RACCORDEMENT

eiprcssion qui montre qae TefTort moyen augmente k mesure que la dorée du choc diminue. Ainsi, le mobile étant une balle de fusil dont le poids P = 0^0256, et la vitesse d'arrivée Y = 454» , on a F I =M V=: 1 .18, et suivant que la quantité de mou vement s'épuisera en

/ = 1 seconde ou OM ou 0\01 ou O'.OO!

la moyenne des eflbrls exercés contre l'obstacle pendant toute cette durée sera

F = lM8 ou 11^8 ou 118^.. ou 1180^

RACCORDEMENT (quelques méthodes de), pi CY.

Raccorder deux alignements parallèles AB, DE sur une oblique ¥ G, d leur direction commune dont Pinclinaison est connue (fig. 5).

Prolongez les alignements donnés AB, DE, jusqu'à la séoaaie F G, ou jusqu'à une parallèle FG à celte sécante. Au milieu fi de la droite déterminée par les points de rencontre F, G, élevez une perpendiculaire indéfinie H I à F G. Portez F H de F en A, et G H de G en Ë. Par A et E ainsi déterminés, élevez des perpendtculaires aux parallèles^ elles rencontreront H I en des points C, C, qui sont les centres des arcs de raccordement A H, H E doat tes rayons respeclife sont A G^ = G, H et G, H = C^^ E.

Les alignements B M, A N n'hâtant pas parallèles (fig. 6), chercbei sur le terrain ou sur le papier leur intersection C. Divisez Fangk BAC en plusieurs angles égaux et marquez sur B G les interseelions 1, 2, 3 des côtés de ces angles avec la direction B G. Béfiélez les mômes opérations du point B, par rapport à ralignement G A en numérotant les intersections dans Tordre inverse. Les intersections des lignes de même indice B 1 et A 1, B 2 et A 2, etc., sont des points qui appartiennent à Parc de raccordement.

Autre méthode (fig. 7). B M, A N sont encore les directions des alignements ; G est leur point de rencontre. Joignez les points A et B; de C menez une droite au milieu de A B, et par le milieu B' de C B une parallèle B' m à la base A B. L'intersection m est un point de la courbe de raccordement. Tirez B m, puis par le milieu n de B B' une parallèle à la base B m, et du point B' une droite au milieu de cette base; l'intersection de ces deux dernières droites donnera encore un point de la courbe de raccordement. Opérez de même sur le triangle m A' A, ce qui donnera un troisième point, et par conséquent, quatre des côtés du polygone inscrit à la courbe. On pourrait continuer à opérer de la même manière et obtenir ainsi autant de points qu^on voudra de cette courbe.

Autre méthode (fig. 8). Cherchez comme ci-dessus le point de

reocoDlre C deftalignemeDUdoDDés en direction BM^ A N. Divisez G B et G A chacun en un même nombre de parties égales. Namér rolez les points de division des deux alignements en ordre inverse. Les intersections des droites de même indice BletAl^BdetA t appartiennent à la courbe de raccordement^ laquelle est alors laagente aux alignements B M^ A N.

Si la courbe de raccordement a un point d^inflexion déterminé O, fig. 9, on fera deux fois l'opération précédente, pour O et A d^une party puis pour 0 et D de l'autre, ainsi que l'indique suffisamment la fig. 9,p/. GV.

RACINES. Procédé général d'extraction. Pour extraire la racine ^èmo j'mi nombre entier ^

V Partagez ce nombre en tranches de n chiffres à partir de la droite.

^o Quel que soit le nombre de chiffres conservé par la dernière tranche à gauche^ cherchez la racine n^^ la plus approchée de celte tranche, et placez ce chiffre à la droite du nombre donné en l'en séparant par un trait vertical.

3"" Formez la puissance n^°^ do ce chiffre, et retranch<^z•-la de la tranche de gauche.

40 A côté du reste, abaissez la deuxième tranche de n chiffres, et séparez-en (n — 1] chiffres sur la droite.

50 Divisez ce qui reste à gauche par n fois la (n — 1)^™^ puissance du nombre déjà inscrit à la racine^ le quotient ainsi obtenu est le second chiffre delà racine totale.

6^ Pour le vérifier, formez la n*^ puissance des chiffres inscrits à la racine, et retranchez'-la du nombre qui les a fournis. Si la soustraction ne peut pas s^opérer, le dernier chiffre placé à la racine doit être diminué d^une unité, et l'on vérifie de nouveau. La soustraction pouvant s'opérer, on abaisse à côté du reste la tranche suivante de n chiffres, et Ton répète les opérations ci-dessus jusqu^à ce qu^il n'j ait plus de tranche à abaisser.

Si le nombre a des décimales, on ajoute d'abord à ces décimales assez de zéros poor qu'elles puissent être exactement partagées en autant de tranches de n chiffres qu'on veut avoir de décimales à la racine, et l'on opère ensuite comme ci-dessus.

Abréviation. Lorsqu'on a obtenu un nombre des chiffres de la racine au moins égal au nombre de ceux qui restent à trouver augmenté de n, il suffit alors de diviser simplement le reste de Topération par n fois la (n — i)^' puissance des chiffres déjà obtenus.

Fractions. La racine n*"*® d'une fraction est la racine n*°® du numérateur divfsé par la racine n^^ du dénominateur.

