TT

PENDULE de Foucault, 1261

CQ appelant 0 la durée en secondes d'une oscillation très-petite du pendule^ durée que Ton obtiendra en laissant osciller librement le pendule sur son axe et prenant une moyenne entre les durées de quelques-unes de ses oscillations de moindre amplitude. Ces méthodes ont encore été suggérées par Euler (voyez sa traduction et son commentaire des Principes d'artillerie de Robins). Elles trouvent souvent leur application à d'autres cas^ à la détermination des moments des centres de gravité et des moments dMnertie des marteaux de forge^ par exemple.

Benjamin Robinê, auteur de cet ingénieux appareil^ est né à Bath en 1707.11 est mort ingénieur aux Tndes-Orientales en 1751, après avoir été membre de la Société royale de Londres, membre trèsinfluent de la chambre des Communes, et enfin créé pair, sous le nom de comte d'Orford.

PENDULE de Foucault {fig. S, pi. XGYIII). On appelle ainsi un pendule d'une grande longueur à Paide duquel M. Foucault 9i le premier^ je crois, rendu très-apparent le mouvement de rotation de la terre sur son axe. Il est formé d'une sphère assez lourde suspendue à un fil d'acier très-délié attaché à un seul point fixe A. La sphère porte à son pôle inférieur un style exactement placé dans le prolongement du fil de suspension. On éloigne le pendule de la verticale^ on Tabandonne à lui-même, il oscille alors dans un plan vertical dont Yorientation primitive doit rester éternellement la méme^ si Tinertie est une des lois de la nature (p. 776).

Soit donc A le point de suspension ; pendant toute la durée des oscillations du pendule, ce point A est emporté autour de Taxe terrestre PP' d'un mouvement rigoureusement uniforme, et, vu la petitesse du pendule par rapport aux dimensions de la terre, le point A peut être considéré comme confondu avec B, et décrivant dès lors uniformément un cercle de rayon DB dont le plan est parallèle à Téquateur EGQ.

Admettons, pour plus de simplicité, que le plan primitif d^oscillation A.sn se confonde avec celui EGP du méridien du lieu B d'observation. Etablissons enB un plan horizontal en sable sur lequel le style du pendule pourra marquer la trace de son passage^ et prolongeons par la pensée la méridienne horizontale B M du point B jusqu'à sa rencontre avec Taxe terrestre en M. Le point B , mobile autour de D et de M à la fois^ appartient donc toujours à la circonférence décrite du rayon BD et au cône dont DM est l'axe,BM l'onc des génératrices et le demi-angle au sommet =BMD=X= latitude du pendule : donc aussi, pour un angle quelconque d décrit par B autour de D, il v aura toujours un angle m décrit par B autour de M^ et tel que l'on a entre ces angles la relation

~ =17^= sin X ou m = rf X sin, latitude. d MB

i 262 PENTES. — PERCUSSION.

AiQiii B^ décrivaDt autour de D quinze degrés par heure sidérale^ ce poiol ne décrirait autour de M ^ue 11"" iS' eaTirou daos le laène tejups^ si le pendule osciJlait à la latitude <de 48** 52', qui est k peu près celle du Conservaioire à Paris.

Gela posé, admettons que Je pendule cojmnence ses oseîMations à 0 heure suivant le plan du méridien MB o« MEo; sa prûmière oscillation tracera sur le sable la méridienne ^a. Après une heure sidérale, cette traoe sn, Le méridienMEo «t le poiol deMisp^osiOA A du pendalese trouveront tous transportés vers l'orient dans lepian &i£| àll^'JS'deMEo pour la latitude indiquée, et si le pendule oscille encore, il tracera sur le^able la droite ^^n^. En vertu de Pînerttequî conservo an plan des oscillations sa première onentaiion^ceUe trace^ dont la projection est s^n^ parallèle dés lors à H Eo^ coupera la première trace sn sous un angle S^B^E^, et pour l'observateur q«i , placé sur le méridien la face tournée yers le sud^ a été emporté avec tout le système, le pendule semblera avoir dévié à droite de l'angle S^BjE^ =EoME^. Si le pendule oscille encore une heure plus tard, la déviation S^B^E^ sera double; enfin, elle aura triplé après trois heures, et la trace s^n^ couperait alors la première trace sn sous un angle S3B3E3 de près de 34 degrés. Il est facile de voir maintenant qucladérialion apparente dû pendule de Porient vers l'occident est l'effet du mouvement d« rotation réel de ia terre en sens inverse.

