R = 0.100 + (0.0068 + 0.1179 NS) Y

N étant un nombre de palettes compris entre 5 et 20 ^ S Paire de chacune d'elles^ et Y la vitesse uniforme de leur centre^ celle vitesse étant comprise entre 3 et 8 métrés. Mais les palettes n'avaient que (0"».2)* = 0™«.04 = S. On peut le plus souvent négliger le premier terme 0^.100.

Pour les surfaces cylindriques minces» mues circulairement dans l'air, la concavité tournée en avant, les coefficients du tableau cidessus n'ont augmenté que trés-faiblement.

Pour des sphères de O'Q.IO à 0™.15 diamètre mues de la même manière à des vitesses médiocres^ on aurait d'après Borda ib=0.56 à 0.6. Cette dernière valeur correspondrait diaprés HuUonh une vitesse de 2 met.

Aubes planes des bateaux d vapeur et des roues pendantes. Si les aubes ne sont plongées que partiellement, Y étant la vitesse circulaire moyenne et relative de la partie plongée, k est très-voisin de 3. Si les aubes plongent entièrement, on fait ifc=: 2.50 environ.

MoDVRMEirr rectiligivb bt parallèle. Plans minces entièretnent plongés. Après une lumineuse discussion (Mécanique industrùXit^ pag. 587), M. Poncelet propose de faire A = 1.30 lorsque le plan mince se mouvra uniformément dans un fluide en repos, et K = 1.85 lorsque^ au contraire, le plan mince sera en repos et le fluide en mouvement^ sauf à décider ultérieurement si retendue effective des plans offre une influence propre dont il soit nécessaire de tenir compte.

Voiles des navires. On prendra pour A leur surface développée et, faute de mieux, on calculera comme pour les plans minces.

Parachutes. Lorsque le mouvement est devenu uniforme, et pourvu que la vitesse Y ne dépasse pas 8 met., on a, d'après quelques expériences de MM. Piohert Uorin et Didion sur un parapluie de V^.Tl diamètre

R = ^A(0.07-f 0.163 V^) et si le parapluie tombe à l'envers

R* = — A (0 .028 + 0.0652 Y*) A est dans les deux cas la projection horizontale du parapluie^

BÈSiSTANGB DBS FLDIHBS. i»Oi

«^ le poi^ du mdtre cubo d'air au moment do l'expérience^ et «' le poids du mètre cube d'air à la pression 0.76 et à la tempe* rature iO». V zxz 1.214 environ.

Tant que le mouvement n'est pas parvenu à rnniformitéj et (p = — - étant Taccélération ^ on a, d'après les expériences do M. Pidion sur le même appareil

Y étant la vitesse au moment que l'on considère (Yoy. pag. I235)«

Angh dièdre se mouvmii dans V air. S étant la somme des aires des deux plans^ a l'angle aigu^ exprimé en degrés, de chacun de ces plans avec la direction du mouvement^ c'est-à-dire avec le plan médiany *w le poids du mètre cube d'air au moment de Texpé* rience^ "»' le poids du mètre cube d'air à la pression 0.76 et à la température 10"*, MM. Pioberh Marin et Didion ont trouvé pour la résistance totale R^ la vitesse étant uniforme et l'angle dièdre agissant par son tranchant

ï^ = S — . ^ (O.Oao + 0.084 V»)

Pri$meê droits immobiles plongés dans un fluide en mouvement. La longueur du prinne étant L et sa section transversale A , on meUra pour k dans la formule générale^ savoir :

Aizz: 1.865. . . 1.451. . . 1.323 et 1.360

adon que l'on aura

-7^ = 0 1 3 et 6

ces chiffres résultent d'expériences de DukkU sur des priâmes pour lesquels il avait A == O*""".! .

Homme dans l'air* L'homme étant en repos, on a, d'après M. Paneelet, A = 0.75, d'où pour l'effort total B , la surface A exposée au vent étant prise = 0"'".6 , R =0.028 V*.

Si l'homme se meut dans l'air en repos, *=: 0.6 et R=0.0224 IP, et s'il est d cheval, on a avec assez d'approximation pour la résistance totale R = 0.03T<.

Prismes droits se mouvant plongés dans un fluide en repos et suivant leur axe. A étant la section et L la longueur du prisme^ on calculera sa résistance R en mettant pour k dans la formule générale, savoir :

BËSISTANGE DES FLUIDES.

A éUDt

LéUDt

V élaot •

D'aprts

nsin. mm.

3 met. • .

faible. . .

4 met. « .

Marguerie.

Beaufoj.

Id.

