PLAN INCLINE

ou, da moins, elles se modifient. En effet, la composante da poids P du corps qui est parallèle au plan ou P sin. a a, dans ce cas, an double travail à effectuer^ savoir : l"" un travail de translation ; 2o un travail de rotation; et l'on prévoit dès lorsque les' vitesses acquises et les espaces parcourus par un corps qui roule seront toujours moindres, toutes choses égales d'ailleurs, que s'il descendait la pente^ sans frottement, en vertu d'un simple mouvement de transport parallèle. Prenons pour exemple le cas d'un cylindre plein et homogène.

8. CyUndre roulant. Soient r son rajon, — / sa longueur, — ^ le poids du mètre cube de sa substance : — izr^l sera son yo-

lume et ««-icr^/son poids P. Son moment d'inertie, par rapport h

V r* son axe de figure, sera donc -r-- ou celui que donnerait la moitié

de sa masse transportée à la surface.

Si l'on appelle Û sa vitesse angulaire autour du même axe pendant sa descente à un instant quelconque, ûr sera au même instant la vitesse de translation Y de son centre de gravité parallèlement

an plan ; sa force vive de translation sera donc - V^ et sa force vive

de rotation r^- Q^ = -r; — . Egalant la moitié de ces forces vives

au travail P sin.a*L de la composante du poids parallèlement an plan, il vient

V»=-jfsin.a.L (8)

ce qui donne, pour la valeur de Taccélération du centre de gravité,

dv 2 .

Il suffira donc de remplacer, dans les formules (2 à 5), le factear g sin. a par f jT sin. a, pour qu'elles expriment toutes les circonstances du mouvement d*un cylindre plein et homogène parti du repos et roulant sans glisser sur la pente d'un plan incliné, en vertu de son poids.

On trouverait ainsi que ce cylindre roulant ne parcourrait, dans un temps donné, que les deux tiers du chemin qu'il eût librement

i)arcouru dans le même temps d'un mouvement de transport paraièle au plan.

9. On conçoit que, dans certaines conditions d'inclinaison et certains états des surfaces du plan et du cylindre, celui-ci pourrait ou rouler, ou rouler et glisser à la fois, ou glisser seulement; mais on déterminerait toujours le mouvement de rotation, en enveloppant le cylindre d'un ruban dont une extrémité serait attachée à un point fixe, et dont le plan serait parallèle à celui du plan incliné.

PLAN mCLINÊ. lasi

Lorsque la masse de la partie de ee ruban qui se déroule & la surface peut être négligée, on détermine facilement sa tension T pendant lo mouvement, en remarquant qu^ellc doit être celle quicom^ muniqoerait au cjflindre la force vive de rotation, dont il est^ en effet, animé autour de son axe. Or^ le mouvement du cylindre étant uniformément accéléré, la tension T du ruban doit être constante, et Ton trouve en effet

T = ipsin.tt (10)

de sorte que si le plan était vertical, la tension constante se rédui*rait au tiers du poids du cylindre.

10. Si le cylindre roulant était creux et pouvait être assimilé & une pure surface cylindrique, qui toutefois ne serait pas dénuée de son poids P, on aurait, pour l'accélération et pour la tension du fil on ruban,

^=z:-a8in.a et Trs-Psin. a (11)

Ainsi Taccélération est réduite pour ce cas h la moitié de eeiie que supposent les formules (^ à 5).

11. Sphères rûulaniêê^ Je ne reprendrai pas le calcul pour ce cas, me contentant d'indiquer les accélérations et les tensions lorsque la sphère est pleine et homogène^ et lorsqu'étant creuse, elle peut être considérée comme une surface sphérique non dénuée de noids. On a

Sphère pleine— =;- jfsin. a; et T=;- Psin.a. . . (12)

Sphère creuse— =- jfsin. a; et T=;^ Psin.a. . . (13)

12. Ainsi ces sphères cl ces cylindres prendraient, en roulant sur un même plan incliné, des vitesses très différentes, circonstance dont on n^a pas tenu le moindre compte dans quelques expériences sur la résistance de l'air au mouvement des corps, ce qui a faussé tons les résultats. Enfin, sans insister plus longuement sur ces théories trop négligées dans la pratique, parce qu'elles n^entrent plus dans renseignement de nos écoles, je remarque que de deux cy^ lindres de même grandeur, de même forme et de même poids, l'un homogène, Tautre ayant la plus grande partie de son poids accumulé vers la surface, ce sera le cylindre homogène qui, en roulant, parviendrait le premier au bas d'un même plan incliné; car c^est celui dont le moment d'inertie est le plus petit.

Influence du frottement de gliiêcment» Lorsqu'au lieu de rouler^ les corps glissent sur le plan, on ne peut plus, dans la pratique du