PÉNÉTRATIONS

dait par la réaction de la maçonnerie^ dont quelques débris sont projetés jusqu'à 40 et 50 mètres. La (rainée de décombres devant les trous est d^enyiron 6 mètres. Presque tous les boulets sont brisés, même lorsqu'ils sont tirés à faible charge, et, en général, suivant des plans méridiens dont le pôle est le point qui- à frappé le pre* mier. Sur les boulets restés entiers et sur les fragments, on observe, en outre, des sillons rayonnants autour du même point, et ayant quelquefois O'^.OOOS de profondeur.

Leê haUeê des carabines forcées commencent à être meurtrières à 500 mèlreSj et les balles des fusils de munition à 300 mètres. Bien que ces dernières blessent encore à des distances beaucoup plus grandes, ce n'est guère qu'à fiOO mètres que le feu de rinCanteric est regardé comme efficace. A 150 mètres, la cuirasse de9 cuirassiers français, de Oo'.OOâS d'épaisseur, n'est pas à l'épreuve du fusil de munition, ni du pistolet à 35 mètres.

La balle du fusil de munition, tirée à 10 mètres, pénètre de 0ni.l2 dans, le papier ; à 50 mètres, elle ne perce pas un madrier de chêne de 0^^.02 revêtu du côté de la balle d'une feuille de tôle, de 0'».0025 d'épaisseur; à 22 mètres^ elle pénètre de 0°>.72 dans deis matelas de laine placés entre deux claies; à 40 mètres, elle traverse 14 matelas simplement appuyés contre une planche de chêne et formant une épaisseur de laine de 1».12 ; tirée à bout portant, elle ne traverse pas un madrier de chêne de 0"". 10 d'épaisseur; mais après un petit nombre de coups, le madrier est fendu ; de sorte que, pour être à l'épreuve de la balle, des poutrelles en chêne doivent recevoir environ 0(°.15 d'épaisseur.

Fourcroy^ dès 1768, avait remarqué que toutes les balles tirées dans le sabU se trouvaient fort élargies , convexes par le côté qui a frappé le sable, et fort concaves du côté du fusil ^ que les bords en sont devenus fort minces, garnis de déchirures et ébarbures fort irrégulièresqui ont jusqu'à O^'.OS de longueur ^ que la partie concave se trouve recomblée de sable entassé, fort adhérent, fort dur et presque aussi fin que s'il avait été porphyrisé; enfin que la parliç convexe est toute inégale^ raboteuse, souvent écorchée et déchirée, et par conséquent la plupart des balles diminuées de leur poids.

Des chandelles calibrées et raccourcies au poids de 0^.030, tirées au lieu de balles dans le sable, y pénètrent à la même profondeur, mais en faisant des trous plus larges ; tirées à 3 mètres de distance de 2 feuillets de chêne, chacun de 0°'.04 d'épaisseur, dressés contre une coupe de sable, elles les percent tous deux, à chaque coup^ d'un trou irrégulier d'environ 0"'.04 dans sa plus grande largeur.

Boulets. D'après Cormontaingnej le simple roulis d'un boulet de calibre quelconque est extrêmement dangereux pour les hommes, même à une grande distance. Ils ricochent sous les angles de 5" sur

Teau, de S"" sur là (erre ferme, de 26* sar le bots, et de 33* sur la mâçonoerie à la charge de | de leur pofds. Si fa charge est plus forte, ils ne ricochent qae sous des angles plus aigus.

PENDULE. Corps solide pesant^ oscillant aatour d'un axe fixe horiiomal (pi. XCVui./îjf. 1).

PHkinlê êimpU. On simplifie la recherche des lois do «nonvement d'un tel corps en étudiant d'abord celles d'un pendole idéal supposé formé d*an fil ineiteasible AB, inflexible^ sans poids» suspendu par Tane de ses extrémités i un point fixe A, et supportant à Taolre «110 seule molécule matérielle B dont nous ferons le poids x=p ; c'est ce que l'on appelle le pendule eimple.