D'après les expériences de M. Duchemin, on aurait en général

Sphères tombant verticalement dans Pair ou dans l'eau. On a, d'après New ton j Deêaguliers^ Dtibuat, A = 0.50 à 0.53 pour des yitesses finales qui ne dépassent pas 9 met.

Sphères entrant parallèlement à la surface de niveau dans un bassin d'eau avec des yitesses initiales de 70 à 550 mët.^ on aurait, d'après MM. Piobert, Morin et Didion^ A = 0.452.

Les obus creux de 12 à la vitesse initale de 3 à 400 met., et ceux de 6 à la vitesse de 250'' se sont presque tous brisés en choquant le liquide.

Projectiles dans Voir. La résistance R qu'ils éprouvent pendant leur mouvement horizontal peut être représentée^ à chaque instant^ dans les circonstances atmosphériques ordinaires^ par

Y étant la vitesse qu^ils possèdent à l'instant que Ton considère* Or on a, d'après Ration j la correspondance suivante entre les valeurs de Y et de A;

V= 1 it=0.59

eoo

f.Ol

Ainsi, le boulet de 12^ dont le diamètre = 0".148 éprouverait une résistance exprimée par

R = 0.0010755 *Y^ qui y aux vitesses ci-dessus^ deviendrait en kilogrammes

c'est-à-dire que, sans tenir compte de la masse d'air entraînée par le boulet^ la résistance qu'il éprouve à la vitesse de 200 met. est presque égale à trois fois son propre poids ; elle devient trente fois ce même poids à la vitesse de 600 mèt.^ et comme ces résultats de* vraient être multipliés par 770 environ quand il s'agit de l'eau, on

peut juger de l'énorme résistance que doivent éprouver les boulets qui se meuvent dans ce liquide , indépendamment du choc qui s'opère à Tinstant où ils y pénètrent.

M. Pioberi a présenté la résistance des projectiles se mouvant dans Pair sous une forme différente pour laquelle je renvoie à la pag. 651 de Vlniroductian de M. Poncekt à la Mécanique induS" trielle.

Corps flottants. Prismes dans un fluide indéfini et en repos. M. Ponceht ne pense pas que, dans les applications à la pratique^ on doive attribuer au coefficient k une valeur qui surpasse notablement 1*10 ou môme 1, si la longueur du prisme est égale à trois fois au moins la largeur de la partie plongée.

Si le prisme a une poupe^ on fait A =: 0.99.

Bateaux sur rivières et canaux â grande section. Si leur forme est prismatique, on prend k comme il vient d'être dit ; mais si le bateau a une proue dont les faces latérales se raccordent par des arcs de cercle avec les flancs^ et dont le dessous soit un plan incliné d'environ 30^ raccordé avec le fond^ la valeur de k s'abaisse à 0.33 au plus^ et on a alors

V étant la vitesse relative de l'eau et du bateau. D'après Navier^ toutefois, on aurait sur les rivières et canaux à grande section les valeurs suivantes de k :

Bateau en prisme rectangulaire avec proue et poupe formées de deux plans verticaux dont la saillie égale la largeur. . . k=:0.55

— la saillie de la proue étant double de la longueur. . 0.45

— la proue étant formée par un demi-cylindre vertical. 0.50

— la proue étant formée par le prolongement du prisme coupé en dessous par un plan incliné sur l'horizon de 30^. 0.45

Bateaux sur rivières et canaux d petite section. La résistance augmente très-sensiblement lorsque le cours d'eau n'a pas au moins

4 fois \ la largeur, et 6 fois ^ la section de la partie immergée du bateau; mais on connaît roalla loi de l'accroissement de cette résistance, en dépit des observations de Dubuatj Russell et Macneill, etc. On se contente, faute de mieux, d'augmenter de sa moitié la valeur de k prise d'après les conditions du paragraphe précédent. Une observation de MM. Magnés et d*Aubuisson a cependant donné pour le canal du Languedoc et les grandes barques qui y naviguent, et que M. d^Aubuisson appelle ce espèces de gros coffres garnis d'une proue et d'une poupe fort obtuses, à faces courbes » ; la résistance

^ 140 A V« n zz: — ' ■ ■ -

5 étant la section du canal.

1404 RËSISTANGB DES MATÉRIAUX.

Vaisseaux, Quant aux embarcations qui ont les formes des oavires marins, on prend il =0.16 ou 0.18 d'après une expérience de Bossut sur un modèle de vaisseau mu exactement dans le sens de sj quille.

