L'intégration de ces quantités de mouyement donne
— «' = 1> 4- constante
et cette constante se déterminera en remarquant que, d'après les
données du problème, la quantité de mouyement acquise par le bloc
est nulle à l'origine, lorsque celle de la balle est encore — u , on a
donc, pour l'intégrale complète,
--©' = V + -U; soit -U= -1? H — v'. . . . (41)
c^estrè-dire que, à tout instant, la somme des quantités de mouyement de la balle et du bloc est constante et égale à la quantité de oMNiyeiDent primitive de la balle.
42. Or la balle perdant à chaque instant di un degré de vitesse dv,
p laadbqae le bloc acquiert un autre degré de vitesse ^^ dv = dv^-,
il arrivera un moment où la vitesse t?^ qui restera à la balle, sera précisément égale à la vitesse v' acquise par le bloc. Toute réaction cesKra alors entre ces corps qui se mouvront avec la vitesse corn-
79d FORGES.
mune v\ et la balle aura aUeini la plas grande péDëtration^ v élant alors deveou = t?^ on a
£«=:(I±®t,' d'où «'=:^.«. ...(«)
Âînsiy de même que pour les corps qui ne réagissent pa8(pag. 325), la vitesse commune v' égale la quantité de mouvement primitive divisée par la somme des masses ; et la résistance R à la pénétration n^entrant point dans l'expression de v\ cette vitesse commune reste la même> quelle que soit Tintcnsité de R.
43. Pour obtenir la profondeur x de la pénétration^ il suffira d^intégrer l'équation (38), qui fournira ainsi la relation
Pv*
R a? -j- R;/ =: — [- constante
et puisque, pour X'\-yz=iOy on avzzzu, l'intégrale complète devient
Pu* P«*
c'est-à-dire (§ 35) que la somme des travaux résistants contre la balle est égale à la variation de sa demi-force vive(§ 35).
ii. L'intégration de l'équation (39) donne de son côté
Ry = ^ = ûî (44)
et cette intégrale est complète, puisque, pour yz=:o, on doit avoir o' =: 0. Elle enseigne encore, conformément à Téquation (26), que le travail moteur de R sur le bloc est égal à la moitié de la force vive qu'il a acquise.
45. Si nous retranchons de cette équation celle qui la précède, il viendra
OU en changeant les signes des deux membres
Pw« Pt>« Qt>'» Pu» /Pv» Qv'«\
»*=-27-17— 57— â7-t-27+-2rJ ^*^^
c'est-à-dire que le travail résultant est négatif ou résistant; quMI se réduit à celui que la résistance R oppose è la pénétration x de la balle; que, en môme temps qu'il fait perdre à la balle la demiforce vive — (tt* — t?'), il augmente celle du bloc de -^ , et que,
enfin, conformément à l'équation générale (27) , ce travail résultant égale la demi-variation de toutes les forces vives du système.
Cette équation et celle (44) qui la précède donneront^ d'une part, le chemin y parcouru par le bloc } de Tautre, la profondeur x de la pénétration au moment où les vitesses absolues des deux masses sont devenues v' ei v, et réciproquement on obtiendrait ces vitesses^ si Ton avait pu mesurer les chemins y et x.
46. Nous avons vu plus haut comment toute réaction devait cesser entre le bloc et la balle , et comment celle-ci atteignait la
lus grande pénétration^ lorsque sa vitesse v devenait celle v' du loc. Appelant X cette plus grande pénétration ou cette valeur
maximum de Xj nous aurons donc^ au moment où les deux corps
ODt une vitesse commune v
P^Pt*'-(P+Q)t>'^
d'où l'on tire, pour la plus grande pénétration, en remplaçant v par sa valeur (éq. 42) ,
^Pu'— (P+Q)<>" PQ u* PQfe — 2gR ~(P + tt)R'2g~(P+Q)R
En écrivant cette relation sous la forme suivante
PO tt* P
RX= —^ — --= — - — 04 de)
on pourra reconnaître (page 326) que le travail RX de la pénétration est précisément celui que Ton appelle travail perdu ^ demiforce vive perdue^ dans la théorie du choc des corps qui ne se débandent pas après la compression. C'est que, en effet, ce travail perdu dans le choc est en réalité celui que la déformation des corps a exigé, déformation qui, dans le problème actuel, est une perforation partielle du bloc par la balle.