Considérons le système au moment où, écarté de la verticalo AB d'un angle BAC:^A , il vient d'être abandonné à lui-même sans aucune espèce d'impulsion initiale , et appelons L sa Jongueur oon* stanle AC. il est d'abord évident que le poids p ne peut, dans ces hypothèses, parcourir qu'un arc de cercle de ravoD L; et^ soit qu'on le considère comme un corps qui descend de la hauteur ver«licaleBDsrH de l'arc décrit, ou comme un corps qui tourne autour du point fixe A, le principe dos forces vives (p. 786) donne

IV* 1 p d'où Y = K27E= 1/ 2^ L (i — COS. A) = L Û. . (2)

en appelant V la vitesse, tangentielle à la courbe, acquise au point le plus bas B, et û la vitesse angulaire de p en ce même point.

Ainsi : 1» ces vitesses sont indépendantes du noids p de la molécule suspendue au fil ; 2» l'angle A étant considéré comme avant son origine en C ou en C, et étant pris positivement de C vers B et négativement de C vers B, les vitesses acquises au point le plus bas augmenteront avec cet angle de plus grand écartement; 3» une fois acquises , elles ne deviendront nulles qu'à la condition ^l^****tKFS. A)=:é, COS. Ain: 1 , ou A==0, c'est^à^^re lorsque p atteinura les points C^C^ au même niveau et également éloignés de la verticale AB. La masse pendulaire p oscillerait donc sans cesse de G en G^ et de O en G, si la résistance de Pair ne diminuait pas de plus en plus VampHiude Clti^* ée chaque osfntkrtifm et n^éteignait enfin son mouvemeiit.

On voit même facilement (fig. 2^ pi. XCVIII) que, si quelque arrêt fixe n, n\ n" était rencontré par le fil pendant sa course, le corps

p ù*en remoDterail pas moins à son niveau primitif on décrivant autoor de ces arrâls fixes des arcs de cercle de rajons plos courts, et ie pendule, abstraction £site de la résistance de Pair, oscillerait ainsi indéfiniment en décrivant les courbes non symétriques C Bo, CBo'.

Toutefois, ainsi qu'on le verra plus loin» les branches do ees oourbcsy situées à gauche dans ]% figure 2, seraient décrites dans des temps plus longs que les branches situées à droite , car ces durées dépendent du rayon de Tare décrit.

Si (fig. 1» pi. XGYIII) l'on voulait avoir les vitesses t; on ca au

moment où la masse- parvenue à un point q.uelconque M doit encore décrire l'angle a pour arriver au point le plus bas^ on aurait» en vertu du môme principe» h étant =MI = L(cos. a — cos.A) :

« = |/2jA = (i>L; (o = 1/ ^ (cos. a — COS. A) (4)

vitesses qui deviennent nulles aux positions pour lesquelles on a (iir=A))et comme, dans on mouvement quelconque sur «ne courbe» (orf/= da^ on trouverait pour la valeur dt du temps que le pokkp mettra à décrire le petit arc da

ci> V^gh y2gL{cos.a—co».A) ^ ^

Imaginons maintenant un deuxième pendnle simple d'une longueur difTérente Uz=Ac\ écarté d'abord delà verticale AB d'une valeur angulaire b' A c'z=z B A G = A^ puis parvenu sur son arc d'oscillation à un point M' homologua de M> après être descendu d'une hauteur M'r=A'. Supposons méme^ pour plus de généralité» que ce dernier pendule oscille en un autre lieu pour lequel la gravité =;=: jr'» nous aurons» en raisonnant comme pour le premier^ et accentuant les quantités qui se rapportent au pendule V :

•'=o>'L'=z=K27*^; o)' = l/^ (cos. a — cos. A) (6)

^^--^^yWf' ^'^

eetfiMî donnerai pour le rapport des temps employés par l'un et l'a«i- Ire pendule ponr parcourir un petit arc da de méoie valeur «ngulatre et seoiblaUement placé :

ai' "- L' i^'Wh ~ VJhU7v~l/ ïF ^""^

car les lignes homologues des cercles A c ft' , AGB donnent 4A: :L'LoufcL' = LA.

Aînsi^ lorsqac deux pendules ont été écartés de leur verticale d'uae même valeur angulaire et qu'on les abandonne ensuite à euxmêmes, les temps étémentatres di,dt', employés par chacun d'eux pour décrire de petits arcs homologues, sont dans un rapport constant. Or, les arcs GB, e'b', à décrire par chacun d'eux pour parvenir à leurs points lesplus bas, se composent d'un même nombre de petits arcs semblables : donc, lés temps respectifs I, I', qui expriment en secondes les durées de ces descentes ou demi-oscillations, sont dans le même rapport et

si les pendules simples oscillent au môme lieu, g^zzzg ei

v=yv ^'^ v = F^ (*^)

et les durées de leurs oscillations sont entre elles eomtne les racines carrées de leurs longueurs.

