PROBABILITÉS
car la somme des probabiliiés de deux événements contraires j tels qu*on vient de les définir ^ est nécessairement égaie à Punité*
Si nous n'ayons pas plus de raison de croire à l'arrivée de E qu'à celle de F^ leurs probabilités sont égales, et Ton a consëquemment
Ce cas est celui où notre esprit se trouve dans une parfaite perplexiiéf si Tévénement £ y dont la probabilité est mesurée en gé-
a néral par — 7--, n'avait aucune chance contraire, on aurait
p = - = 1 ; il J aurait alors certitude de son arrivée ; on voit que,
dans la théorie des chances^ la certitude est un cas particulier delà probabilité, et qu'elle est représentée dans le calcul par l'unité ; si
toutes les chances étaient contraires, on aurait p= — ~-7=:o:
c'est le symbole de V impossibilité; la probabilité proprement di(e est entre ces deux limites^ et par conséquent elle est toujours exprimée par une fraction moindre que 1 et > 0.
Objet du calcul des probabilités. Déterminer dans chaque question d'éventualité ou de doute le rapport du nombre des cas favorables à Parrivée d'un événement où à la vérité d'une chose, au nombre de tous les cas possibles, de sorte que nous puissions connaître d'une manière précise d'après la grandeur de cette fraction plus ou moins voisine de l'unité la raison que nous avons de croire que cette chose soit vraie ou que cet événement a eu lieu ou aura lieu, et que nous puissions aussi, sans aucune illusion, comparer cette raison de croire dans deux questions de nature toute difTércnle ; tel est l'objet du calcul dès probabilités.
Probabilité composée ou de concours. On appelle ainsi la probabilité du concours de deux événements Ë, E' indépendants l'un de l'autre.
Par exemple, une urne  contient c boules^ savoir, a blanches , c-^a noires.
Une autre urne B contient c* boules, savoir a' blanches, c/ — a' noires : la probabilité de tirer à la fois une boule blanche de chaque urne est une probabilité composée.
Sa mesure, La probabilité composée s'obtient en faisant le produit des probabilités simples, de sorte que, si, en général, p^ p\p'\,. sont les probabilités propres d'un nombre quelconque d'événements E^ E', E"... indépendants les uns des autres, la probabilité
de leur concoursy ou celle d^un événement composé de tous ceux-là, sera le produit p X p' X P^' X.-. des probabilités propres.
Je dois me borner à ces définitions générales et renvoyer aux ouvrages des BemouiUi^ Condorcetj LaplacCj Lacroix j et surtout à celui de Poisson^ intitulé Recherches sur les probabililis des jugements ^ in-4% 1837.
PROGRESSIONS. Séries dont trois termes consécutifs quelconques donnent deux différences égales ou deux quotients égaux.
Dans le premier cas, la progression est dite arithmétique ou progression par différences^ dans le second cas, elle est dite géométrique ou progression par quotients.
La progression est croissante lorsque les termes augmentent en allant de gauche à droite; — décroissante, lorsqu'ils diminuent en marchant dans le même sens.
est une progression arithmétique croissante dont l'équidifFérence est 2;
est une progression géométrique décroissante dont le quotient constant est >.
Progressions arithmétiques ou par équidifférences. a est le premier terme, b celui qui le suit immédiatement, d leur différence = (6 — a) y n le nombre des termes de la progression, u son dernier terme, s la somme faite de tous ses termes depuis a jusqu'à u inclusivement.
La progression étant supposée croissante^ on voit l"" que m termes fourniront (m — 1) différences ^ 2** que un terme quelconque, dont le rang est m, égale (m — 1) fois la différence constante ci, plus le premier terme. Ainsi :
le m**"** terme = (m — 1) rf -|- « et le dernier terme uz:z{n — l)d-|-a
La valeur moyenne des termes de la série de a en u est évidemment ^ ■ : donc, en multipliant cette valeur moyenne par le nombre n des termes, on aura la somme s de la totalité des termes
(a + M)n 2an-{-n(n — i) d
les deux équations ci-dessus ayant trois quantités communes a, u, n, on en déduira, en éliminant ces valeurs communes, trois autres équations ; ce qui donnera cinq équations entre les cinq quantités
a, d, Hj Uj «. Si mainteDant oo résout chaque équation par rapport à chacune des quatre quantités qui y entrent, il en résultera les vingt formulea suivantes qui comprennent tous les cas :
Progressions par différences.
Etant donnés n.d .u
Trouver a.
2j — tin
2«--dn(n — 1)
Trouver ti.
ti = «-|-d(n — 1)
2$—an 2j
2j + dn(n->-l)» il(n— 1)
., cr±: l/(2a — dP+Sd»
Trouver n.
rf-
-rf)* +
Sds
»+d±l/ (2tt
Std
Etant donnés
Trouver d.
2 (un — s)
Trouver #.
(a+tt)(« — a + <') a+<* w'^ — a'
2aii + dn(n — 1) , dn(n — |)
^^2t*n — 4n(n — I) <ln(n — Ij
Si la progression était décroissante, la diiïérenco d serait négative, et il suffit^ pour appliquer ces formules à la progression décroissante^ d'j changer le signe de d.
