Mesure des forces d^inertie. Réciproquement
îiî=F....(,3)
serait TefTort en kilogrammes qu'opposerait l'inertie du poids P à la force F, qui tendrait à faire varier sa vitesse de dv dans l'élément do temps. Quant au sens de cet effort, il est toujours de signe contraire à celui de la force modificatrice du mouvement 5 la force d'inertie est donc puissance ou résistance^ suivant que la force, contre laquelle elle réagit, est elle-même résistante ou mouvante.
31. On aurait de même, pour chaque instant, dt, et chaque intensité, F F' F"
di> = ?Id/. . . (24). . . d«?' = 2llrf/
de sorte que, si la loi de la variabilité des intensités était connue en PfNiCTioli du temps, il suffirait de mettre la valeur générale de F daas l'équation ci^dessus, et d'intégrer, pour avoir la vitesse finale t>, acquise à la fin du temps /.
Cette vitesse v étant coDnue , comme oo a dans un monYemeni
quelconque (2)
, , de
tic =zvat 17 = —
on obtiendrait ensuite l'espace parcouru e par une seconde intégration.
32. Si la Yariabilité des intensités successives était connue au contraire en fonction de l'espace parcouru e dans la direction des forces^ on obtiendrait la vitesse v par Péquation suivante, qui résulte de la multiplication de (24) par (2)
V dv :^ g •£ de. . . . (25)
mettant pour F sa valeur générale en fonction de e, et intégrant^
on aurait la valeur de
de
qui conduirait elle-même à celle de dl^ et, par suite^ à celle du temps /.
33. Si la loi des intensités successives est donnée en fonction de la vitesse, on tire de Féquation (24) la valeur de dt, on intégre pour avoir ^, et l'on obtient ensuite l'espace.
34. Enfin, si le mouvement du mobile est connu et que Ton veuille déterminer la force, on remontera par des intégrations successives de l'espace à l'accélération, et de celle-ci au temps, puis à la force.
Les problèmes qu^QU trouvera plus bas édairciront le sens de ^es règles.
35. EqiMtion des forces mves. Avant dépasser à l'application de ces théories, nous reprendrons l'équation (25)
Fdc = — tJt/i;
En l'intégrant entre deux vitesses f'o< v, il vient
c'est-à-dire que h travail de la force F, le long du chemin e, est nu^ mériquement égal à la moitié de la variation de la force vive subie par le corps P entre les instants oà fort considère le travail (§ 25) .
La demi -variation de la force vive est donc aussi la mesure même du travail consommé par l'inertie du poids P, s'il était libre.
Supposons maintenant qu'à l'instant où F a terminé son travail, une autre intensité F' lut succède et agisse dans la même direction
(e long d'an chemin t\ et qu'elle élève là vitesse finale t) , précédcmment acquise par le poids P, à la valenr v^ , on aura encore
Une troisième intensité F'^ qui succéderait à la seconde et tra- ▼aiUerait le long du chemin t^\ changerait encore la vitesse v^ en ane vitesse v^^ telle qu'on aurait
de sorte que, en continuant de raisonner ainsi jusqu'à l'intensité quelconque Fn , agissant le long du chemin ^o, et élevant la valeor i^n-i de la vitesse à la valeur finale Vq, on obtiendrait, en faisant d'une part la somme de tous les travaux et de l'autre celle des variations correspondantes des demi-forces vives
Fe + Fe'-f F"6". . . . +F,., = iî(r„»-0
ainsi, queUes qtêe êoient les intensités successives F F'. . • Fn , quels que soient les chemins respectifs e e'. . , e^, qu^ elles aient décrits dans leurs directions propres , la demi-variation de la force vive du corps P, entre les mêmes instants, est numériquement égale à la somme des travaux des forces.
Et le mot somme doit être pris ici dans son acception algébrique, car tous les raisonnements ci-dessus deviennent applicables aux cas on certaines forces du système seraient résistantes au lien d'être mouvantes^ à la condition de remplacer les expressions vitesses acquises, forces vives acquises, travail moteur, par celles-ci : vitesses perdues, forces vives détruites, travail résistant, et de changer les signes en conséquence, conformément aux notations algébriques.
En réunissant, sous la forme abrégée 2 F de, les sommes des travaux mouvants élémentaires, et 21 R d r, celles des travaux résistants, «o étant la vitesse initiale de P lorsque les forces ont commencé à agir, eC v sa vitesse finale, on pourra donner, suivant l'usage, à l'équation des forces vives la forme
yiffde—llfRdr = \^v^—\^v,^. . . .(27)
36. Applications. Une balle de fusil, dont le poids est P, frappe une planche fixe, horizontalement, avec une vitesse u égale à celle que P aurait acquise en tombant librement dans le vide d'une hauteur b^ elle pénètre la planche suivant son épaisseur e, et celle ci appose à la pénétration une résistance R^ qu'on supposera constante; on suppose, en outre, que la balle P ne se déforme pas, et on demande h vitesse v que la balle a conservée lorsqu'elle a traversé une partie
quelconque x do Pépaisseur de la planche, et le temps t qu'elle emploie à parcourir x^ ou la durée t de la pénétration.