Si, au contraire, leurs longueurs sont les mêmes et s'ils oscilleat dans des lieux différents, on a, en faisant L= L' dans (9) :

i = {^ ou ,(* = 5'i« (Il)

et les durées, en secondes, de leurs oscillations de même amplitude, sont entre elles réciproquement comme les racines carrées des videurs de la gravité dans ces lieux différents.

Mais quelle durée absolue T emploiera un pendule simple d'une longueur déterminée L*pour descendre au point le plus oas de sa course, dans un lieu où la gravité eaX g?

On obtiendrait cette durée si Ton savait intégrer l'expression (5), que nous mettons sons la forme

- — Lda , ^

dt=:.y—~^, == (12)

y ^gL (co8. a — co». A) \ /

parce que l'arc a diminue à mesure que le temps augmente. Cette intégrale n'étant pas de celles que l'on connaît, on a, par approxrmation, en désignant par f la flèche de Tare d'oscillation mesurée dans le cercle de rayon un ou le sinus verse, mesuré dans le même cercle de la demi-oscillation du pendule simple :

Le double de cette quantité sera donc la durée 2T d'une oscilla-

lion entière de G eoC Les deux premiers termes de la parenthèse suffisent lorsque Tamplitude totale ne dépasse pas 5 à 6 degrés tout «lu plus^ et Ton a alors

aT

pour la durée très-approchée d'une oscillation entière^ abstraction faite delà résistance de l'air. Cette formule (14) est celle qu'il convient d'employer dans la pratique.

Lorsque l'angle de plus grand écartement A est très-petit, a qui y est toujours contenu devient lui-même très-petit d fortiori , et l'on peut, dans l'expression (12)^ remplacer cos. a et cos. A par leurs

valeurs respectives approchées [ 1 — —•] et [l — — j, d'où résulte COS. a — COS. A = ^(A* — a*); l'expression (12) devient alors intégrable^ et l'on a (p. 991, § 40) :

La constante G est nulle, puisque^ lorsque a= A, Test zéro. Fai-*

gant az=:0, l'arc dont le cosinus z= -- = 0 est ^ u^ ce qui donne

pour limite inférieure de la durée T d'une demi-oscillation de très-peu d'amplitude :

On peut même observer que l'arc oui a zéro pour cosinus étant aussi bien ^icque^ic ou lie..., lemooile p reviendra en G dans une infinité de temps successifs, tous séparés entre eux par la durée

constante 2ic | y^- de deux oscillations entières.

La méthode infinitésimale n'étant pas en faveur aujourd'hui, c'esl peut-être un devoir pour nous de parvenir à l'expression (15) en masquant l'intégration. Passons donc de nouveau par les considéra* lions suivantes qui sont regardées comme plus élémentaires.

En assimilant un cercle BG (flg. 3, pi. XGVIII) à un polygone d'une infinité de côtés, un quelconque H N de ces côtés est égal au produit de sa projection NQ =PP' sur le diamètre qui passe à l'ori-

gine B par le rapport —^ du rayon du cercle à Tordonnée correspondante à ce côté.

En effet, les Criangles recUogies MNQ, AMP, ayant leurs c6tés pcrpendicdlaireSj sont semblables et

AM

MP ; (QN = PP') : : AM : MN =PP' x ^.

Si, sur la hauteur de chuteH=DB comme diamètre^ ou décrit une demi-circonférence Dmh, ia projection mn sur cette circonférence du petit arc MN décrit dans le petit temps dt donnera de mémo

mP : PP'::Om;mn=:PFX -?

Remarquant que mP = |/K(fl— A) et que DB étant par hypothèse le sinus verse d*ua arc très-petit, on peut faire M P ss: [/2L<H — *) par approximation ; oo a» pour le rapport du petit arc décrit MN= Lda k sa projection mn sur la circonférence DmB, dont le diamètre est H :

mn MPXOm H

ce qui donne, pour l'expression (5) du petit temps dt employé à pan)ourjr le petit arc Lda=z M N :

dt=:

y^gh y^gh

c'est-à-dire que ce petit temps d$ est proportionnel h la projection mn de l'arc MN, réellement décrit sur la demi-circonférence doni le diamètre est égal à la chute totale H : donc^ l'arc 4e chute total CB, dont la projection est DmB, sera parcouru dans un temps doni la lîmîie inférieure est

ainsi qu'on l'a trouvé plus haut (15). L'oscillation entière de G en C s'accon^irail dans u* temps donUe ou t T.