47. Supposons maintenant que, au lieu d'être libre de se mouvoir sur un plan horizontal et sans frottement, le bloc ait été, dés rorigioe, invariablement fixé ; cette condition, qui n'est jamais réalisable matériellement, sera d'autant plus près d'être satisfaite que le
bloc fera partie d'une plus grande masse -, de la masse du globe
par exemple. La vitesse finale v' que prendra cette énorme masse,
P étant (éq. 42) une fraction - de celle v, d'autant plus petite que Q
est plus grand par rapport à P, on voit que v^ s'approchera de la valeur zéro, à mesure que Q s'approchera de l'infini. En passant à CCS limites extrêmes et irréalisables en toute rigueur, le second terme de la valeur de X deviendra zéro, et si l'on appelle X' la
plus grande pénétration que la balle atteindra dans ce dernier cas, on aora
^ = 27R = "ir=-Q— ^ (")
Ainsi ^ pour une même résistance à la pénétration^ l'enfoncement du projectile est toujours plus grand dans le bloc fixe que dans le bloc mobile^ et les profondeurs de ces pénétrations respectives sont entre elles comme la somme des poids est au poids du corps pénétré.
48. Quant à la durée t de la pénétration totale x, on voit clairement qu'elle est la mémo que la durée du transport du bloc mobile ; or le chemin parcouru par celui-ci est y , et la force H étant constante, Féquation générale (13) donne immédiatement
c'est la quantité de mouvement finale du bloc divisée par la résistance constante^ ou le double de l'espace parcouru divisé par la vitesse finale.
49. Donc 9 si le bloc d'orme supposé mobile avait neuf fois le •poids de la balle^ l'expérience de Robins ajant donné X' = 0°'.127 pour un bloc supposé fixe, on aura^ pour la pénétration extrême dans le bloc mobile ,
X==-5-5:Tr X 0«.127 = 0'".1143 et X' — X = 0-.0127
(* "T~ Vj
la vitesse finale commune devenant^ en vertu des données du pre. mier problème^
on obtiendrait, pour le chemin parcouru par le bloc^
Qt?^« 9Pt?^» 9(51.8)'
" ~2flf R ~ 2flf X107688 P ~ 2^ X107688 ~
Ainsi, le chemin parcouru par le bloc est ici précisément le j^ de la plus grande pénétration. Ce résultat numérique pourrait paraître au moins bizarre, si l'on ne remarquait pas qu'un examen attentif des formules l'eût fourni immédiatement et sans calcul. On en déduit, en effet, pour le moment de la plus grande pénétration où v' est la vitesse commune du bloc et de la balle
Quant à la durée t de la pénétration, on trouve facilement qu'elle atteindrait à peine —^ de seconde.
50. Supposons la terre sphérique et d'une densité homogène, on
sailqne, dans cette double hypothèse, Patthaction qu^elle exercerait sur UD point intérieur serait proportionnelle à la dislance de ce point an centre delà sphère; on demande, dans ces conditions^ quels seraient à chaque instant le poids^ la vitesse acquise et la durée totale du mouyement pour un corps dont le poids serait P au pôle, et qui descendrait yers le centre dans un canal rectiligne, dont Taxe eoÎDciderait avec le rayon polaire. On fait ce rayon OP (pag. 78)
OP=:r = 6366198-
il en résulte^ pour la valeur de g au p6le (pag. 339)
jfc=9''.8329
Soieot 8 le sinus et c le cosinus de la latitude EL du parallèle ZL que le corps traverse après une durée t, comptée depuis Torigine du départ, ^i et 9 la vitesse qu'il a acquise en Z, ^^*ZZ en tombant du pôle P. Puisque son poids est P = M jr au pôle, où la gra- Tilé est g, si Ton appelle P' = M 9' le poids qui lui restera en Z, on obtiendra clairement ce poids par la relation
f.P'lIMjf-.Ms'I'.r-.^ d'où g'—^-s et P' =
Ainsi, le poids du corps diminue dans le même rapport que le sinos de la latitude, lequel devenant zéro au centre O, y réduit aussi k zéro le poids du corps qui était P au pôle ,- de sorte qu'un corps faelconque demeurerait en repos au centre de la terre , s'il y parferait sans yitesse acquise.
