^q, abaissées de. ce point sur leurs directions : car ou peut regarder ces perpendiculaires comme formant un levier angulaire dont le point d'appui est le point fixe A. Tel est le germe du principe de l'égalité des mements entrevu par Guido Ubaldi. Un grand siècle plus tard, Varignon complétait la doctrine des moments par le théorème suivant.

12. Le théorème de Varignon peut être énoncé ainsi : Sid*un point quelconque O (figure suivante) prt> dans le plan d'un parallélogramme MFjFFj, on mène des perpendiculaires /", /", /, d sa diagonale et aux deux côtés qui la comprennent ^ le produit F f de la diagonale par sa perpendiculaire est égal à la somme des produits de chacun des côtés par la perpendiculaire qui lui est menée, pourvu que le point 0 ne soit compris ni dans V angle formé par les côtés , ni dans son opposé au sommet. Si le point O^ au contraire, est situé (figure suivante) dans l'angle des côtés qui comprennent la diagonale ou dans son opposé au sommeil ce sera la différence des produits de chaque perpendiculaire par le côté sur lequel elle tombe qui sera égale au produit de la diagonale par sa perpendiculaire : beau théorème de géométrie que l'on peut traduire immédiatement dans le langage de la mécanique par Ténoncé suivant :

13. Le moment F/ de la résultante F de deux forces F, F^ pn> par rapport d un point fixe 0 quelconque de leur plan, est égal d la

somme ou d la différence des moments F^/*|, t^U ^^^ composantes^ selon que celles-ci tendent d faire tourner dans un même sens ou dans des sens opposés autour du point fixe O.

Celte proposition et ses conséquences s'appliquent non-seolement aox forces, mais encore aux vitesses et aux accélérations dont un point matériel peut être animé dans un plan.

On la démontre par diverses méthodes, mais il suffit ici pour s'assurer qu'elle a lieu de reprendre la figure V de cet article^ d'y décomposer la résultanteMFsuivant deuxcomposantes de directions quelconques MF, , M Fj — de projeter ces composantes sur la direction réelle MP du chemin décrit par le ; point d'application M — et ^/ de remarquer queF,n=Pp, / étant nécessairement égal à / Mp^ puisque les triangles / FFj n, FjMp, sont égaux, on a :

MP = Mp, — Mpj

on P=:p, — pa

€t Pr = p,r— p^r

en appelant P , p, , p^ les projections des forces F, F, F^ sur la direction du chemin décrit.

Or, de même que Ton a prouvé que F/"=:Pr on prouverait que Pir = ^Ji et Psr=:Fj2, donc

Vf=¥J,-¥,f,

le dernier moment prenant le signe — puisqu'il tend à faire tourner le système en sens contraire de F, f^.

14. Si le point O était situé sur la direction de la résultante F^ cette puissance et son moment disparaissant de Téquation ci-dessus^ on retomberait sur le principe du levier droit ou angulaire

dont 0 serait l'appui et l'action de la résultante serait détruite par ce point fixe.

15. Donc, réciproquement, si le moment de la force qui tend d faire tourner autour du point O moins le moment de celle qui tend d faire tourner en sens contraire autour du même point est zéroj il faut en conclure que la résultante passe par le point O.