RAN INCLINE

moins^ négliger le froUement énergique qae ce mouTement déye« loppe. Supposons d'abord {fig, 3, p/. XGYH) que

13. Le corps glisse de lui-même sur le plan : c^est supposer que la verticale GP, qui passe par son centre de gravité, passe aussi entre les limites de contact de sa base avec le plan, sans quoi le corps se renverserait on tournerait, puisque nous admettons uo frottement à sa base. Soit /^=tang. «p le rapport du frottement à la pression ou cp Tangle du frottement : P étant le poids du corps, T? sin. a sera la composante de ce poids qui tend à le faire glisser parallèlement au plan, P cos.a la composante avec laquelle il presse le plan et f. Pcos.a=:Pcos.atang.f Ténergie du frottement supposée proportionnelle à la pression. Egalant la résultante des forces mouvante et résistante à la force d'inertie , on aura donc

•» . j.^ P dv P«n. (ot— «) , .

Psin.tt— fPcos.a = --- = ^^ ^. . . . 0*)

g dt C08. f ^ ^

Nous négligerons ici et dans ce qui suivra les mouvements de rotation qui pourraient naître de ce que le point d'application du frottement ne se confond pas avec celui des autres forces. Nous aurons donc en général pour la valeur de l'accé/^ra/ton,

dt) r 1 osin. («>— Q>)

^^ = jcos.a[tang.a — tang.<p]==— ^jj^^ . (15)

et cette valeur mise à la place de g sin. a dans les formules (2) à (5) ou intégrée directement ferait connaître toutes les circonstances du mouvement. On en déduirait, par exemple, Yo étant la vitesse que le corps posséderait au moment où le temps commence,

I «in. (a— Cp) 1 , . .

L=VorH ^ — ^-gt^ (17)

* co«.ç 2 ^ ^

Tant que Tangle a du plan sera plus grand que celui f du frottement, le mouvement sera uniformément accéléré. Si ces angles sont égaux, le mouvement est uniforme et le corps conserve la vitesse initiale ¥« qu'il avait à l'origine du temps. Enfin, si a est<f, les seconds termes des équations (16) et (17) devenant négatifs, le mouvement, d'abord uniformément retardé, devient enfin nul, et la vitesse V du mobile devient 0, au bout d'un temps T' égal à

j^aio. (cp — a) ^ ^

le corps ayant alors parcouru sur le plan , depuis l'origine du temps T', une longueur L' égale à

PL\N INCLINÉ. 1â83

2 g COS. a (/— taug. a] 2 ^ «in. (<p — a) ^

14. Le corps remonte le plan (fig. S, pi. XCYII). Supposons maintenant que le corps remonte le plan ; ce qui ne peut évidemment avoir lieu sans qu^une force auxiliaire Q le tire ou le pousse en sens inverse de la pente. Appelons Q Tangle de la direction de la force Q avec la ligne de plus grande pente du plan; négligeons encore comme ci-dessus tous les effets de rotation qui pourraient naître de la position des points d^application des forces^ circonstance dont il est facile de tenir compte dans la pratique uù Ton connaît toujours d'avance la forme du corps mobile qui reste ici à peu prés indéterminée.

Cela posé^ pour que le corps remonte la rampe, il faut évidemment que la composante Q cos. Q du tirage parallèlement au plan soit en équilibre avec les forces suivantes : l"" la composante du poids du corps parallèle au plan ou P sin. a qui tend à le faire descendre; 2o l'énergie du frottement à la base du corps, énergie proportionnelle à la pression (P cos. a — Q sin. 0) normale au plan ; 30 enfin la résistance de la masse à Taccélération ou sa force d'inertie. Donc

Qcos.O = Psin.a + /[Pcos,a-^Qsia.O]-t--T^. . (20)

expression qui (p. 863) revient à celle-ci :

cog.(e — <p)Pgip.((x + cp) * ^dv ^

co». <p coa. <p g dt

et d'où Ton tirera pour la valeur de Faccélération y

ce qui conduira finalement à la valeur de la vitesse Y et du cfaemin parcouru L en fonction du temps, puisque Ton a

V = Y< et L = iY«' (23)

15. Cette accélération deviendrait évidemment nulle, et le mou* vement acquis deviendrait uniforme si Peffort Q du tirage, d'abord plus grand au moment du départ, parvenait à une valeur constante telle qu'on eût

Qco8.(0 — (p)— Psïn.(a+cp)z=0, ou Q=l^^L^±^. . . [u) et si Ton avait alors intérêt à diminuer TefTort du tirage Q^ on