51. Mais , en descendant de P vers Z , le corps prend à chaque instant di un accroissement dv de vitesse, de sorte que sa vitesse acquise v augmente à mesure que $ diminue , la formule gênéoie (Si) donne donc
t; (/t> = — g^ ds z=z sds.
foù Ton tire, en intégrant.
t)* = — -s^ -{- constante.
Si. Gomme, lorsque v == o, on doit avoir # = r , il faut que o = — — + constante, d'où const. := gr
l'iotégrale complète devient ainsi
»* = ^(r'-,>) d'où e=j/2(r« — .«). . . . (52) or, on a dans le cercle e*=:r* — <*, il vient donc encore
AÎDsi^ les TÎtesses acquises croissent comme les cosinus c de latitude des parallèles traversés. On aurait obtenu la même expression de la vitesse en intégrant l'équation des forces vives, et remarquant
P P' P que - = -- , et que le travail instantané ou élémentaire = sds.
53. Quant à la durée i de la chute^ elle sera fournie par la for« mule générale
vdt = — ds
qui donne ici
- ds t Xr" — ds
dt = =|X" X
remarquant que Tare élémentaire de méridien da est perpendiculaire au rayon, et le décroissement — de du sinus perpendiculaire au cosinus c, les triangles semblables donneront
da — ds — ds , da g /'J'
— = == y-, i et df=— 1/1
intégrant en remarquant que^ lorsque / = o , Parc de colatitude a = PL = o , on a, pour rintégrale complète,
. ^""c PL I ^7" 1 I /T" /grc de colatitude du^
* — r IXô — rl/ô^V parallèle traferséJ
^ * I y/r w /arc terrestre dont le ainus Tcrac est la\
7 |/ fl V bautenr de la chute, I
54. Parvenu an centre O^ le corps qui pesait P an pôle, y perd tout son poids; il arrive à ce centre O avec une vitesse t? = i/^, qui est les 0.707 de celle qu'il aurait acquise^ si l'attraction eût été la même qu'à la surface terrestre ^ et la durée totale du trajet est celle
que mettrait un pemdulb simple à accomplir une demi-oscillation , s^il avait pour longueur le rajon r de la terre, et s'il oscillait à sa surface en décrivant de très -petits arcs.
En partant des valeulrs adoptées ci-dessns pour r et jf , on trou- Terait
gr = 62598188.3142 ^= 1.570796
On aurait donc 7911^.91 pour la yitesse d'arrivée au centre, et 21'.3".86 = 1263''. 86 pour la durée totale du trajet depuis le p6le jusqu'au centre -, il conviendrait de prendre 111111^.111 pour la longaeur moyenne de l'arc terrestre de un degrés si l'on faisait d'autres applications numériques.
55. Trouver les lois du mouvement d'un corps qui^ parti du point A sans vitesse acquise, descendrait vers la surface terrestre. On néglige la résistance de l'air aussi bien que Tinfluence attractive de la masse du corps^ et l'on ne tient compte que de 1' attraction de h terre^ dont l'intensité varie en raison inverse du carré des distances à son centre G.
