OM OL CM — CO ON + NL

V Psin.a

X — ftcoUog.a ^ êx-{'¥ co8,0L

relation qui donne pour l'équation générale de la ligne de résistance on courbe des points d'application dans ce système.

P (« «in. a — k cos. «) ,-v

ti = (2j

^ 9'éX-\'FcoB»a

26. Cette courhe est une hyperbole équilatère. En effet^ si après avoir mis l'équation (2) sous la forme

y {'vex-\-VciOS. a) = Vx sin. a — P 4 cos. a

on divise par ^sr^ ; on transpose, on change les signes et l'on ajoute à chacun des membres le terme

P* un. a C09. a

il vient

/Psin.a \ / ^^Pco».oi\ Pcos.a [^ , P8in.a\

faisant alors

VQ=y, et ÏV=«,

comme Ton a d'ailleurs :

y,=VQ=VM— MQ=CH — MQ= ^^— y réquation de la courbe prend la forme

Pco8.«/ Psin.aX .

oîj ^1= [n -| 1 = quantité constante.

C^est Téquadon d'une hyperbole équilatère (p. 937), dont l'asymptote est TX.

27. Conséquences. Donc, 1*" la ligne de réMstance approche saofr cesse de T X, mais sans jamais Tattcindre ; S"" tant que TX sera comprise dans Tintérieur de la masse^ c^esl-à-dire tant que Ton aura :

^,- ^^ Psin.a l ^ .

CH<CB ou <Trc ou 2Psin.a<'we*

nff e 2

la ligne de résistance ne coupera nulle part le parement extérieur^ et la stabilité du mur, quant à la rotation, sera tbôoriqaemenl assurée d 9i«(?/gtie hauteur qu on V élève-, 3"* c'est à la base da mur que la ligne de résistance approche le plus du parement estérieur.

28. Plus grande hauteur du mur. On peut encore vérifier la seconde conséquence en remarquant que, pour le point de la coarbe des résistances où elle toucherait le parement extérieur, on aurait y'=i\e. Or y si Ton lire de Téquation (2) de cette courbe, la valeur U de a; correspondante à cette ordonnée extrême, il yient

P(t+i.)co,.,

Psin.a— A'» e* ^ ^

expression qui montre que P sin. a z^j^»- éprendrait la hauteur H du mur infinie^ et que, dès lors^ la stabilité du mur, quant à la rotation, est strictement assurée contre la poussée P, quelle que soit sa

haalear, tant que P sin. a ne dépasse pas ^ «• e* on comme ci-dessus, tant que Ton a

2Psm.a<^e> ou e> l/H^

29. Pour obtenir un exrés de stahilité déterminé par la valeur m du module de êtabiUté (^) (p. 105i), il sulTit évidemment de faire y=(\e — m) dans Téquation (2) de ta ligne de résistance; et, mettant A= hauteur du mur à la place de x^ on a, pour l'épaisseur pratique E compatible avec ce degré de stabilité.

/Pcos.a \ i //Pcos.a \2,2Pr. If^—mx 1

En faisant m=o dans cette formule, on aurait l'épaisseur e relative à Péquilibre strict.

30. Stabilité quant au glissement des assises. Il ne suffit pas que le mur ne puisse pas tourner^ il faut encore qu'aucune de ses assises ne puisse glisser sur son lit de pose. Or OS, qui représente une poussée constante P, étant constant quelle que soit la position da lit horizontal IK, tandis que ON, qui représente la charge supérieure à ce lit, grandit sans cesse à mesure que ce lit s'abaisse au-dessous du sommet du mur, Pangle BOM diminue quand x augmentf^ Mais cet ani^le ROM est égal à celui que fait la direction de la résultante OR avec la normale en Q au lit IK. Dcmc, si cet angle est plus petit que Tangle <p du frottement du lit IR pour la position la plus élevée de ce lit, il sera plus petit à fortiori pour toute position de ce lit moins rapprochée du sommet du mur. Or, la position la plus élevée que puisse prendre IK est celle qui correspond à ON = 0, et l'angle en question est alors =a. Donc, toutes les fois que Ton aura

le glissement ne sera possible sur aucune assise inférieure, et la ligne de pression^ ou la courbe des directions (p. 1031), se réduit au point unique O.