On a réclamé^ en faveur de Galtléey la priorité de cette grande et belle expérience. Les citations des écrits de ce grand homme, qui ont été apportées au débat, ont montré avec évidence qu'il avait aumoins entrevu ces effets, mais elles n'ont pas prouvé jusqu*ici qu'il les ait jamais confirmés par une expérience directe. Or, il j a souvent très-loin d'une prévision théorique au fait ^ui la réalise, et M. Foucault paraît bien être ici le premier qui ait franchi celte énorme distance.

PENTES. On trouvera page 1206 une table des valeurs angalaires des pentes par mètre. LsLpenêe moyenne ées principaux fleuves est indiquée à Partide Cours d'eau, page 463.

PERCUSSION. On lui donne aujourd'hui le nom àUmpulsion (p. 942). La force es percussion des anciens géomètres n^est point me/i»r(76jpr'0.prement diie (p. 776); c'est une cause complexe de mouvement qui implique è la fois les inieusiiés successives 4es forces 0t les durées de leur action. Elle exprime en général la

somme / des efforts variables F exercés & chaque instant di pendant toute la 4lurée l de la réaction de deux corps Von sur Paotre. C'est en un mot une expression de la forme / ¥dl (voyez Choc^

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. iîe3

p. 329). ycjet aussi çstgt 2S7^ pour h détermrnaHoB des centres de pereusiien.

PERMUTATIONS. Yojpez CamèinmmM (p. 352).

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. Mode de pro^ecUoaqui remplace, avec de grands avantages^ fa perspective ordinaire, pour iouB les genres de dessins relatifs à Part de Pingénieur.

La perspective isométrique a été introdaîte en Angleterre, ver» Tannée 1823, par le professeur William Farish^ et il a consacré à ce sjstèn^ de projecTlion, dans le volume P' des Transactiotès de la Société philosophique de Cambridge, un mémoire intéressant que le préseut article analyse et développe- Le principe de la méthode esi contenu tout entier dans U mise en perspective d'un cube dont chacune des faces circonscrirait un cercle.

Perspective isométrique d^tm cube (fif. 1, pi. XCIX)« Menez la diagonale CD' du cube* Imagiaez un plan transparenê X¥ perpendiculaire à cette diagonale; suppoeez cellc-«i prolongée à Vit^m, et placez Toeil à son extrémitéii de l'autre eôié du tableau par rapport au cube. Dans cette hypothèse, tontes les droites menées de chaque point du cube à l'œil pourront être eonsidécées comme parallèles à la diagonale ou perpendiculaires au plan transparent, qui devient ainsi un véritable plan de projection CNrtbagooale.

Il n'est guère moins évident qoe, ces conveotioBS ane fois ad* mises,

1* La trace du cube> sa projeeiian sur te tableau formera on hexagone régulier ADB¥ EG , dont le périmètre représentera les limites apparentes du eube;

2"" Deux côtés A G, B F de cet hexagone seront verticaux^

3* Trois autres arèfes du cube seront des rayons CE, CB, C A , nieAés l'un au sommet de Fangle inférieur, fes autres aux somnawHBet A;

4^ Le» neuf arêtes du cube qui sotent visibfes, égales entre elles dans te cube, sont encore égales entre elles dans la perspective;

5"" Toutes les parallèles menées dans le cube à Tune quelconque de sea trois arêtes constituantes seront entre elles^ dans Fimage, en même rapport que dans te cube lui-même, et y seront parallèles.

Donc, si Ton adopte pour Timage perspective une réduction de moitié, du tiers, du centième^ etc., pour Tune de ces arêtes^ toutes les parallèles à Func quelconque d^entre elles se trouveront réduite» dans le même rapport; et l'on pourra leur appliquer une seule et même échelle^ ce qui explique et justifie la dénomination de perspective tVom^frYlju^ ou d'égale mesure, donnée par Fam/l à ce mode de représentation.