Racine n*°*' d'un monôme. Extrayez la racine n*®* de son coeffi-

cient, et divisez par n l'exposant de chacno de ses feelears algébriques. Si ces opérations ne peuvent s^effectuer^ on ne peut qu'iadiquer la racine du monôme en en simplifiant quelquefois Teiprcssion. Quant aux signes, les racines patres des monômes positib doivent être affectées du double signe ±: ; — celles des monômes négatifs ne sont que des quantités imaginuirtn (page 940) -— les racines impaires des monômes positifs ou négalife prennent le même signe que la pnbsance qui les donne^ et il n'y a pas d'imaginaires

dans ce cas. Ainsi Y — a** = — a'.

Racine fi^* des polynômes. Le procédé d'extraction est parfaitement analogue à celui qui est indiqué pour les nombres^ il faut seulement avoir le soin d^ordonner les termes avant de procéder è la recherche de la racine. Lorsque la quantité littérale n'est pas nae puissance parfaite du degré dont on demande la racine, on ne peat plus obtenir celle-ci, et il faut se borner à en approcher d'aussi près que Texige la question pour laquelle Pextraclion est nécessaire. Pour cela, on représente la racine par une puissance fractiooDaire (page 715) en ayant soin de prendre pour premier terme leplos grand terme de la quantité proposée ; puis on développe la pîiissance fractionnaire en série , et l'on arrête le développement à l'instant où l'on rencontre des termes négligeables. Ainsi soKa>i) on a

on aurait de même

[/a — x =:[a — x)^=a^ Jl —-.Js = a ^1 — -js

Cette méthode s'applique à toutes sortes de racines et à toutes sortes de quantités. Elle est très-générale mais peu commode.

Remarques relatives aux racines carrées et cubiques. Un polynôme qui compte plus de trois ternoes ne peut être le carré d'un binôme.

Aucun binôme n'étant un carré parfait, on ne peut pas obtenir sa racine carrée exacte. Cependant la plupart des questions de la mécanique pratique conduisant à des expressions de la forme |/ o2 ± fta , M. Poncelet a recherché la valeur approchée et rationnelle de ces radicaux. Yoici le tableau des valeurs de J/a^+^-

RACINES. id7i

Ces valeurs dépendent de la relation qui existe entre les grandeurs de a ei de i, relation presque toujours suffisamment comiue d'avance.

Relations de a et (.

Valears de |/a*+6« approchées.

Erreor maiimum possible.

Si le rapport de a et i est inconnu, on aura à \ près

g prd«.

îSi Pr*»-

Quant au radical [/a^ —b^ qui se présente plus rarement, on aura : a étant compris entre 1.016 et 1.02 i

y à' — b^zzz 6.097 a — 6.02 4 à ^ près;

i étant compris entre zéro et 0.91 a

l^a* — 6*= 1.1319a— 0.726364 à f près;

entre hzizO et hz=:\a ou entre a = ao par rapport i& jusqu'à a r= 2 4

1/ a' — 4* = 1.018623 a — 0.272944 4 à ^ près.

Harr^s ei, avant lui, Lambert ont démontré que a étant tne valeur approchée de la racine nJ^^ d'un nombre À qu'on a partagé en a*" ±4, on avait avec une très-grande approximation

2ab

2ma'»±(m— 1)6

1372 RACrNES.

formukqaî, pour les cas habituels où m = 2 et m = 3, prend les formes respectives

yji=[/a^±b =a dr

♦ a*±: 6 ab

et l/A = l/a'±6 = a±3^^^

Tant que deux grandeurs ab sont ioégalcs^ le radical y'âT qui est leur moy^Due par quotient^ est toujours moindre que leur moyenne arithmétique et d'autant moindre quelles sont plus inégales (p. 1356)

mais si a et i sont des nombres entiers tels que le nombre des chiffres qui expriment Texcès (a — i) de a sur b soit moindre qoe la moitié du nombre des chiffres de bj la moyenne arithmétique ne peut pas excéder la moyenne géométrique de tin huitième d'umié, de sorte que l'on a^ dans ce cas^ cette autre limite (Lentheric)

a + 6 ly-'— 1

Ainsi, en prenant la demi-somme de tels entiers pour la racine de leur produit^ on ne se tromperait pas de un huitième d'unité.

Le théorème s'applique à deux nombres décimaux dans lesquels le nombre de chiffres décimaux serait le même, et qui^ abstraction faite de la virgule^ tomberaient dans le cas des deux nombres entiers dont il vient d'être question. L'excès de leur demi-somme sur la racine carrée de leur produit serait moindre que le huitième d'une unité décimale du dernier ordre.

Si Ton avait à extraire la racine carrée d'un nombre exprimé par l'unité plus une fraction décimale dans laquelle la première décimale signiBcative serait précédée d'autant de zéros au moins qu'il J a de chiffres décimaux significatifs, on obtiendrait imniédiatement cette racine avec le même degré d'approximation qu'offre le nombre proposé, en remplaçant simplement la.partie décimale par sa moitié [Gergonne), Ainsi

La racine carrée de la somme ou de la différence de deax nombres m et n, dont l'un est un radical^ s'obtient parfois plus fari-

lement en prenant une quantité auxiliaire d=V m^ — ti* et l'on* alors