Soit P le poids du corps mesuré à la surface terrestre en G^ lorsque, parti du point A, il sera
Crvenu au point quelconque O, ou lorsqu'au ut d'un temps t, il aura décrito?^ son poids en O sera devenu P^ et Ton aura
p:F::Mi7:M5':;i • -^
•^ r» (a — wr
Pr
gr*
(Tz:^ ^' — (^n^- • • • ^^^^
56. La formule générale (21) donne , pour trouver sa vitesse t; au même point quelconque O,
vdvz=g'dx=: dx
Intégrant^ on obtient
or* ,
-|- une constante
^, devant satisfaire, à la condition que v soit zéro, lorsque x est nro, est donnée par
0 = ^— -4- constante, d'où constante = — —
Tintégrale complète devient ainsi
V* gr* gr*
et l'expression de la vitesse acquise au bout du temps i^ lorsque le mobile a parcouru Xy devient
en faisant a = r-|-A.
57. Au point 6 pour lequel h — x=zo, la vitesse ûnale devienl
58. Quant à la durée t de la chute de A au point quelconque O, on a
dt=:— = I /m î/IE^.dx
Multipliant en haut et en bas par y a—x pour faciliter l'intégration, il vient
di— I X^^ V (^~^)^^
y a^r» ^ \/ax — x^
faisant a? = ^ — ^ et dès lors dxz=z — dz
(a — :r) = --f.jf; ax — x^-=-^—z^ on a alors à intégrer
ce qui donne» en remettant pour z sa valeur^ remplaçant a par A -(- r^ et remarquant que la constante est nulle
59. On en déduit, pour la durée de la chute totale de A en G «=|/|pj/r-r+i(r+A)arc(co8.= ;-^)}. . . (59)
Si Ton fait &=:0.001r = 6366«.198^ la vitesse d'arrivée devient V =; 353".243^ l'arc dont le cosinus = 0.9980019 est celui
FOBGES. 799
de3<'.37^38'^8; il a pour longueur 0n.06331 ^ le second terme de la parenthèse, dans la valeur de i devient 201723.519, le premier yH[=201299.1808,cequi donne pour la parenthèse 403022. 701. SoD moltiplicateur général étant 0.0000895, on a <= 36".07 poar la durée de la chute totale.
60. Si, conformément à l'hypothèse de Galilée, on avait regardé ïâiinciion comme une force constante, la vitesse u due à cette même chute, et la durée 0 auraient été trouvées
tt = V/277i = 353«.381; 0 = l>/^= 36".02. . . (60)
d'oo, pour une chute de 6366°^.198,
u — 1?=0».138 et ï— 8 = O".05
Cette application numérique montre peut-être mieux que les formules générales, à quelles insigniGantes erreurs on s^expose dans loQtes les recherches industrielles, lorsqu'on y regarde l'attraction terrestre comme une force constante; et qu'on y néglige les variations de poids que les corps éprouvent, en effet, sur une même Ferticale.
€1. Un tube vertical à deux branelles parallèles d'une section con- ^ slante^, contient un liquide dont le foid» spécifique est «ir ^ et (jui s'y dis^ pose d'abord de niveau, suivant DG . B FE; Taxe de la colonne liquide totale . 1 pour longueur L -, une pression T A agit momentanément à la surface DC, j£ abaisse le niveau dans la branche gauche de BC en HQ, ce qui ne peut avoir lieu sans que le liquide monte ^ coBA dans la branche droite d'une hauteur FB == DH = a. Lors* foe le liquide a atteint ce niveau BA dans la branche droite, la tension T s'anéantit tout à coup, on demande, à partir de cet instant^ toutes les circonstances du mouvement que prendra la colonne totale.
Le poids total de la colonne liquide est *9ihz=:V, l'excès de
pression, qui a lieu à droite au premier instant, est évidemment
P n.2a=p=-Y- ^^7 ^' déterminera le mouvement de la droite vers
h gaoche, et se trouvera réduit à
2 (a — jt)
la moment où B A sera descendu d'une quantité quelconque Boz=:x,
et où H Q sera dès lors élevé de la même quantité, la longueur L
p étant invariable, p' est donc la force mouvante à cet instant^ et —
étant la masse totale sur laquelle elle s'exerce, la formule générale (25) donne pour un chemin élémentaire dx
p'd .r = — 2 fa — x)dxz= — vdv
qui^ intégrée, en remarquant que la constante est zéro^ fournit pour la vitesse v correspondante au momenl où le chemin parcouru est X, les relations
■^v^ = l'(2ax—x')=iY^ax — ^x\ . . . (61)
2g Li JL Là
et «=(/2(,xi?i=^=l/Ç Viax-T'
La première relation aurait été obtenue sans intégration, en remar-
p quant que la demi-force vive acquise par la masse totale —, est le ré-
sultat du travail de descente du poids p' de la hauteur x, diminué du
travail nécessaire pour élever à cette môme hauteur x, dans l'autre
branche^ le poids -y du liquide qui y est entré. .