1264 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

J'omets, pour abréger, la démonsiralion des propositions énoncées ci-dessus, que j'ai cherché à rendre, d'ailleurs, assez évidente par le tracé de la planche XGIX, et qu'au besoin les ingénieurs un peu géomètres trouveraient facilement. Je ne démontre pas non plus que :

60 Les trois angles perspectifs G sont égaux entre eux , et de 120";

T Les angles formés par les rayons G A , GB, CE, avec les autres arêtes perspectives, sont aussi égaux entre eux, mais de 60"" seulement, angle supplémentaire de celui de 120''.,

On voit donc, en somme, que dans la perspective isométrique les droites situées dans les trois directions principales sont toutes réduites à la même échelle, et que les angles qui étaient droits à la surface du cube se trouvent toujours représentés par des angles de 120 ou de 60 degrés, celui de tous les angles dont la construction graphique est la plus facile.

Or, dans les machines (fig, 2), dans les appareils, dans les bâti* ments eux-mêmes, la plupart des lignes se trouvent naturellement dans les trois directions parallèles aux arêtes d'un cube convena* blement placé qui les contiendrait. Donc, la perspective ou projection du cube conduit directement à la perspective isométrique de toutes les formes parallclipipédiques rectangles qui abondent en pratique; et l'on conçoit^ sans que je m'y arrête ici^ comment la position d'un point quelconque intérieur au cube étant connue par ses coordonnées rectangulaires, on aura immédiatement ses coordonnées perspectives ou ses distances aux plans perspectifs GEF, EFB, EGA, en menant des parallèles aux Sitéics perspectives ou directions isométriques.

Il n'est pas moins facile de voir que, si l'on a déjà en perspective un des points du plan isométrique dans lequel doit se trouver un autre point dont on cherche le lieUj le premier pourra servir de

S oint de départ, et Ton obtiendra la position du second par deux istances au lieu de trois. Enfin, et c'est le cas le plus fréquent dans la pratique, si le point dont on cherche le lieu perspectif se trouve sur une ligne déjà placée, ou n'a plus qu'une seule distance à prendre*

Il est vrai que, s'il se trouve quelques lignes qui ne soient pas parallèles à l'une des trois directions isométriques, elles ne pourront pas en général être directement mesurées avec la même échelle ; mais c'est là un vice commun à la perspective isométrique et à la méthode usuelle des projections. Toutefois on parviendra de même à les représenter dans le dessin; et, ces lignes étant droites, par exemple^ on déterminera comme il a été dit ci-dessus les lieux perspectifs de leurs extrémités et on joindra celles-ci par une droite. Souvent même on pourra faire usage de Tespèce d'échelle elliptique

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1S6S

{fig. 2, pi. G) dont nous parlerons dans un moneot. Si ces lignes 90vX courbes, on déterminera par la même méthode tant de points qu'on youdra et Ton fera passer la courbe perspective par tous ces points, soit à la Maîn^ soit à l'aido dn fintMtt.

Ellipse isométrique. Mais on rencontre^ dans le dessin des nacbinés surtout, des courbes circulaires, des roues , des engrenages {fig. t^ p(. XCIX), elc* Or, par la nature des choses, la plupart de ces organes se trouveront disposés dans des plan» tfom^/n'^tief, et il arrive fort heureusement que la perspective ison>étriq«e d'un cercle, dont le plan est parallèle à Tune quelcooqve 4es faces du cube devient une ellipse 4e même forme pour toutes les faces (/(jf. 1). Cependant on distingue parfeileinent ces cercles les uns des autres par leur position sur leiirs axes respectifs, axes qui, eux-mêmes, sont des lignes isométriques coïncidant toujours avec la direction du petit axe de Tellipse qui les représente.

