T„., = AT„+B
Multipliant respectivement ces équations (31)^ à partir de la seconde^ par A^ A% A*... k^'^ faisant la somme de ces produits^ et sommant la progression^ on obtient
p=at„ + b[:^-^J (32)
équation analogue à celle (23).^ Ajoutant les équations (31), observant que
d'où P+Q-T„=P+T, + T,+T3...+T„.,=AQ+wB (34)
Eliminant !„ entre (34) et (32), on obtient enfin l'équation des efforts
*^— "-seir "^^F^n A-1 ^^^^
8. Si l'on supposait le frottement nul et nulle aussi la roideur de la corde^ la valeur (28) de A deviendrait = 1, et B serait zéro. Divisant le numérateur et le dénominateur du coefficii'nt de Q dans l'équation (35) par (A — 1), ce coerficient deviendrait lui-même
An-i-j-A»-» + A»~* +1 n
lorsque A = 1 , et l'on retomberait sur l'équation très-incom-
P 1 plète - =:= - démontrée dans les statiques, et d'où l'on conclut que, Q w
dans les moufles^ la puissance est à la rèsislauce comme Vunitè est au nombre des cordons qui aboutissent à la moufle mobile.
9. Pour passer de l'équation (35) des efforts à celle des travaux,
13â8 POULIES.
on peut remarquer que^ lorsque la charge Q est soulevée d'aue hauteur S', chacun des n cordons aboulissaut à la moufle mobUe est nécessairement raccourci de la même quantité S'^ ce qui CaîL on raccourcissement total =nS' entre les moufles; mais celle quantité nS' est nécessairement aussi la longueur S de corde qui a passé pendant le mourement sur la première poulie ûie, ou encore le chemin parcouru par le point d'application de P; donc enfin
S=:nS' (36)
Multipliant (35) par (36), faisant PS=Tm= travail moteur, QS'=Ta travail utile, on a, abstraction faite du travail presque toujours négligeable dû au soulèvement des cordes,
nA«(A— 1)-, , ^ ( nA»B
Tm — — r: — 1 — Tu
+H£^-éî!---c»)
Je renvoie, pour les autres ^sternes aux Mechanieal PrineipUi, de M. Moseley, qui m'ont servi de guide dans ce résumé.
10. Rètultats pratiques. On peut admettre comme une moyenne que le frottement et la roideur des cordes dans le système précédent obligent à élever T^ à la valeur Tm= 1.666 T^ ^ — et dans un travail journalier, on ne doit pas compter qu'un manœuvre exerce sur k chef des garants un effort P supérieur à 20^, iorsquMl tire de bas en haut avec ses mains. — La tension d'aucun brin ne doit atteindre 3 000 000 d? kil., d étant le diamètre de la corde en mètres. — Lors de l'érection de Tobélisque de Luxor, par M. LebaSj la tension des cordes n'a jamais atteint la moitié de celle qui aurait pu les rompre. — On peut évaluer au quart de la résistance utile l'effort P à exercer sur le chef d'un palan à six brins, effort qui ne serait que le sixième de cette résistance utile, si l'on faisait abstraction du frottement et de la roideur des cordes. — La tension P du chef est, dans ces circonstances, plus que double de celle Tgdu dormani. — Le diamètre des poulies est à leur épaisseur le plus habituellement * 1 5 '. 1 ; — le diamètre de leur axe ou boulon est le douzième de celui de la poulie; — la longueur de ce boulon est les sept iHxièmes del'épaisseur de la poulie. — Dans la marine, on donne au boulon des poulies un diamètre égal aux deux tiers de celui de la corde ou du câble.
POUSSÉES ET DISTRIBUTION DES CHARGES DANS LES CHARPENTES. Question : Etant données la forme et la position d'un système de charpente, ainsi que Tintensité et la direction des efforts auxquels il est directement soumis, trouver Tinfensité et la direction des forces qui tendent à déplacer 6u à rompre certaines parties déterminées de ce système. Tel est l'énoncé commun des divers problèmes réunis dans cet article. On s'est attscbé aux cas
POUSSÉES DES CHARPENTES. 13^9
les plas habituels de la pratique^ et Ton a surtout évité de cpnfondre en une seule et même question la recherche do la distribution des efforts avec celle des dimensions que les pièces do charpente doivent recevoir pour résister à ces elTorts d'une manière permanente^ et qui formait autrefois l'objet spécial d'une théorie dont l'expérience a successivement renversé toutes les hypothèses (Voyez l'article Risistance des matériaux).
1 . Pièce assemblée horizontalement par une extrémité et chargée à Vautre extrémité d'unpoids P.
a étant la longueur de la pièce, X la distance d*une section quel- B
ce i\
conque MN à partir de l'assemblage, P (a — x) est le moment de rupture par rapport à la section MN. Ce moment est le plus grand possible et = P a par rapport à la face d'assem- P
blage AS. Regardant comme nulle la flexion de la pièce sous la faible charge P^ et le point B de l'assemblage étant supposé capable de résister à l'écrasement^ Taréte A subira un effort
2. Même pièce uniformément chargée de p kilo g. par mètre sur sa longueur,
(Joe section verticale quelconque MN d'une longueur ^ ajjf ^
irès-pelite dx se trouve di- B ^" ^
rcctement chargée d'un poids p dx. Le moment de
celte charge par rapport à ^^ ^
la face d'assemblage A S est M
donc pxdx. La somme de ^
tous les moments semblables prise depuis «;=o jusqu'à x=za
devient
pa* pa
moment total =-—= — . a
c'est le moment de rupture par rapport à la face d'assemblage que fournirait la moitié^ de la charge totale agissant à l'extrémité
de la pièce.
3. Si la pièce était uniformément chargée de p *t/. par mètre cou-
M30 t^OCSSÉES DES CflÀKPENÎÏS.
ram, plus d'un poids V à êtm extrmiïê^ le mMiént de rapiare de- Tièttdriiit èyidenitâefit
on Dègligô ôncofe ici comme daùs tout cô qui va suivte la flexion, et par conséquenlla courbure de la pièce, parce que lès pièces eauployëes dans les constructions doivent recevoir lôXijours des dimeiH sjons assez grandes pour n'èlre pais settsibtMient déformée^.
4. Pièce reposant horizontalement sur deux appuis M', M, distants de^ajSt chargée d*un poids 2 P agissant en un point Z de sa hngueur ntué â wie diitance quelconque z de son milieu G.
La pièce étant supposée assez forte pour n'être pas fléchie, les réactions m\ m des appuis M', M seront verticales^ et Pégalitè des moments donnera pour les charges sur les appuis
2P(éi+s)
et
les moments de ces efforts par rapport au point z de rupture sont
Ton et l'autre
P moment de rupture = - (a* — «*)
5. Si le ptrids ^P agit au milieu de la pièce j z devient nul, on a
m = m' = P et le moment de rupture = Pa^ il est toujours plus grand que dans le cas précédent.
6. La même pièce étant uniformément chargée de p kiL par mètre courant, chaque appui porte évidemment la moitié p a de la charge totale ^pUf mais le moment pa^ de la réaction de l'appui par
rapport au inilieu G de la pièce est diminué (2) du moment ^
qui tend à faire tourner en sens contraire ; ce qui réduit le moment
de rupture a -5--