Là
On voit aussi que la vitesse est indépendante de la densité da liquide; qu'elle serait dès lors la même, toutes choses égales d'ailleurs, pour le mercure, l'eau ou Falcool : ce qui s'explique trèsnaturellement en remarquant que si , dans le cas du mercure, la force motrice est dix-sept fois plus grande que dans le cas de l'alcool, la force d'inertie des masses à mouvoir croit ainsi dans le même rapport.
62. La vitesse v diminue d'ailleurs à mesure que la racine carrée de la longueur L augmente; pour une même longueur L, la vitesse s'accélère continuellement de BÂen FE, où elle atteint son maximum
elle décroit ensuite à partir de ce niveau primitif FED G, mais elle ne devient nulle que lorsque x^ = 2ax ou xr=z2a, c'est-nà-dire lorsque^ dans la branche droite, le niveau du liquide s'est abaissé, jus-
3u'à SB, d'une quantité a égale à celle dont il était élevé au dessus e FE à l'origine du mouvement. Mais cet abaissement à droite ne pouvant avoir lieu sans un exhaussement égal à gauche, le liquide se trouve en NM dans cette dernière branche au niveau NMBA; les choses se trouvent alors disposées à gauche xïomme elles l'étaient
d'abord à droite, le mouvement que nous venons de suivre recommeoce en sens inverse, et les extrémités de la colonne oscilleraient perpétaellement entre BA et NM, si le frottement n'éteignait ces oscillations à la longue.
Traçant du point E comme centre, avec le rayon a, le demi» cercle AZR , remarquant que le facteur K2a« — x' de la vitesse = la demi-corde os correspondante à Textrémité de a;, on voit clairement la vitesse croître de A en E , atteindre son maximum EZ au oiveau primitif, décroître ensuite de E vers R où elle est zéro comme en A.
63. Recherchons la durée t du mouvement; la formule géné- * raie (2) donne
d(=— = I XL l ^^ ) — ^^^ I /Ji
lis, ainsi que nous Tavons vu dans un autre problème, on a, dans le cercle AZR de rayon a
arc AS = / " r
le temps t, que le niveau a exigé pour s'abaisser de a?, ou de BA eoOS, est donc
/= I y^ ^1 — j X (arc de rajon a dont le atnut verse s» x). • (63)
64. Si ;r = a, Tare devient ~ ^ a , et le temps de la descente au Diveau priunlif FE est alors
5S. Alliai le temps que le niveau emploiera pour s'abaisser de A en R ou s'élever de H en N, sera
c'est la durée d^une oscillation d'un pendule simple, dont la Ion*-
goear serait la moitié ~- de l'axe liquide ^ et la hauteur a, à laquelle
on a élevé le niveau primitif d'une branche, n'entrant pas dans Texpression du temps, il en résulte que cette hauteur n'affecte pas h durée de l'oscillation du liquide; de sorte que, quelle que fût cette faaoteor, le liquide d'un niveau d^eau^ par exemple, dont Taxe aorait une longueur de f.OSTl, accomplirait chacune de ses oscilbtioasdans une seconde de temps moyen à Paris, quelles que soient leva amplitudes.