Ceci paraîtra évident en jetant les jreux sur le cube perspectif de la pkmcne XGIX., lequel porte un cercle dans chacun de ses plans isométriques , cercles que Ton peut considérer comme des roues inBuiment minces montées sur leurs axes. Les deux lignes ti^,mn formant les quatre bras de la roue, et qui sont conduits dans l'ellipse par les points de contact opposés du cercle avec le parallélogramme qui le circonscrit, sont aussi des lignes isométriques^ que nous appellerons les diamètres isométriques du cerde. On voit clairement^ en effet, que les points de contact t,f^m^n sont les milieux des côtés du parallélogramme circonscrit ; les droites qui joignent ces milieux sont donc parallèles aux directions isométriques.

On ne devra pas oublier que les diamètres isométriques seuls donnent, à Féchelle adoptée, le vrai diamètre de la roue.

On sait, d'ailleurs, que les axes d'une ellipse sont entre eux comme les diagonales du parallélogramme qui les circonscrit. Or, dans rellipse isométrique, fa petite diagonale EF divise ce parallélogramme GBFE en deux triangles équilatéraux. Donc, si 2 a et 2 i sont le grand axe et le petit axe de Tellipse isométrique, on a

Mais dam toute ellipse, lasonme deacarrés das rayons conjugués est coMtante et égale à la sommedes carrés desdamMixes; sîdanc cas de«M-axes sont respedivanent 63= yj et a =: J/f et r le rayon Moméirique, on a

2r*=l-|-3 = 4 et r=l/2

De là cette propriété curieuse de rdlipse isométrique : 8* Le demi-petit axe i, le rayon isométrique r et le demi-grand axe a sçmt eatrc aux comme

1266 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

et par approximation

de sorte que^ en rapportant tout an rayon isométrique r, qui est bonjours connu, on a

On pourra obtenir géométriquement tes trois lignes bj r, a parla construction suivante (fig. 3^ pi. G).

Formez en B un angle droit , prenez sur ses côtés les distances BA.= BD; portez l'hypothénuso A D de B en a, tirez la droite indéfinie aDS, il est facile de voir que Ton aura

BD : (Btt = AD) : aD :: |/T : ^/2 : i/3

Donc^ si i partir de a et sar la droite indéfinie a^, on porte un rayon isométrique quelconque r=aB, la perpendiculaire élevée par le point ^ jusqu'à sa rencontre eno avec Tindéfinie a S, sera le demi-petit axe b de Fellipse et son demi-grand axe sera a= aS

Quant à Tellipse elle-même, on pourra la décrire, soit à faîde da compas à ellipse (p. 614), soit par arcs de cercle (p. 47), en ayant égard à la note qui termine cet article, et avec l'attention de ne pas altérer le contour vers les extrémités des quatre rayons isométriques.

L'auteur propose un système d'ellipses solides emboitées les unes dans les autres comme il est indiqué à peu prés (fig, 4, pL G), et quelques autres instruments que je n'ai pas trouvés trés-commodes en pratique et sur lesquels je ne m'arrête pas.

Toutefois, quand on se livre à ce genre de dessin, il est bon d'ôtre muni d^une ellipse en corne analogue à celle de la fig. 2, pi. G, qui sert ainsi de rapporteur et que nous apprendrons tout à Theure à tracer.

Si la machine on l'appsreil à dessiner comportait une roue ou un cercle situé dans un plan autre que les plans isométriques, oq observerait que le grand axe de son ellipse resterait le même dans quelque plan qu'il fût placé; quant à son petit axe, il serait au grand comme le sinus de l'angle formé par le plan de ce cercle avec la ligne de vue CD' est au rayon des tables.

Enfin, la perspective de toute autre ligne parallèle et égale à un diamètre quelconque du cercle, s'obtiendra en tirant une ligne égale et parallèle au diamètre correspondant dans l'ellipse.

Remarquons encore sommairement : 1* que les diamètres de l'el-

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1367

Upse qui seraient à son grand axe :: (/i : )/ 3> lorsqa^ii en existe de tels^ sont des lignes isométriques; ^"^ que> si Ton imaginait un cône ayant son sommet en G dans la figure perspecli?e (fig. 1» pi. XCIX) et pour génératrices les rayons GA^GB^ GE^ toutes les autres génératrices de ce cône et toutes les parallèles à ces génératrices seraient encore des lignes isométriques^ mais puisqu'elles ne se distinguent pas comme telles îmmédiatenaent et au premier aspect^ nous ne ferons de ces lignes aucun usage en pratique^ et nous nous bornons à les signaler parmi d'au 1res encore.