Il est digne de remarque que oette durée soit indépendante ée l'anplitade du très-petit arc décrit ; on «m conctot qae lai MriHation$ du pmduk simpUy dans le vidcj sont éenêiètimmt i80<^rone$ ^u d'égale durée^ pourvu me leur$ ampUtudes 9oUnt presqm nulks. Avec ceite condition, en effet p l'arc de cercle décrit se confond presque avec celui i'nae cycloïde (p. 493) dont le cercle générateur aurait

un rayon r =: <r-, et Ton sait depuis Huyghens (1^73) qu'un pen-

dule simple qui décrirait celte courbe dans le vide accomplirait toa-

PENDULE composé. 1255

les SOS oscillations dans des dorées absolument iodépendaDtes de leurs ainplitodes^ et par conséquent égales entre elles.

Admettre risochronisme des oscillalions sQÎyant des ares de cercle inGoiment petits^ c^est d^aiileurs Fadmeltre suivant des arcs infiniment petits d'ellipse ^ de parabole ou de courbes queloonqnesy car sur une très*petite étendue leur courbure se confond avec celle de leur cercle osculateur.

On remarque encore qu'un corps qui tomberait d'une hauteur égale au diamètre SL de Farc du cercle décrit par on pendule emploierait à descendre, le long de ce diamètre dans le vide, un temps

i' = 2 1 y/^- '• or^ la durée delà chute, selon le diamètre^ est celle de la cbute par une corde quelconque de ce cercle (voyez plan incliné) ; le temps t=:\iz 1/ - de la descente par l'arC dont la tan*

gente est horizontale est donc plu^ court que le temp^ de la des* cente par la corde de ce même arc dans le rapport de ic à 4 ou 3.14156 à 4, et la ligne droite^ <mi est le plus court chemin d'un point à un autre, ne serait pas ici le chemin de plus courte durée entre ces mômes points s'ils étaient très-rapprocbis , comme on le suppose ici. An reste^ Tare de cercle a'esl pas laî-aiéme la courbe déplus vue descente entre ces points, et l'on sait Aepnxs Jacques Bernouttti (1696) que cette courbe est la eycloïde dont l'origine serait ao point de départ du mobile (voir p. 49S).

Penduk composé. Le pendule simple n'a évidemment qu'une existence idéale, puisqu'il est matériellement impossible de faire osciller une setde molécule pesante à ^extrémité d un 61 inextensible et sans masse suivant un arc infiniment petit et dan^ le vide.Le f>endole est donc toujours un corps massif ^ étendu^ physique, que 'on nomme pendule composé. Nous avons traité; i la page 11 43^ du mouvement d'un tel corps autour d'un axe horizontal, et nous y sommes parvenu à Pexpression suivante de sa vitesse angulaire <»), lorsque parti sans vitesse initiale d'un écartement A, il lui reste à parcourir a pour revenir à la verticale :

ti>

= j/2j(cos.fl-^co8.A)L/^. . . (18)

Si Ton rapproche cotte vitesse de celle (4) que l'on a trouvée pour le pendule simple placé de la mâme manière par rapport à la verticale, on voit facilement qu'elles deviennent idenlîques en faisani

195$ PENDULE composé.

Ainsi, les lois du mouvement d'un pendule composé sont celles d'un pendule simple d'une longueur L que l'on obtiendra en divisant le moment d'inertie de masse I^ du pendule composé par le produit fait de sa masse M et de la distance D do son centre de gravité à l'axe fixe.

Donc, si ces oscillations ont une amplitude extrêmement petite^ il vient de même

PznM jf étant son poids dans le vide ; et comme on a alors

la durée minimum T de la desccnto suivant un arc extrêmement petit devient :

Le double de cette quantité serait la durée approchée d'une osciU lation entière dans le vide. Mais nous avons vu (p. 251) que

« était le rayon d'oscillation du pendule composé : donc, on peut dire encore que le pendule simple, dont le mouvement dans le vide concorde avec celui d'un pendule composé, a pour longueur le rayon d'oscillation L de celui-ci*

Il en résulte qu'un cône plein, dont l'angle an sommet est droit, formerait un pendule composé synchrone d'un pendule simple d'une longueur L égale à la hauteur du cône.