(*) 11 ne faut pas confondre ce module de stabilité avec le coefficient de staltilité des ingénieurs français. Ce coefficient est un facteur par lequel ils mulliplienl l'inlensilé de la poussée P avant de déterminer TépaUseur pratique

3UÎ mettra la construction au-dessus de l'équilibre strict. Le module de stabilité e M. Moseley est une ligue m, plus couite distance de la couibc des points d^applicaiiou au périoiélre du prolil^ el il ressort du beau mémoire de M. Pon-

celet sur la stabilité des revêtements que Yauban aurait adopté m^i-^d pour

le module de stabilité de ce genre de construction, d étant la distance de l'arête extérieure de la base à ta verticale passant par le centre de gravité da revêtement.

31» Influence du déplacement du point d'appKcation de la poutiée P. Si, après avoir substitué h pour x et (^e — m) pour y dans Téqualion (2), on en tire la valeur de m, on a

1 (P A sin. a — P fc C09. a) fnz:z -6— , ,

formule qui montre que, pour une épaisseur déterminée e , le module de stabilité m peut acquérir la valeur que Ton voudra, en donnant à k une valeur convenable, cVsl-à-dire en éloignant de Paie du mur le point d'application 6 de la poussée à une distance convcnalile k, Kntrc autres mayons pratiques, on se contente d'indiquer celui de la fig, 3, pi. XCIl ; et la valeur de k qui donnera à son tour un module déterminé m sera

A=Atang.a-[îe-m) (i + p^) (5)

L^équilibre du mur exige, dans ces circonstances, que la ligne de résistance ne coupe nulle part le parement intérieur au-dîessoiM du point D.

32. Mur à parements verticaux soutenu par des étais (fig. 4, f I.XCU). Concevons que le poids de chacune des parties du mur qai est maintenu par un étai soit comme condensé dans nn mètre courant du mur dont la section constante est DÂCB, et doiM nous re* présenterons encore le poids du mètre cube par 4r. Soit P la poussée au sommet, Q la poussée sur l'étai, 2p le poids propre de cet étai, que Ton peut regarder comme divisé en deux parties égales p=;7 agissant à chacune de ses extrémités E et F; soient encore P Tan^'le formé par l'étai avec la verticale, b la distance GF de son pied F à celui jC du mur ; c=ËC ;et conservons les autres notations. Si X est le point où la ligne de résistance coupe la base du mar, CX=im est le module de stabilité, et l'égalité des moments, par rapport à X, donne

PXMX + /)m=QxXN+.<^eAx(Je— m)

puisque X est un point pris sur la direction de la résultante des forces. Or, on a

MX=(*X)sin.a=(HK— HT)sin.tt=8in.a[A— (Hp+pO] rrAsin.a — (*-[-î« — m)cos.tt

XN =(*-}■ ^) ^0*' P=^ sin. p-}-'w cos. p

Substituant ces valeurs dans Téquation des moments et la résolvant par rapport à Q, il vient pour la poussée sur Tétai

^'^ (b+m) COS. p W

MURS {avecèiai). 1185

expression qui, mise sous la forme

Q=(P COS. a-|-'«- eh-^p) sec. p

P [6cos.a — ^8in.a-f-(/f + Je)co§.a] + '»-e A (f e-}-6) -{-ph

(64-»>)co9. p

montre plus évidemment queQ diminuera en même temps que m, lorsque le dernier terme sera une quantité positive ; ce qui aura probablement lieu pour tous les cas de la pratique. La plus petite valeur de m compatible avec la stabilité du mur estm=:0; donc^ la plus petite valeur de Q^ en supposant Tétai nécessaire à la stabilité, correspond aussi à celte valeur zéro de m, elle devient

P[A8in.a — (A +J«)co«.a] — !<»•«»*

G^est TefTort que subirait l'élai non roidi (p. 710) s'il reposait simplement contre le mur. Quant à celui auquel il devrait être amené par le raidissement pour obtenir que le mur prit un degré de stabilité déterminé par m , il est donné par l'équation (6)^ équation qui montre que la stabilité diminue à mesure que m augmente au delà de { e, et que le mur serait renversé en dedans si m excédait e.