Ainsi^ la formule théorique par laquelle on s'est accordé à représenter la résistance des fluides se trouve modifiée par un coefficient k qui varie entre les limites excessivement distantes 0.1^ et 3 sans que Pou sache même le plus souvent si ce coefficient affecte la section A du fluide déplacé ou le carré Y^ de la vitesse relative. Cette formule n'est donc que Texpression fort incomplète des phé^ nomènes nombreux et complexes qui donnent lieu à ce genre de résistance, une sorte de traduction algébrique d'un seul des faits mécaniques qui l'accompagne ci qui n'est pas toujours le plus influent d'entre eux« Si nous exceptons V essai si remarquable qui t^r* mine la Mécanique industrielle de M. Poncelet (pag. 675), nous pourrions donc appliquer encore aujourd'hui à la théorie de la résistance des fluides la critique que D'Alembert en faisait il y a on siècle (1752) : « S'il arrive, disait-il^ que la question que l'on vent examiner soit trop compliquée pour que tous les éléments .puissent entrer dans la comparaison analytique qu'on veut en faire, on sépare les plus incommodes^ on leur en substitue d'autres moins gênants mais aussi moins réels; — et on est étonné d'arriver^ apr^ un travail pénible, à un résultat contredit par la nature! Gomme si, après l'avoir déguisée^ altérée on tronquée, une combinaison purement mécanique pouvait nous la rendre. »

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 1 . Les matériaux sont soumis dans les constructions à des efforts instantanés on permanents qui les étendent^ les compriment, les fléchissent ou les tordent, et tendent toujours à les rompre. La cohésion de leurs molécules développe alors dans ces solides des résistances , dites moléculaires, à l'aide desquelles ils réagissent contre les efforts extérieurs qui les déforment; mais les lois physiques qui r^issent ces résistances > n'ayant été étudiées que trè&*récemment avec la sévérité convenable, les illustres géomètres qui, depuis deux siècles, ont créé et développé la théorie de la résistance des solides se sont trouvés conduits, à défaut d'observations exactes, à fonder cette théorie sur une nombreuse série à^ hypothèses, implicites et explicites, que nous allons essayer de résumer :

2. Première hypothèse : limite d'élasticité. Les corps solides se laissent étendre, comprimer, fléchir et tordre, jusqu'à une Utnite différente pour chaque nature de solide, mais en deçà de laquelle ils reprennent exactement leurs formes et dimensions primitives ou naturelles, au moment où les forces extérieures qui tendaient à les

déformer Tiennent à cesser d'agir. Cette limite prend le nom de limite (Télasticité.

B. Deuxième hypothèse : allongements. Lorsqu'un prisme solide^ dont nous représenterons la longueur et la section primitives oa natorelles par L et A, est tiré^ dans le sens de sa longueur^ par des efforts successifs P, les accroissements e de sa longueur primitive sont proportionneh aux valeurs de P aussi longtemps que sa limile d'éloêtieité de tension n'est pas atteinte.

4. Troisième hypothèse : en deçà de la limite d'élairticité, la durée des efforts est sans aucune influence sur les effets produits.

5. Quatrième hypothèse. Les accroissements de longueur subis par le prisme ne diminuent pas ses dimensions transversales ou sa section A.

6. Cinquième hypothèse. Les efforts nécessaires pour allonger des prismes de même longueur L, d'une môme quantité déterminée e, sont proportionnels à leurs sections transversales.

7. Sixième hypothèse : module ou coefficient d'élasticité. Puisque les allongements par métré - sont^ eu. vertu des hjpothéses ci-dcs-

p sus^ proportionnels fkux eSorts d'extension ^ par métré carré de

section du prisme aussi longtemps que la limite d'élasticité n'est pas atteinte^ on obtiendrait évidetnment l'allongement par métré a du même prisme correspondant à un effort de un kilogramme par métré carrée en posant la proportion

^.i::i-.a d'où «=iA. . . .1 . . , 0)

Faisant le quotient - = £. on aurait donc

c'est ce poids E que l'on nomme le module ou le coefficient d'élasti^ cité de la substance du prisme,

8. On dit encore que ce module ou coefficient d'élasticité serait le nombre do kilogrammes qu'il faudrait appliquer k un prisme de un métré carré de section pour l'allonger de un mètre par mètre, s'il était possible physiquement qu'un pareil allongement n'altériit pas L'élasticité de ce prisme. E cst^ en effets la valeur que pren* drait P dans la formule ci-dessus, en y faisant la section A du prisme = ufi métré carré et l'allongement absolu e = la longueur primitive L.

9. Septième hypothèse. Compressions, La théorie étend les six hy^

1406 RÉSISTANCE DES MATÉRIADX.

pothëses précédentes aux phénomènes de compression comme à cent d^ extension.