Et comme les centres d'oscillation et de suspension sont réciproques l'un de l'autre (p. 252), la durée d'une oscillation d'un pendule composé reste la même, par quelque extrémité de son pendule simple synchrone L qu'on le suspende (Huyghens). Ainsi, le cône ci-dessus pourrait être suspendu par son sommet ou par le centre de sa base sans que la durée de son oscillation changeât.

Yoilà donc les mouvements du pendule composé ramenés à ceux du pendule idéal ou simple , et ces derniers, très-approximativement déterminés pour le cas des amplitudes extrêmement petites et abstraction laite de la résistance de l'air. Voyons quelle peut être l'influence de celui-ci.

Influmce de l'air. On peut, jusqu'à un certain point, entrevoir sans calcul que la résistance de l'air devra augmenter la durée de la

PENDULE. Ii57

première descente sans avoir aucune influence sur son amplitude. Paryenn ainsi à son point le plus bas avec une vitesse moindre que celle quMl eût acquise dans le vide^ le pendule s'élèvera à une moindre hauteur que celle d'oà il est descendu^ et Tamplitude de l'arc de première ascension étant ainsi diminuée, cet arc d'ascension sera

Îarcourn probablement en un temps moindre que Tare de descente. I est même possible que Taccroissement de la durée de la descente compense la diminution de la durée de l'ascension^ et que la première oBcWhiion entière s'accomplisse ainsi en un même temps que dans le vide, l'amplitude du mouvement étant toujours supposée extrêmement petite.

Quant à la seconde oscillation entière, son amplitude totale diminuant encore en vertu des mêmes causes, on pourrait croire qu'elle s'accomplira en un temps moindre que la première^ et finalement que les durées des oscillations successives iront sans cesse en diminuant avec les amplitudes de celles-ci, de sorte que Visoehronisme des oscillations du pendule n'existerait pas pour les mouvements dans l'air, même très-petits. Ce fait est bien confirmé, en effet, par une foule d'observations (*) ; mais il paraît, heureusement, qu'il ne devrait pas avoir lieu, si l'amplitude des oscillations était encore plus petite et que, quelle que soii.la résistance du tniUeu^ le temps de VoseiU lation entière est le même que si le mouvement avait lieu dans le vide^

Eourvu que l'amplitude soit excessivement petite, et, dans certaines jpothèses sur la loi de la résistance, pourvu que cette résistance soit très-faible elle-même par rapport au poids de la lentille du pendule. Du moins, ce théorème, en partie soupçonné et énoncé par BougueTj que Borda désirait démontrer, bien qu'il n'y soit pas parvenu, a été finalement établi par Poisson dans un mémoire auquel je renvoie, et où il a pris soin de négliger tontes les puissances supérieures à la deuxième, qui auraient pu modifier, pour le mouvement dans l'air, la loi si simple de Visoehronisme des oscillations infiniment petites du pendule dans le vide.

Mais il ne s'ensuit pas que la durée des oscillations, même très petites, soit en effet la même dans l'air que dans le vide : car le pendule y perd une partie de son poids égale à celui du volume

-' ' -- Il -^^^___^__

(*) Admettant que l'ampHtude des arc8 décrits dans l'air diminue en progression géométrique, lorsque le temps augmente en progression arithmétique, M. fiio( est parvenu à l'expression suivante dans son astronomie phyiiquB :

■Kt -kjbI M 1 M»' A sin. (A — a)

NzzN'll -| ^ —-

I leiog.hyp.-

A et a étant respectÎTement les arcs de demi-oscillation au commencement el à la fin de la durée de l'observation , N' le nombre d'oscillations accomplies pendant cette durée et N le nombre d'oscillations qui auraient été accomplies si le mouvement avait eu lieu suivant un arc infiniment petit.

t258 PENDULE.

d'air ({tt'ti déplace. Soit dbnc P=:Bf^ le poM§ du pendule dam le vide^ et ¥^zsz}tg^ lie poids du pendultd Aaus Pair, ou a

li=- et 9,==:^ 9 («4)

c^eslrà-dire que, si Ton Toohit leuir compte de cetie influcocc,

on dcYfait mettre cetlie valeur de g^ k b phce de g dans toutes les

p formules ci-dessus ou y multiplier g par le rapport ~,

Enfin «me certaine quantité d'air est entraînée dans le mouvcment du pendule et Raccompagne, ce qui change la masse et le monwDt d^nertie d« système oscillant, surtant des lois qui dépendent de ses forMe9 et qui ne sont réellement connues pour aucune d'elles.