33. Cas de deux étais dans un même plan supportant un mur rectang^ulaire (fig. 5, p/. XCII). On conserve les conventions de l'article précédent et l'on suppose essentiellement ici que Tun et l'autre étaî sont nécessaires à la stabilité du mur; de sorte que si on enlevait Tétai EF , le mur tournerait autour de /, et que, en l'absence de efj il y aurait rotation autour de quelque point entre F et G.

Cela posé, admettre que l'eirort Q de Tétai £F est strictement celui qui est nécessaire pour empêcher la rotation autour de f, ce serait admettre que la ligne de résistance passe par ce point f. Au contraire, supposer Tétai EF roidi au delà de ce qui est nécessaire à Téquiiibre strict, c'est supposer, comme nous le faisons^ que la ligne de résistance coupe fg en quelque point intérieur au massif, X par exeiïiple. Faisons donc fxz=,m\ fb=:h fi=b et Teffort Q de Tétai EF sera donné par Téquation (6).

Raisonnant pour le second étai e/* comme pour le premier; x étant le point où la ligne de résistance coupe la base du mur, Cz—m,; CEz=b,',Ce=b^; Cfezzz^,; CDz=h,, Teffort de Tétai efzziQ^ f son poids propre 2p^, on a l'équation des moments

0^(6j4-m,)cos.p,+Q (i.-fmJcos.p+^-eA, (ï^—f^x)

= P[AjSiD.a— (*+{e— mJcos.a]-|-(p+pJmj. ... (7)

Substituant dans celte équation la valeur de Q tirée de (6)^ en observant que h exprime ici la hauteur fDj puis la résolvant par

1186 MURS {avec double état).

rapport à Q^ , cet effort Q^ sur efy sera- déterminé de manière que les excès de stabilité du mur sur son assise fg et sur sa base CD seront respectivement m et m. .

Si m^=zm, les massifs iniérieur? et supérieurs à f§ seront également stables.

Si m^ =:fir=09 l'effort sur chaqae étaî est strictement celui qnî détruit la tendance virtuelle du mur au renversement^ el l'on a alors

{? sm.a^\^ e*) {h^b — hb^) + ^ {b^ — b){lt + \e) cos.at

^* * 6 b^ co». Pi

Q est d'ailleurs donné en générât par l'équation (6)»

34. Cas de deux murs rectangulaires parallMes dont l'un est maintenu par des étais qui s'appuient sur le sommet de l'autre (fig, 6, pi. XGII). AB, CD sont les deux murs parallèles, EF l'un des étais ; TelTort 0 qù^il exerce peut être déterminé précisément comme an $ 32 , en ayant égard à là dernière valeur de X^, et de telle sorte qtie la ligne de résistance coupe la base du mur AB à une distance déterminée m de Paréte de cette base.

Soit m^zzzDx le moJule de stabilité du mur paraltèle C E), e^ son épaisseur, h^ sa hauteur, k^ la distance du point d*appni de rétai à Taxe de ce mui^, ^^^ le poids du mètre cube de sa maçonnerie, P étant toujours Pinclinaison de Pétai sur la verticale et 2p son poids propre, l'égalité des moments par rapport à x donne faci^ lement:

Q[*i8in.p + (*,+îei— m,)co8.p]=«r4ejAj(}6,— m,) + (&i + ;ci-.m,)j»

Mettant ^ur Q sa vateerr tiré^ de l'équation (6) et rédvisént, on a

P [A siVi. a — (k -\- \e) co». a] — \ a e« k-^-m (P cos. a -J- 4r c A+P)

équation qui permettra de déterminer le rapport à établir entre les dimensions de l'un et Pautre mur et la poussée P, de (eYle sfrrtc que chacun d'eux ait un excès de stabilité fixé d'avance.