Exercices, On trouverait pour la somme $ des 20 premiers termes de la progression -^ 1.3.5.7... pour laquelle dés lors a = iy dr=2^ n = 20
Pour toute autre série des nombres impairs commençant par 1 la somme des termes égalerait le carré du nombre des termes ou s = n*.
Le premier terme d'une progression arithmétique est 5^ ic dernier terme 41, la somme des termes 299 ; on demande le nombre des termes n et TéquidifTérence d
= 13; d=zrz r = 3
Le premier terme d'une progression est ^ , le dernier est 12, la
somme des termes est 32 ; on demande le nombre des termes n et la diiïérence d. II vient
or cette division ne ponyant s'opérer exactement^ et un nombre de termes ne pouvant être ni fractionnaire ni négatif^ il faat en conclure que^ avec ces données, la suite par différences égales est impossible.
Démontrer que la somme S, des carrés des termes d^une progression arithmétique est
Dans le cas particulier où la progression est celle des nombres naturels 1.2.3.4..*.n, on a
Progressions par quotieni. a étant le premier terme , q le quotient d'un terme quelconque divisé par le terme qui le précède immédiatement, n le nombre des termes de la progression, u le dernier terme, s la somme de tous les termes, depuis a jusqu'à u inclosivement, on trouve facilement que m termes donnent (m — 1) quotients égaux, et que dès lors le m'^* terme égale le premier multiplié par le quotient constant élevé lui-même à la (m — i^kom puissance. Ainsi
m*°*« terme = a g"^' et l'on a pour le dernier ou n**"* terme
«= aj"'*
quant à la somme S de n termes^ on a évidemment S = a-|-ag-(-a5*-j-a5|' H"«î°"' o^
or la parenthèse revient à r ou ' lorsque l'on sup-
pose } > 1 : donc on a définitivement
Eliminant au et q des deux équations ci-dessus, on aura trois autres équations on en tout cinq renfermant chacune quatre des
PROGifflaSlOMS. 1353
cinq quantités a, u, q, n, s, d'où Toa tirera les vingt formules qui suivent :
Connaissant Troofer a.
u.y.rt. . . a = -^ ou log. a 3= )og. ti — (n — l)iog.{
a=zuq-^s — sq on
log. {s — a)z=2 lûg- î + log. (s — u)
ou
q.fi, 3 , k
log. a = log. * + log. (q—i)— log. (ç» — 1) u.n.s. . . a X(«— a)"-*— u X (*— 1»)''"* = 0
Connaissant Trouver u.
a.q.n. , . u = a(i°-' ou U>g.a = log.a4-(«— 0*^8« ï
u = -2 î — ou
log. (* — u) = log. (s — a) — log. î
-Vi^Vxp^-
OU
gû— 1
î»*-*- • -^ log. M = log. S +(«-!) log. î
+ log.(s-l)-log.(f-l)
Connaissant Trouver g.
n-y u , log. « — iog. a a.u.n. . . i^^l/a ^^ log.}= ^— j
a.tt.5. . . q = ou log.5=log.(« — a)— log. («—!*)
a.n.s. . . aj" — «g + 5 — a=0
«9 I ^ qf" i = 0
Connaissant
a. tf • 5 . . •
a . jf . 5 . . .
Connaissant
Trouyer n.
log. q
log.u — log.a
log.(5— a)— log.(s — ii)
log. (a -{- s g — «) — log. o
log. g
log. g
Trouver s.
uy u — a]/ a
yr^y—
On calculera séparément par les formules particulières
10 log. t* J/ M = log. M -[-
n— 1 lo''' Cl
«• log. a 1/ o = log. a H — 21-
3Mog.l/«=-2--
4Mog. Ka = -^ ** n — 1
uq — a «= — OU
Iog.* = log.(ttg — a)— log. (j— 1)
o(g°— 1) 5 = — ^^ 7- OU
g— 1 log. * = log. a + log. (j»— 1) — log. (î— 1)
ti(g°~l) * = "TTT Ts OU log. * =
log. w + log. if — 1) — log. (j l) — log. J-*
Il n'y a aucun chaDgement à faire à ces formules quand la progression est décroissante. Elles sont générales^ ponryn que l'on
un terme aDelconque
cony lenne que a = — — — rr^ — . ,; .
' celai qui le précède
Le quotient q étant nécessairement une fraction lorsque la progression est décroissante, la somme s prend la forme
Si de plus le nombre des termes est très-grand, la fraction q éleyée & la très-haute puissance n devient très-petite, et la somme s se rapproche beaucoup de la valeur
«o = ; limite
qu'elle n'atteint que lorsque le nombre des termes est infiniment grand^ et le dernier terme u = 0.
Exercices. La série suivante
-H- 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 donne a=l; 9 = 2; u = 64; n=z7 -, «=127
Une progression croissante de dix termes a pour premier terme 1, pour quotient 2^ on demande le dernier terme u et la somme s des termes . ti =: 512 ^ s= 1023.
Trouver la fraction vulgaire équivalente à la fraction décimale périodique 0.36 36 36... on a
— il —— g 4
on trouverait de même 0.818181 = 7?
On demande la somme de la progression suivante décroissante
de - jusqu'à zéro
Ona:a = -; î==2' ** = ^ ®^ *==*
On aurait de môme