Divisions de la circonférence de Pellipse. Yeut-on diviser la cir« eonférencede Pellipse isométrique en degrés ou en un nombre quelconque de parties de la division du cercle? On opérera par la mé« thode suivante justifiée page 610.

SafflegrandaxeAG.de l'ellipse (fig. 5,p/. G) comme diamètre, décrivez ledemi'cercle ÂEFG; divisez sa circonférence en degrés ou en parties quelconques. B, G, D^ E, F étant les points de diyisioa du cercle, tirez de ces points des perpendiculaires au grand axe, et leurs intersections (, c, d, e> f formeront, sur l'ellipse, les points de division cherchés.

Onparviendraitdifficilementainsià marquer, avec une suffisante exactitude, les divisions situées vers les extrémités du grand axe» mais alors on prend le petit axe pour diamètre d'ua autre cercle et Ton opère d'une manière analogue à celle ci-dessus indiquée; on construirait^ par ces méthodes, VelUpse rappovieut {fig. S, p/. G) dont nous avons parlé plus haut.

Quant à la mesure des distances suivant des directions qui ne point isométriques y on pourrait l'obtenir directement à Taide d'el* lipses concentriques (Jig. 2, pi. G) divisant les diamètres iso-» métriques en parties égales. Tous les autres diamètres se trouveraient ainsi divisés de manière à servir d'échelles pour toutes les lignes du dessin qui leur sont respectivement parallèles. Ainsi, dans )e cube perspectif, les distances, prises le long des grandes diagonales ou parallèlement à celles-ci seraient mesurées par les divisions 1, 2, 3, 4 10 du grand axe SWNE de la figure 2,p/.G,

et celles qui coïncident avec la petite diagonale ou qui lui sont parallèles dans quelque plan que ce soit, seraient mesurées par les divisions correspondantes du petit axe NWSE.

Un peu de pratique suffira maintenant pour réussir avec certitude dans ce genre de dessin, dont les effets toujours satisfaisants et facilement obtenus deviennent bientôt un encouragement à mieux faire. On peut prendre une idée do ces eflets (fig. 2^ pi. XGIX) (fig* 6, pi. G)^ et sur la planche XYI, où j'ai mis en perspective isométrique une roue de marteau des forges de l'Ariége avec ses grossiers et solides organes. \jts planches IX^ X, XI, XU, XIIl^ XIY» XV qui représentent des entures et des assemblages, sont égale-

1169 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

meot dessioées d'après ce mode de projeclioB. Je doQ4e qm ia méthode nauelle puisse rendre ces s^rstèmes avec autant de olarlé.

Est-ce à dire que la perspeetÎYe isométrique doWe être subatî* tuée à Pautique méthode des projection»^ à eeque, depuis 1770, on appelle en France U Gé&méiria dtêtriptive (*)? On foit bien, ca enet, poindre cette opinion dans le mémoire de W. Fariih^ et elle y est même assee adroitement motî?ée. Toutefois, je ne reproduirai id ni ces motift ni le déTelo{4»emeDt de cette opinion, qui ne m'a pas paru suffisamment justifiée. La perspective isométrique ponrra souvent venir en aide à la géométrie descriptive, l'éelairdr, Pexpliquer en la trmduisant comme je l'indique dans les figurée 7 de la pL CL Elle enseignera à voir dam Vupaee^ pour me servir d'une heureuse expression do IMllustre Mctigê, elle se prêtera faeilemeot à la représentation géométrique de eerimnês fermes ^ mais, ainsi que je l'ai dit déjà au oomaMncement de cet article, c'est plutôt i la perspe^* live ordinaire qu'à la méthode habituelle des profeetions qu'elte se substituera avec avantage et dans le seul genre de dessins que comporte Part de Tingénienr. On peut même avancer aujourd'hui que cette utile réforme a déjà commencé pour la France, et je m'applaudirai toujoars d'y avoir contribué par le précepte, par fexempley et par une propaganëe plus active que fi§eonde depuis tantôt vingtcinq ans.