Si m= 0, le mur AB n'exercera snr Tétai que l'effort dft à sa tendance virtuelle au déversement, et la valeur de m tirée de V6^

3 nation ci-dessus donnera l'excès de stabilité du mur extérieur CD ans cette hypothèse.

Si m:=m^=: 0^ Tun et Pautre mur satisferont aux conditions de PéquiKbre strict^ et l'équation ci-dessus fournira les rapports entre leurs dimensions et la valeur de la poussée correspondante à cet état d'équilibre instable de la construction.

MURS (avec planchers). 1187

35. Ktf^thintie .résistant â la poussée de ^on comble , à VQtde des arbaUfri^rsMui supportent la toiture de ses bas côtés {fig. 7. pL %CJÏ). Ce ca^iest aSsolamei^t Icaiéme gue le précéçleat. Il comprend une foule d'applications .possibles aux bâtiments industriels. Je reuayoie i i'o^TiTfige de M. moseley pour les co.nditjons.de stabilité des piliers qu contreforts gothiques, surmontés de clochetons ou pinacles^ nejpouysuiit m'élqigner ici des cas les plus ordinaires de la pratique ifi$ jo^nieurs.

36. Mhtjs porfamt hs abouts des poutres (l'un plancheir (Jig. i, pi. XQU). Les pautres des planchers reposent habituellement par leurs e^tcèoiités sur .des samiëres engagées dans l'ép^eur des mors, et .4^w leis coiistructions Itères, elles sont invariablement assemblées sur ces sablières^ de manière à relier entr,e eux les deux mars opposés.

f étant le poids du plancher et de la surcharge que porl« la par- ^J^BCD du )mwj c la hauteur rBjE^ çc le point où la base est>cou< pte par la ligne de résistaruce^ op a po.ur réquatiojQ des moments^ fVffappori à.cepQÎot. en oonserFaïkt les «otr^s notations iGoP^sm

CD=:i

NXxQ+KXX'î»eA-f-XBxp = MXxP ou encore

Qc+(le — in)*a-eA-|-(ô — m)p=P[Asin.a — (*+{« — m)cos.a].

relation qui montre que la tension Q de la poutre diminue avec m; lorsque m = 0 , on a simplement

^ P[A8Îii.a — (A:-|-i«)cos.a] — \^e^h — pe . .

Q est alors TefTort strictement nécessaire pour s'opposer au dévermènent, et Â4es poutres reposent simplement sur les sablières, leur fiN)UeiiieÉt idoit être au «mofos =r:'Q par mëloe 'CouvMit .eu mnr.

37. -Cas de deux planchers (fig. 2, pL X'CIH). Adoptant les notarioDs sufGsaimnent indiquées par la figure, on a, pour la condition fc réquilî'bre strict «i=mj=:-0, le mur étant sur le point de tourner autour des points ; et €

$,te(i c)C->e*— Psi|i.(x)+P(*+ie)cos.a+jw— |i^

^t Q serait donné, pour ce cas, par Téquation (10).