Miduetion au fKwau des mer$. La formule de la page 339 montre d'aflieurs qo'M y a eaFtre deux pendules synchrones, Pun Lo observé av nfrewf des oiers oà la gravité est ^.^ Paulre V observé à une kautaurEau-desstts de ce niveau et où Fa gravité est </', les relations

R étant ie rayoi» terrestre calculé pour la latitude du lieu où l'on observe. Encore fattl*tl remarquer que l'oin néglige ici, à cause de leur ineerlîidde» les correcCiona dues à l'attraction des couches terrestres comprises entre iea deux niveaux.

sultats des otiservatioss Abl pendule la précision qu'exigent les conséquences que l'en en tire ; nous ne pouvons nous y arrêter ici, et nous terminons cet article par k résumé de quelques valeurs numériques on rapport avec la iWorîc du pendule.

Longueurs L, réduites au niveau des mers, de pendules simples oce^mpUssani une oscillation entière infiniment petite^ et, dans le vide, en une seconde sexagésimale de temps moyen.

jParit

Londres

Ile Rawak . . . .

Uurdeaui. • . . • BoakerqiM. • . .

Hamoierrett . . .

Spitzbe.rg. . . . .

OBSEXVATBUaS.

Borda

Biot, Mathieu , Bouvard.

Frejcinet, Duperrej.

Kaler, Sabine.

Frcycinct.

Bîot, Mathieu, /rf., id.

Sabine.

Id.

PËNWLE BALISTIQUE. 125^

PENDULE BALISTIQUE (fig. 4, pi. XCYIII). Instrument proposé, tn 1742, par rJDgènktif JSeii9«smm iloitf», employé encore aujourd'hui par toutes les artilleries de l'Europe pojir mesurer la TÎlease de ieurs t)o«let8y et qui «e prêterait peut-être ji des applications moins militaires et partant plus utiles.

Il se rédoit en principe à une forte masse de hois M=: — ^ suspendue à un axe horizontal A. Le projectile tiré à très-petite distance de oeUe masse, et téans un pl«n de tir <fui partage le pendule en deux parties symétriques^ jpénétf^ Âa»B une cavité remplie de matière molle, et met amsi le pendule en mouvement. On mesure la grandeur de Tare ZZ' décrit par un point Z de la masse totale situé i une distance connue R de l'axe de rotation; e( Ton en déduit, par les relations suivantes, la vitesse approchée du projectile au moment où il a atteint le bloc. Euler^, (ejpremier, donné la (héorie complète de cet appareil.

Soit u la vitesse da boulot, p son poids, et dès lorB-«a massefii,

on tire, de manière que le boulet soit dirigé* vers le centre d*os-

eillation O du pendolc situé à une distance de Paxe A, que nous

désignons par L ; mais il arrive souvent qu'il frappe à une autre

distance de cet axe que nous appetoDS L

Soient enfin P le poids do pendule; = M sa masse; — D la

distance AG' de son centre de grawité a l'axe A; — I son moment

d'inertie do masse par rapport au même axe, I=:MDL ; — Û la

yiie&^e angulaire du pendule et du boulet après 4e choc ; — a Tare

de rajon un qu'ils décrivent ensemble par Teffet du choc; — NG

=: B (i *-*co8.a) la plos grande hauteur dont le centre de gravité

do peoduie s'élève après le «choc ^

Egalant le moment -/» du cfaoc qui tend à produire la rotation

à la somme des moments des forces d'inertie du système qui y ont résisté, somme égale à (l-f-wP) û = (M DL -j-mP) û , on a immédtatemcnt

(PDL+p/.)Q onO=„,;*l ,...(26)

de sorte que si û était connu, on en déduirait u : or, le principe des forces vives donne encore

(l-fmP)Û* = 2(PD+pOO — cos.a)

ou (PPL+P<') û2(pD + p/) 4 sin.^i a