Du reste, la méthode avsnt pris naissance en Angleterre, elle no pouvait s'introduire en France et venir y troubler nos habitudes routinières sans y soulever, suivant l'usage, une qoestion de priorité nationale. Après avoir longtemps repcNissé la psrspeetme ùoméiriquej on ne Fadopte qu'en contestant à Fansh le mérite de l'invention. W. Fariih étant mort en 1897 , je crois devoir répondre an moins sommairement aux denx arguments dont on n'est pas sorti jusqu'ici : les uns, et c'est le grand nombre^ avancent que la perspective isométrique n'est rien autre chose que notre anctonne penpeeiive cavalière; l'assimilation est trés-inexacle , car dans In perspective cavalière d*un cube, par exemple^ le plan du tablée» n'est pas perpendiculaire à la diagonale. Les autres apportent au dékat le tome Y des machines de l'Académie de 1798 et montrent un laminoir à plomb (p. 5i de ce volume) en perspective qmi n'a

{*) Lagrange, assUiant à uoe leçoa où Monge exposait les généralités de sa Ôéométrie étescriptwe, se leya en s'écriant avec une naïveté qui rendait l^BXcUolatio• pk» piMsaaIe : h Je n$ $avaé$ pas que je sstoais la g4êmitH& iuenplivs! » Xagraoge u*j lojsài ea eisi qu'use ùifiiïe applÎMlioD de lu mé^ thode des coQrdonnéea rectangulaires si familière aux géomètres^ Fourneau^ Cîatraut, ringénicur Fraizier surtout Cannée 1738) avaient d^aîUeurs, bien avant Monge, réuni, coordonné et réduit en principes les procédés répandus de tout temps parmi [es charpentiers et les appareilleurs, procédés qu'ils désigneat eacoie aujourd'hui sous le nom d'art du irait.

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. iU9

pas de lignes fu^ûnêa, il est vrai ; mais ils ne remarquent pas que les ligues principales des pians horizonlanx j sont perpendtûnlairet entre elles et qu'elle» forment, ayec la verticale, des angles de 45% tandis que ces lignes^ dans la perspective isométrique^ se croisent, comme nous l'avons vu^ sous des angles de 120o et sont inclinées de 80o sur la verticale, ce qui change tout le système. Ifs ne voient pas enfin que l'a vantage de la perspective isométrique tient, an Ibnd, à ce que les (rois faces du cube j donnent des projectrons toutes semblables entre elles. C'est coque Farish a très-bien aperçu, et ce dont il a, le premier, à ce qu'il semble, tiré un parti avantageux.

Note sur VeUipte isométrique (fig. ijpl. C). Je crois utile de signaler, en terminant, quelques propriétés de l'ellipse isométrique, non-seulement curieuses, mais encore propres à faciliter les tracés, et que, en vue d'abréger sans doute, Faoteur a complètement négligée». L'équation au centre de Fellipse isométrique est

La distance c àa foyer F au centre O est égale au rayon isométrique

c=:|/a*— ** = r = OT = OD

Sropriété qui donnera immédiatement les foyers F de l'ellipse en écrivant du centre O, avec OTrrr qui est toujours connu, Farc de cercle TF qui coupe la grande diagonale au foyer F.

L» proporliofioalilé dos diagonales AB CD aux axes MN=:2« et PQ=:26 mootre, d^aiUeurs^ que l'extrémité M ou Q de l'unde» axes étant déterminée, on <^endra l'extrémité Q ou Ml de l'autre axe ea menant une parallèle M.Q à la direction tt^ des rayons iaométriques.

Appelant x^ y^ les coordonnées des points importants Ti' Tty extrémités des rayons isométriques, on a

Quant aux rayons vecteurs w' de ces points^ l'un d'eux est égal à la dMérence des diemi^axes^ loutre à leur somme, et leur produit égale le carré du rayon isométrique

t?' = a — b; wz^a-f-é et vv'zzzt'zizc