On a d'abord

- fvdv = tridx

la force rive d'arrivée de la balle est - u*. celle qui lui reste lors-

qu'elle a traversé l'épaisseur œ est — t?', le travail de la résistance R est Bix, on a donc, soit en intégrant l'équation des forces vives

entre les vitesses u et v et les chemins o ei x, soit directement la relation (équat. 26)

(u«— t?*)^Ra?. . . . (29)

dont on déduit immédiatement la vitesse v qui survit au travail de la pénétration x

«=J/„»2yJx= l/2g[b-^xy . . . (30)

38. La vitesse v étant maintenant déterminée, on obtiendra le temps t en fonction de cette vitesse par la relation générale

dxi=:vdi d'où

, dx dtz=i —

qui devient ici

At- «<*

et dont l'iNTBGRALB est comme on sait

la valeur de la constante G à ; ajouter se détermine en remarquant que le temps t étant compté à partir de l'instant où la pénétration commence, on doit avoir ^ = 0, quand la pénétration x est elle-même :;= 0 ou nulle. La constanle^u la quantité qu'il faut ajouter à i'ex--

FOBCBS. 789

pression ci-dessns pour avoir / = o quand â? = o devient donc

constante =-{"

Ci rintégrale complète^ ou la valeur du temps t en secondes, devient ainsi

•,=k±ik^=-....(M,

réciproquement, si la durée i était connue, on tirerait de l'équation ci-dessus la valeur de la pénétration x

x=:zH^Tfh — ^\gt' = ut — ^lgtK . . . (33)

On peut remarquer que le dernier terme, pris positivement, serait l'espace que parcourrait la balle P,si la force constante B, considérée comme une torce active, agissait sur elle pendant le temps t (éq. 4).

On a d'ailleurs, en vertu des équations ci-dessus,

d'où cette autre expression de x

39. Faisons quelques applications numériques de ces formules : les expériences de Robins lui ont donné 0"*.127 pour la pénétration totale, dans le bois dWme,des balles de plomb de 0».0i9 diamètre, frappant le bloc avec une vitesse u = 51 8 met. ; et lorsque le bloc était complètement inébranlable,, cette pénétration suffisait pour éteindre entièrement la vitesse de la balle ; or il est évident que cette même vitesse tf=:518'° de la balle F = 0^041 serait également éteinte, lorsque P, lancée de bas en haut dans le vide, atteindrait pré* dsément la hauteur b due à la vitesse de projection u. Ceci suppose toutefois, contrairement au fait, que l'attraction terrestre sur le eorps P demeure, pour toute élévation, ce qu'elle est à la surface, mais cette hypothèse ne vicie pas les résultats. Le travail P6 de l'at» traction terrestre ou de la grayilé sur la balle P, est donc égal au travail Bo: de la résistance B à la pénétration a; = 0>». 1 27 du mémo projectile; donc

R»=^*=P*=î||^ = PX13676».m

et Ton a , pour la résistance R

Cette valeur de la résistance nous permet de calculer la vitesse v, que conserverait nne balle du même calibre après qu'elle aurait traversé une planche d*orme de O'^.OâO épaisseur, invariablement fixe^ on trouverait^ en faisant

dans la formule (30)

c'est avec cette vitesse que la balle quitterait la planche ; elle ne perdrait donc, en la traversant, que u — v=518'* — 461.95=:56°^.05 de sa vitesse d'arrivée.

En6n, la durée t en secondes du trajet, à travers la planche dVme de 0*^.026, serait donnée par la formule (31)>

en 7 faisant v/T= 116"'.94, on obtiendrait

ainsi la durée du trajet n^atteindrait pas même la dix-huit millième partie d'une seconde.

40. Substituons à la planche fixe un bloc d'orme massif pesant Qkil., et supposons que ce bloc, placé sur un plan horizontal, puisse se mouvoir sans frottement par l'efTct même de la pénétration de la balle qui le pousse en s'y enfonçant. Soient, pour l'instant quelconque où la vitesse de la balle P est devenue v = \/^gpf v' celle du bloc qu'on peut regarder comme due à une hauteur

„rt

qz=z — ) et soient enfin y le chemin parcouru par le bloc au même

instant, x la pénétration ou le chemin décrit par la balle à l'intérieur du bloc à ce même instant, R étant toujours la résistance à la pénétration supposée constante, u la vitesse d'arrivée de la balle

contre le bloc, et b la hauteur ^7- due à cette vitesse. On convient

de ne pas tenir compte de la déformation de la balle, et l'on suppose que le choc horizontal est dans la direction du centre de gravité du

bioc; remarquons que, pen-

dant rinstant di que le moc [emploiera à parcourir

dy:=v'dtz=zdty'Tgq. . . . (35)

la balle parcourra d'abord dy, comme le bloc, et de plus dx dans son intérieur^ ou en somme

dy +das = «rf^=dl l/27p . . . . (36)

Divisant celte équation par la première, il vient, pour le rapport des chemins élémentaires simultanément décrits par la balle et le nloc

dy + dx=^^dy = dy^/t. . . . (37)

Or, la formule générale (25) donne immédiatement

Ii(dx + dy)=:z-^fdp = — ^f>dv = ^Iidy. . . . (38)

elle donne encore pour le mouyement du bloc seul

Rdy = ^v'dv'. . . . (39)

relations dont on déduit celle-ci

de laquelle nous aurions pu partir en nous basant sur les raisonnements de la page 324, ou sur ceux du § 5, et qui montrent que la quantité de mouvement élémentaire acquise par le bloc est nécessairement égale à celle qui a été perdue par la balle.