^. jSi(abiUité d'^m mur rectangulaire soutenu par des contreforts ^plement espacés et d'une saillie constante (fig, 3, pL XCIII). On admettra ici que Teffet de contreforts d'une saillie constante e^, et également espacés, est celui que produirait un mur continu DGGF

1 i 88 MURS (poussée des fermes).

d'une même épaisseur e^q^i résulterait de l'expansion latérale d'un contrefort jusqu'au contrefort Toisin, et dont le nouyeau volume aurait^ par mètre cube, un poids 'o-^ tel que le poids total du con* trcfort, ainsi réparti le long du mur qu'il soutient, fût le môme qu^avant sa dilatation latérale. Il résultera de cette convention un mur continu^ composé de deux parties EAFB, DGFG, dont les poids par mètre cube seront différents et respectivement égaux à '^1 9 '^a* l comptée à partir de la face CD est la distance à cette face du point d^application de la poussée P ; les autres notations sont suffisamment indiquées sur la figure. CX étant toujours :=m ou X étant le point où la ligne de résistance vient couper la base du système^ on a facilement pour l'équation des moments par rapport à ce point

P [Aj 8iD«a ~ (I— wi) cû».a]=: («j— «i^-f-J e J «"leiAi+d ^» — m) tf^e^h^. . (12)

39. Si, comme il arrive habituellement^ le mur et le contrefort sont construits avec les mêmes matériaux, b étant la largeur réelle du contrefort parallèlement au mur, et c Tentre-axe ou Tespace* ment constant d'un contrefort au suivant, on a évidemment

'»^er^c:=z'csr^e^b ou r=— = n

Faisant pour abréger ce dernier rapport =n, éliminant «-^ ^^^^^e cette équation et la précédente, et désignant simplement par «9- le poids du mètre cube de la magonnerie, il vient

P(^sin.a-/cos.a)=i.(.A+2v.^+;V^)

— m[^Pcos.a+'ïr (ejA, + -e,Aj)j (13)

équation qui fixe le rapport, avec la poussée P^ des dimensions d^oa mur k contreforts doué d'un excès de stabilité mesuré parm. Dans tous les cas pratiques, on résoudra facilement Téquation (13) par rapport e^, ce qui fixera l'épaisseur uniforme du contrefort compatible avec m, La saillie e^ strictement suffisante pour résister à la poussée P, devient, en faisant m = Q,

«.=-«e.^-|-(/^(A.sin.«-/co8..)+«i;(î^-l)V(14)

40. Murs rectangulaires résistant à la poussée de fermes sans tirant (fig. 4, pi. XCIII). Reprenons ici l'équation (2) de la ligne de résistance d'un mur rectangulaire

P (x sin. a — k CO8. a) ^ <ar 0a;-{-Pco8.a

MURS (avec contreforts). 1189

et remarqaoDS qae P sin.a et P cos.a y représentent respectivemeDt les composantes horizontale et verticale de la poussée P par mèlre courant. Or, on peut voir à Tarticle poussée des charpentes que, dans ce cas, ces composantes ont pour valeur, savoir :

horizontalement, - «•. L coséc. t = — ^—

et verticalement, '••^Lséctirr

L étant la demi-portée, % l'inclinaison de l'arbalétrier sur l'horilOD, et ftf^ le poids du métré carré de toiture. Substituant ces valeurs dans Féquation (2) à la place de Psin.a et P cos.a, il vient pour Yiquation de la ligne de résistance

L (x 008. • — 2 A sin. 0 «

yrz: ^— =:L

2sin.« I -^excos.t + L)

J X cotang. i — h

k étant toujours la distance du pied de l'arbalétrier à l'axe du mur, et ^^ le poids du métré cube de maçonnerie.

Ed mettant dans cette équation A = hauteur du mur à la place de X, (^ e — m) pour y, et la résolvant par rapport à e, on aura, comme pour le mur ordinaire (â5), l'épaisseur e qui, sous une hauteur k. assurera au mur un excès de stabilité m.

On pourrait de même, en la résolvant par rapport à i, déterminer l'inclinaison qui, sous une portée donnée 2 L, une hauteur A et une épaisseur déterminées e, laisserait au mur le même excès de stabilité, etc.