66« Nous avons supposé jusqu'ici que les i»^ branches verticales du tube étaient perpen- '^s\ diculaires à un canal horizontal IK de même \ x section , mais tous les résultats ci-dessus s'appliqueraient identiquement à un tube recourbé de section uniforme, dont les branches seraient verticales et parallèles^ L étant toujours la longueur développée de Taxe liquide total; tels sont, par exemple, les manomètres que l'on emploie pour mesurer la tension des machines soufflantes^ et quelquefois celle de la vapeur.
Si, pour élever le niveau primitif FE en BA, ou établir, entre les extrémités de la colonne liquide, la différence de niveau R A = 2 a , on avait , entre autres moyens, mis tout à coup l'orifice O .du tube en communication avec un grand réservoir d'air comprimé ou de vapeur, où la tension T serait absolument constante, mesurée par une colonne du même liquide que celle du tube , et d'une hauteur précisément égale à 2 a , l'on n'aurait point atteint le but.
Soient , en effet, z = D m le chemin parcouru par le niveau primitif DG, à un instant quelconque, sous l'action de la force con-
stante T=:it«2a=:-r-2a. Il est facile de voir que, en raisonnant
absolument comme ci-dessus, on parviendra à l'expression suivante de la vitesse « correspondante à l'instant où DG est en mn
V = 1/^ (2 az — «»). . .
or cette valeur de v montre que la vitesse ne pourra devenir nulle
qu'à la condition 2ax = z^ on z z=22a; ce qui exige que DG soit
abaissé en H'Q^ et que dés lors FE se soit élevé de 2a en B' A' ;
ainsi la différence totale S'B' des niveaux primitifs devient d'abord
^a ; elle est double de celle à laquelle ferait équilibre la force cou- P
stante T = -r- 2a -, et il semble que l'on n'ait pas toujours eu égard
à cette circonstance importante dans les expériences où Ton a mesuré, par des appareils du genre de ceux des figures ci-dessus, les variations de tension des vapeurs, des gaz ou la pression variable exercée sur la carène des bateaux. Cette remarque incidente montre encore combien sont incertaines les indications des manomètres placés sur les machines soufflantes à piston, et explique la meeure de T que j'ai adoptée page 600, et où Ton ne tient compte que de la moiiié de la variation due aux changements brusques des niveaux.
67. Soit une pontie, dont le poids total j est supposé entièrement condensé dans sa circonférence ; un fil P E B G D A , dont la longueur totale est L et le poids total p, passe sur la gorge de Ib poulie -, il porle à une de ses extrémités un poids P, et à l'autre un poids P égal au premier, plus un poids additionnel w ; on demande i ^
la loi du mouvement du système & partir W'^PC )^ de rinstant où les choses sont disposées comme dans la figure, où lo -f-P ost élevé de b au-dessus du niveau MN de P.
tétant, à un instant quelconque du mou- Temeot, l'espace qui a été décrit par
tf-f*P» 7- P est le poids de la partie du
fil qui Va suivi, et ^— ^ — - p le poids de la
partie du fil qui reste au-dessous du niveau AE -, la force mouvante totale est donc> à cet instant ,
IJ
P Lw + 2p» —bp ^p
ffisaot le poids 2P~f jf-l-ti^ 4*P ^^ '& masse à mouvoir = Q , la briDole générale
'oone, par l'intégration, en remarquant que là constante est nulle,
c^esl la vitesse à Finstant où to -f- P est en O 5 si Ton négligeait le poids p du fil^ elle se réduirait, en faisant p^=:o, à (12)
t> = ^/2sf«.f
si, au contraire, on. ne peut négliger le poids p du fil, la première expression se réduit encore à la seconde pour l'instant précis où 2=6, soit lorsque les poids moteur et résistant ont échangé leurs nveaux primitifs. Tant que a; est < A, le poids du fil diminue la îitesso du mouvement ; cette diminution atteint son maximum au
Qoment où as = -, c^est-à-dire lorsque les poids oooteur et résistant
fwmt au même niveau ^ elle décroît ensuite et devient nulle, ainsi foe nous venons de le voir pour xz=:b; puis, passé ce terme,
X étant > &9 le poids da fil augmente sans cesse la vitesse du moQ- Tement.
