MOMENT. — MOMENT D'INERTIE

16, Ces théorèmes s'étendent facilement à an nombre quelconque de forces situées dans un même plan^ et le moment de leur résultante sera toujours égal à la somme algébrique des moments de leurs composantes par rapport au même point fixe O.

17. Multipliant enfin chacun des moments qui entrent dans les relations ci-dessus par le déplacement angulaire infiniment petit diù d'un point situé à un mètre de distance du centre ou de Taxe des moments^ les produits ainsi obtenus seront les travaux de rotation élémentaires ae chacune des forces correspondantes , et Ton arrive ainsi k ce théorème général :

Le travail de rotation élémentaire^ résultant des forces appHquéet à un système invariable mobile autour d'un axe fixe^ est égal au produit du déplacement angulaire infiniment petit et commun d ta de ce système par la somme algébrique des moments de rotation des forces relalifé à cet axe.

MOMENT D'INERTIE. 1. Lorsqu'un corps tourne autour d'un axe avec une vitesse angulaire que nous appelerons w, celle de ses masses élémentaires dm qui est située à une distance r de l'axe, est animée d'une vitesse «or dont le carré multiplié par dm est évidemment la force vive wVdm de celle masse. La force vive du corps entier, somme des forces vives de toutes les masses élémentaires, est donc elle-même le carré de la vitesse angulaire

commune par la somme / r^dm des produits de chaque masse par le carré de sa distance à Taxe de rotation. C'est celte somme de produits / r^dm que, d'après Euler, on nomme le moment d'inertie du corps qui tourne.

2. On conçoit qu'une même masse aura des moments d'inertie différents, suivant la position de Taxe autour duquel elle tourne; parmi ces positions, celle pour laquelle l'axe passe par le centre de gravité d'un corps homogène donne, an moment d'inertie, l'expression la plus simple, que nous désignons généralement par l^.

3. Pow passer de la valeur de ^ à celle I^ du momeDt d'inertie de la môme masse M pris par rapport à un autre axe parallèle au premier et distant de celui-ci de la quantité D, on a la relation

Id = Ic+MD*

qui montre que l'on obtiendra I^ en ajoutant k I, le produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.

Soit, en effet, m^ une molécule quelconque du corps loarnant* menez par cette molécule un plan w^GA perpendiculairo à l'axe G G' qui passe par le centre de gravité du corps, ainsi qu'à l'axe AB parallèle à ce dernier. Conduisez dans ce plan la droite

MOMENT D1NERTIE,

À 6 != D = distance des deax axes; pois de m^ abaissez une perpendicnlaire p^ à la direction de D; enfin menez les rayons fi Pi distances de m^ à cbacon des axes, m^r^^, ^iPi^ seront les moments d'inertie respectifs de Ja petite masse m^ par rapport à G G' et à AB^ mais les triangles mfiG, m^Ck étant rectangles en G, on a

et mnltipliant tons les termes par m^ il vient

nij Pi* = fWj rj'+ nij D* -j- 2 m^ cJ, D

Répétant la même construction et le même raisonnement pour toutes les molécules m^ , m^, m^..., chacune d'elles fournira une équation de la même iorme

m^f^z=zm^ r^ -f- m^ D* ± 2m^ â^ D tWjPj^zzzWjfj^ + fWjIPqFafnjdjD

en remarquant que leur dernier terme prendra le signe -f- ou le signe — y suivant que la dislance d au plan G^GN , qui passe par le centre de gravité perpendiculairement au plan des deux axes^ tombera à gauche ou à droite de ce plan G^GN. Mais en faisant la somme de toutes les équations ci-dessus y ces derniers termes se détrairont nécessairement^ puisque la somme algébrique des produits on moments md est nulle par rapport au plan G^GN, qui passe par le centre de gravité. 2 (m (2) étant ainsi = 0^ il reste

on enfin

S (m p») = S (m r*) -f- S (mD») I, = I, -f MD»

4. Le momentd'inertieleparrapportà un axe passant par lecentre de gravité est donc plus petit que le moment d'inertie I^ pris par rapport à tout autre axe parallèle ; et comme la force vive de rotation d'une masse tournante égale le produit de son moment d'inertie par le carré de sa vitesse angulaire, le travail ^ I lo* à dépenser sur une masse déterminée y pour lui imprimer une vitesse angulaire ci>y sera moindre lorsque la masse se mouvra autour d'un axe passant par son centre de gravité, qu'elle ne serait pour tout autre axe parallèle à celui-ci.

ae^ MOMENT D'INERTIE.

Il doit d'ailleurs paraître évident aoe les moMent» dHaertie d'«e même masse sont éganx ponr tons les axes parallèle» entre eux et * également distants de celui qui passe par k centre de gravité.

5. Détermination des moments tf inertie. Ou le corps dont on a à déterminer le moment d'inertie a des formes géométriques et est homogène, on comme un marteau de forge, par exemple, il n^a ni homogénéité ni formes régulières. Dans le premier cas, la détermination du moment d'inertie est vm pur problème de calcul intégral , dont nous donnerons plus bas quelques exemples ; dans le second cas, on partagera le corps tournant en un grand nombre de petits volumes séparément homogènes dont on calculera tes masses m^, m^y m,, m^...; on multipliera chacune d'elles par le carré de la distance à l'axe de rotation de son centre de figure , et m^rJ^'{'m^r^^-\-m^r^^'{- ...=:! {^mr^)=z,somme de tous les produits partiels, sera par approximation le moment d^inertie du corps irrégulier. Il arrive parfois que certaines parties du système tournant sont à la fois homogènes et de formes géométriques, ou sensibfement telles. On abrège le calcul et on obtient à la fois une bien plus grande exactitude en évaluant d'abord les moments d'inertie de ces parties géométriques comme il est indiqué plus bas. On les ajoute ensuite aux autres moments du système que Ton n'a pu déterminer rigoureusement. En général , ces derniers moments déterminés par la méthode d'approximation pèchent essentiellement par défaut.

6« Corps géométriques et hom^gèHeê. Non» désignerMis, en géoé^ rai, par 'v le poids dtt mètre cube de la sobstanoe du corps, g étant

= 9.8088 , — sera la masse du mètre cube de cette substance;

le continuera à désigner le moment d^inertie de la masse M par rapport i un axe passant par son centre de gravité, I^ celo} de la même masse par rapport à un axe parallèle au premier. En divî*

sant par — les expressions de le ou I^ , on aura par rapport aux

mêmes axes ce que Ton appelle quelquefois les moments d'inertie de volume du corps.