41. St U mur est maintenu par des contreforts^ les substitutions de la valeur des composantes horizontale et verticale de la poussée du toit dans Téquation (13) donneront

«-,1(1 A| coséc. t — Zséc.t')=| t» (^^f^i\'^^i^%^\'\"' ^^K)

— ml^jLséc.t-|-'®' (^1 ^4 + - e^/ij) (16)

équation qui déterminera l'épaisseur e^^ des contreforts, qui assurerait on excès m de stabilité.

42. Centre de gravité d'un mur ou d*un contrefort dont les pare- '^ients sont inclinés d'un angle quelconque sur la verticale (fig. 5, p'- XCIII). Soit H le centre de gravité du parallélogramme ABED dont l'aire est évidemment =ec.

K celui du triangle BEC=j (b—e)c.

Gcelui du mur ou contrefort dont la section = |(6-|-«)<?; tirez

1490 MURS(at>ec ialus).

Jm,GL, KNf^erpendiaalaieefl^eiit à -I9 ^dateur kFz:zCy etapi^loiis X U dJ^tuDoe G L à oetie iwtîcale 4u contre ^ )gravité G ; on a

or HM=ié?+.fctaDg.a3=l(e+clang.aJ

KN=} (6+2e+ 2c tang.o,) ce qui doDoe, rédnctiaos faites,

Diverses traiisforD\atioDs et ^ubsiitutions sur Ie8guelle3 je u^ivr siste pas donnent encore cette taiitre expression

^ i e* (Ung.«a^ — tang.'ot,) + e c tang. «^ + «« .

c (tang. a, ^ teng. a,) +^6 "^

qui s'appliquerait an cas^ù le talus Ad plonge vers l'intérieur, en iy /aîsMt alore t$.^ et dès lors Imjg. «ç, «^atîfe. T^g. o^ ^^^ éyid«mment zéro lorsque le p«renmit inAénieur e^ iwrtii^.

43. ^E^uaHen de ta ligne 4e réêiêkmae Je un imr d talus qudoon" quès. Soit LM {fig. f6, pi. XOIII) Hn fit 4)qrieo0|al du mux siiuéi une dislance or de son sommet^ TK une verlieffle pasaaqt par le centre de gravité du massif A M L8 qui Pepose<siHr ce dit. Proloagez le plan t.M jusqu'à sa rencontre avec le plan vevticad AF^KV sera la valeur de X ^éfermiiiée dans le nuivèno j^cèient, en y mettant a? au lieu de c.

Soit PO la direction de la poussée P, OS son iotensité P, ON le poids du massif BLM A , OR lo lésultaiite de cas deux efforts, Q -le point où la direction de cette «ésRltaate iirîeni iPcmowtiier le lil LM^ point qui appartient dès lora à la tioorbefd/eafoinl^ d'applidr tion ou ligne de résistance. Faisant

VQ=y5 AG=*, angle TOP = i

et conservant les notations connues^ les triangles semblables don^ nent^ ainsi qu'on Va vg déjà,

QK RI

OK^OI On a d'ailleurs

OKcrrTK— T©=ir— CX+ft)cotaBg.t RI=Psin.t

01— ON+NI = i'ara:(AB+LM) + Pcos.f

MUftS (batardeaux) . f t4f

0'f==^'*«[îd4- (taiîg. a, — eaiig. a^)] + P cos; i

ce qai donae en fonction de X (18)

^ îo-a?[2«+* (t«Dg-*i — t*"g»*«)] + P COS. %

Meltafti^ à.laplaoe iee Awê Péqaatîon (f8)> multipliasl les> deux membres de eette é({iiatio» par le dénominateur de son seaind membre et pat | «-a?, oft a pour V équation générah de la kgme dk rih iittance

j^a?» (tapg. '«t — tang. 'a,) +'tra?*g Ung.at+^ag»*+^P (g wd.»~^ cos.t)

En j faisant tang.o^izrOj on aura l'équation relative au mura parement intérieur vertical.

44. dû peut remarquer que Téquation ayant trois dimensions en a: , il pourra y avoir trois valeurs de x pour certaines valeurs de y; la courl^e des points d'application a donc un point d^inflexion.

