X.. + Y., + z .. = î (îî£f + '-iîï + '-i$i

iotégrant, il vient (éq. /)

i? V> 4- const. =1 î ^ + const (k)

relation qui n^est rien autre chose que l'équation des forces vives (27) étendue au cas oà les forces ont des directions quelconques, et qui peot se traduire ainsi :

la demùvarioHcn de la force vive subie pendant un certain temps p

par une masse — qui obéit d V action de plusieurs forces quelconques j,

esi toujours numériquement égale aux travaux de ces forces, ou autravail de leur résultante.

73. Trajectoires. Nous allons montrer, par quelques exemple simples, comment les équations ci-dessus peuvent servir à déterminer la trajectoire d'un mobile^et les circonstances de son mouvement.

Soit demandée {fig. 6, planch. L, et pag. 592) la courbe décrite par le filet moyen d'une veine d'eau lancée du point o, avec une vitesse u, dans une direction qui plonge de TangleO an-dessous d^ l'horizontale oX. Prenons cette horizontale pour Tun des axes, et la verticale oY pour le second axe; il est évident que la veine ne pouvant sortir du plan de ces axw , il n'y a point à considérer les valeurs générales qui se rapportent à celui desZ; car, indépendamment de sa vitesse acquise ti, la veine fluide n'est plus soumise qa*à l'accélération g de la gravité -, on a donc à la fois (éq. c)

une première intégration donne

dx , dy . ^ ^ ,

-— = 0 + constante c. . . -- = a / + constante r dt ^ di ^ '

la première constante c est visiblement la composante kcos.B de la vitesse suivant l'axe des x, el la seconde c' est la composante usin.ft de cette même vitesse, suivant l'axe des y, il vient donc

dx = ucos.^. dt dy=: {g t '\- usiTL.^) dt

intégrant une seconde fois, on a

â;=:ucos.O/ y = j jf£*-|-Msin.8l

équations qui fixent la position de la molécule o au bout du temps t^ En éliminant ce temps t entre elles, on obtient l'équation suivante de la cocjRBB qui serait décrite dans le vide par le filet moyen de la veine liquide

Al QX^

y=zx tang. B -f- -~ — --■ ^ ^ ' 2 u* COS.* 6

Cette courbe est un arc de parabole qu^on a enseigné à tracer p. 59^. Pour avoir la vitesse Y dans la direction de la courbe, on pourrait employer l'équation des forces vives, qui donnerait pour cette vi* tesse au point qui a y pour ordonnée

Y= Vu* + 2gy.

74. On obtiendrait, par les mêmes méthodes, toutes les équations suivantes relatives au mouvement d'un projectile dans le vide :

R = A B étant la longueur de la droite inclinée d'une manière quelconque au-dessus de l'horizon, et qui joint le point de départ A. du projectile au but B à atteindre. B sera la portée.

H = la hauteur due à la vitesse initiale du projectile, y = celte vitesse initiale en A.

i =: la pins grande haateur verticale do projectile au-dessos da plan.

T = le nombre de secondes écoulées entre le

départ du projectile et son arrivée en B. E^rTangle DAB d'élévalion compris entre

la droite ÀB=:R et la direction de la

tangente en A à la trajectoire»

Z = angle compris entre la direction de la

tangente en A à la courbe, et la verticale

da même point A.

P=: angle DBA compris entre la direction

BAetla verticale BDpassant par le butB. ][

sÎD.Esin.Z 8in.« P

V = »/^2,fl-«n.P^/^

„ 28in.E8ip.Z.V« gsïn. Z * sin.Z

"~ flf8in.«P ~28iD.E s"î^"*'*

75 — ^""'Prr— ^''"'P| /Tï

28iB.Esin.Z 3 «in

iB.P îtin.Pi /7i

T=!!!!!^ \/m=: ^J^ V= l/2-in.E R ^ | /£) sin.P y g jfsm.P y gèin.Z V g

i = r-:^ — s'»R="r-r;;: • H= -T— n^ . îr" = « jT* (o)

8in.»E 8in.«P

48iD.E8in.Z 2 9

BÎD.E

4iiD« Z 8in.«P.R

BÎD.'E V«l

8in.«P 1 , 8in.«P .

8iii.*E 8"" 8iD.'E

On tirerait facilement la valeur de Tangle d'élévation E du plus grand nombre de ces formules. Si A B est horizontal^ Pangle DBA=Pz=90o, d'où sin. Pz=l; d'autre part Z devient le complément de É ; enfin sin. E cos. E = 2 sin. 2 E ; sin.' E = San. verse 2E^ elc.^ il vient^ pour ce cas particulier,

ll=tH«n.Eco..E=2H.in.2E-.iD.2Ey=2^=^(P) * Y 8ID.2E 2sin.E 8in. E |/ 2 ^ •'

R.tiDg.E

8iin.2£ 39 i6ùn.Ten.2E sio.'E SNo.Tera.2E' ^^

75. Forces centrtpék €i centrifuge. Un corps de poids P décrit un arc de cercle de rajon R avec une vitesse circulaire Y , ce qui ne peut avoir lieu (4) sans qu'une force G le retienne sur la courbe; on demande Tînlensité de cette force G.

Si ^ à un instant quelconaue dt du mouvement, le poids P devenait liore, il continuerait évidemment, en vertu de son inertie^ à le mouvoir en ligne droite dans la direction AT du dernier élément de la courbe qu'il aurait parcouru. En outre (7% il conserverait sa vitesse Y, et parcourrait dès lors^ sur cette tangente^ dans le temps dty un espace Am = \dt =^ de. Or nous supposons qu'une force centrale G, que la tension d*an fil, par exemple, Toblige^à décrire sur la courne, dans le même temps dt^ un firc An =:= de = ^dt de même développement que Am; la force infléchissante G doit donc avoir une intensité telle, que^ dans ce même ternes dly elle puisse faire parcourir au corps P , suivant le rajon, le smus verse Ap de Tare An = Am; donc (15)

2(Ap)

Or, on a, entre Parc élémentaire An, son sinus verse Ap , et le diamètre 2Rdu cercle (Géom. — D. — 33) la relation

Ap : An : : An : 2R ou Ap = ^*''''

Il en résulte, pour la valeur de G

G = — — kilogrammes = — o>* R g R g

en introduisant la vitesse angulaire cd du mobile, ou Tare de un mètre de rayon qu'il décrirait en vertu de sa vitesse V = coR.

G est la force centripète^ la force centrifuge, précisément égale cl de sijjne contraire^ est ta réaction correspondante. L'une ou l'aulro exprime donc la valeur en kilogrammes de la tension du fil qui retiendrait le poids P dans la courbe, abstraction faite de la gravité.

76. Si le plan de la courbe décrite était vertical, la tension du fil deviendrait évidemment la résultante de la force ceniriiuge et de la composante normale à la courbe du poids P du mobile. Aîofti Y étant supposé constant pour plus de simplicité, et a étant l'angle aigu variable de l'élément du cercle avec la direction de la verticale, passant par cet élément au moment où le poids P lo décrit, la tension du fil deviendra

-■^~P8m.« = p(__8in.«