Sèabiliié du mur à talus quelconques. Uéquation précédente de la ligne de résistance (19) suffit pour déterminer toutes les condition^ de stabilité^ ainsi qu'on Ta montré pour le cas du mur â parements verticaux. Nous remarquerons seulement que si Yon voulait fixer rincîinàison ot^ drf falus extérieur, de telle sorte que (a ligne de résîstance vint eotipei" la( base du mur à tme distance donnée m Au pied dé ce tartoà^ il fetrdraît i«ésoudre Pèquatîon cî-nlesstis pat rapport à tang.a^ , après y avoir substitué là hanteui* d du mur pouf X, puis (CF— m)=(e+ctang.ttj —m) pour y, e étant l'épaisseur B A. ou sommet. On obtiendrait fecilement tout autre élément de la question^ en résolvant Téquation de la ligne de résistance par rapport à cet élément-, et l'on peut remarquer que, dans toutes les applications^ l'apparente oomplî«ation des formule» disparaît par l'introduction des données numériques du problème pratiqué ktéh

soodre.

45. Stabilité d'un mur d'épaisseur uniforme sùiâms d la poussée de Veau stagnante. Batardeaux rectangulaires (fig. 7, pi. XCIII). Tout se borne encore à trouver l'équation de la ligne de résistance du bafardeard^ et les notations étant clairement indiquées sur h figure, on a immédiatement, savoir !

Résultante P de la poussée du liquide sur un mètre couraùt du mur et une hauteur {x — n), x étant la distance au sommet d'un lit quelconque IK,

P=(a:-n)xni(:c— n)=in(x-n)' (2^)

Car là pression d'un liquide sur une surface plaûe est le poids du

1199 MURS (batardeaux).

f)risTne liquide, dont la base est cette surface et la hauteur égale a profondeur du centre de gravité de celte aire au-dessous du niveau. Quant au point d'application de cette résultante, il est au centre de preêsion (p. 259) de la surface ou à \{x — n) au-dessous de ce même niveau.

O étant toujours le point où la poussée du liquide rencontre Taxe du massif IK A B^ OS rintensité P de cette poussée, ON=o-«i; le poids du massitj OR la résultante do ces deux- efforts^ Q le point de la ligne de résistance) où sa direction rencontre le lit IK^ M=y, on a

QM RN y |n(a; — n)«

MO NÔ ^" i(a; — n) 'sr^x

et pour Véquaiîon de la ligne de résistance

n(aî — n)3 n -/ n\3 , .

* 6ftf ex 6<o-e V x/ ^ '^

La dernière expression de y est destinée à montrer que y augmente en même temps que x. Ainsi la ligne de résistance se rapproche de plus en plus du parement extérieur à mesure que la hauteur augmente

46. Fixer la hauteur h du batardeau en sorte que la ligne de résistance coupe la base d une distance donnée m du parement extérieur. Il suffit évidemment de mettre dans Péquation (21) h pour x et (I e — m) {)our y, puis de la résoudre par rapport à e, ce qui donne pour Tépaisseur pratique E

^=^+lA^+^^ (^^)

m étant le module de stabilité.

En faisant m=o , on a pour l'épaisseur e correspondant k l'équilibre strict

47. Observation. En essayant de rapprocher celte formule (22) de celle qui a été donnée par M. Poncelet pour le même cas^ en partant de la stabilité des revêtements de Yauban ( $ 8) ^ je trouve qu'en faisant icim=:^0^ on obtient

£ = 0.866 l/ËÏEzF^* (24)

ce qui est^ à un millième près en plus, Tépaisseur pratique de H. PonceUt. Je remarque en outre que Tépaisseur ci-dessus n^csl

ttURS (batardeaux). 1193

rieo aatre chose que Tépaisscur e correspondant à Téquilibre strict exactement augmentée de sa moitié

Faat-il Toir dans cette simple règle un principe de construction d^uoe application générale?

48. Conditions de la stabilité relatives au glissement des assises horistmtales. L'angle SRO étant Tinclinaison de la résultante des forces avec la normale au lit IK, il n'y aura point de glissement possible sur ce lit, tant que Tangle SRO sera moindre que Fangic ? du frottement de l'assise. Or

OS=:ON tang.SRO ci) V=:^ex tang. SRO 00 encore tanff.SRO=--i^ ^

" 2'w ex

La condition de stabilité^ quant au glissement^ revient donc à

Ce qni donne poor la valeur de x

49. le hatardeau ayant un talus extérieur incliné de l'angle a sur la verticale (fig. 1, pi. XGiV), soit XY un lit horizontal situé à la distance x du sommet^ SM la verticale passant par le centre de gra- Tilé da massif qui pose sur ce lit^

kTi=X'y XQ=î/; MX=X, AÉ=»

Conservant d'ailleurs les notations précédentes et raisonnant comme au numéro précédent^ il vient

QM RT Sli~ ST

QM=QX— MX=y— ).

SM=PX=|(a?— n) RT = Poussée = J n {x — nf ST= i «• a: (2 e + a? tang. a) ^ qui donne

3 *»• ;2 « « •^- X* tang. a)

1 1 9 i MURS (poussée des terres).

Faisaol a^^zo/ a^=a ciczzzx danî Péqvafion (i8), on v

ce qui conduit à Véquation de la ligne de réMianûe do batftrdeaa à tatus extérieur :

dont on déduira, comme on Ta vu« Ions les élémenti de la stabilité quant à la rotalioo^ en y faisant y =(e-|- A tang.a — m) el xzzzh,

50« La condition à satisfaire four qu'il n'y ail glissement sur aucune assise est évidemment

QSM<? ou tang. QSM<tang. <p Or on a

RT = STfang.QSM

La condition de stabilité relatite an glissement devient donc

\^9X-\-X*iVk%.^)

<tang.? (50)

et le* premier membre de cette inégalité augmentant en même temps que x^ on voit que la tendance au glissement est plus grande pour les assises inférieures qoe pour les assises supérieures. Elle augmente pour chaque assise avec sa profondeur au-dessous du niveau du liquide. On fait ici, comme ailleurs, abstraction do Tadhésion des mortiers (p. 1169), laquelle étant peut-être proportionnelle à Pêtendue des surfaces modifierait le résultat ci-dessus dans les batardeaux ù talus extérieur.

51. Pousses des terres; Murs de revêlemenl. Nous appc-* Ions talus naturel des terres l'angle avec l'horizon que prend nata< rellement leur surface supérieure lorsqu'elle a été longtemps abandonnée aux inOuences atmosphériques, et nous le désignons par f. Bien que, daus tous les cas pratiques, cet angle doive être directement observé sur les terres mômes à soutenir, et le poids du métro cube de ces terres mesuré dans les circonstances où il est roaiimura, nous rapportons ici, moins pour indiquer des moyennes que pour montrer des limites, quelques résultats d'observations recueillies p»ir Navier,

MURS {poussée des terres).

Talus naturels de terres Jébtayjêes,

lt95

BSE9BC9

tssa

Sible fia et sec, d'après une seule obsery^tion de Gadroy. . . .

Sable fin bien sec et grés pulvérisé, d'après Rondelet

Sable de Tespèce U plu« (é^re^ d'après Barlow

Terre ordinaire bien sèche et pulvérisée, d'après Rondelet, . • • La même terre lé*;èremenl humectée, d'après Uondelel.» . ^ • • Sol de l'espèce la plus dense et la plus compacte , — Barlow. .

Terre incohérente et parfaitement sèche, — * Paaùy

Sable de rivière très-fin ^ — Delanges

Sable très-fin, — Huber^Burnand »

Idem rarement

J'ai trouvé poar le charbon de bois en halle des talus qui oat

varié de