Àinsi^ tant que les efforts de compression ne dépassent pas la limite d'élaslîcilé relative à l'extension, elle admet que le refoulement longitudinal du prisme n'altère pas son élasticité; — et aussi longtemps que cette élasticité n'est pas altérée, la longueur primitive L du prisme diminue de quantités absolues e qui restent : 10 proportionnelles aux efforts de compression P ; 2* en raison in* ▼erse de sa section A qui est censée rester constante malgré le refoulement ; 3^ absolument indépendantes de la durée des efforts P.

10. Huitième hypothèse. Toutes choses égales d'ailleurs, ces quantités c sont en outre considérées comme ayant rigoureusement la même valeur numérique dans le cas delà compression que lesqaaatilés e dans le cas de Pextension. lien résulte qu'un m6meefrort±P appliqué à un même prisme dans la direction de sa longueur , fera varier sa longueur primitive L de quantités + c r=iq= e absolument égales, mais seulement de signes contraires, soit qu'il tire, soit qu'il refoule ce prisme, aussi longtemps du moins que la limite commune d'élasticité n'est pas atteinte.

1 1 . Enfin, le module ou coefficient d'élasticité G relatif à la com-

{ pression a conséquemment pour la même substance, la même va* eur numérique que le module d^élasticité E relatif à l'extension ;— de sorte que, selon le sens de l'action, E représente dans cette théorie, tantôt le poids qui allongerait de un mètre par mètre un prisme de un mètre carré de section, ou qui doublerait sa longueur primitive, tantôt le poids qm Refoulerait ce même prisme jusqu'à le réduire à un plan géométrique sans épaisseur, en supposant tonjours que dans toute l'étendue de ces déformations, les variations de longueur puissent restcrpropor/ionneff^s aux efforts.

Ces hypothèses admises, on résout assez facilement les problèmes qui suivent et qui supposent tous que les efforts extérieurs sont toujours assez faibles pour que l'élasticité du solide ne soit point altérée.

12. Je prendrai ici pour guide le résumé de la théorie de la résistance des matériaux, tel à peu près qu'il a été donné par M. B. Moseley, dès 18^3, dans ses Mechanical principles of engineering. On pourra y remarquer quelques tours heureux de démonstration, et une grande généralité. Je regrette beaucoup que le cadre restreint de mon livre, et surtout que l'incertitude qui plane sur cette ingénieuse théorie depuis la publication des belles expériences de M. Hodgkinson, ne m'aient pas permis d'exposer tous les développements originaux et les applications intéressantes du savant pro-^ fesseur Jlfo5e7<?y.

QaaDt au food de la Ihéorie^ on sait qo^il est le produit successif des travaux d'une série d'hommes illustres qui commence à Galilie, Hooke, Leibnùz, Mariette et finit aux Bemouilli, aux Coulomb , aux Lagrange, aux Poisson, aux Navier et aux Poncelet.

13. Déterminer rallongement ou le refoulement total e que subit sous un effort P, tin prisme dont la longueur et la section primitives, sont L et A.

Allonger (ou refouler) le prisme de e, c'est donner à chaque mè-

tre de sa longueur un allongement - ; ce qui exigerait (§ 11) un

JLi

effort égal à r* E si le prisme avait une section de un mètre^ et exi-

JLi

géra un effet A ^ E^ puisque la section est A mètre (§ 6) ; donc

14. Déterminer le travail T nécessaire pour allonger (ou refouler) de e, tin prisme dont la langueur et la section primitives sont L et A.

La proportionalité admise entre les extensions et les efforts (§ 3), indique évidemment ici des efforts successifs qui augmenteront avec le chemin déjà parcouru par l'extrémité du prisme; soit donc x une partie de l'allongement total ou du chemin total e parcourue par cette extrémité à une époque quelconque, l'effort nécessaire pour rendre l'allongement x permanent est d'après la formule (3)

= — = — ; le travail élémentaire de cet effort est évidemment

le produit do celte quantité par le petit chemin dx et le travail total T dépensé sur le prisme est la somme de tous les travaux élé« inentaires accomplis entre x=zo eix=:e donc

Ainsi le travail est proportionnel au volume AL du prisme et au carré de son allongement par mètre.

15. Substituant dans cette expression la valeur (3) de TefTort P qui suffirait pour maintenir d'une manière permanente l'allongement e du prisme^ on a encore :

^ AEe« AEe e Ve ... . . ^

T=-- — = -—-- = — kl logrammètres. • . . (5)

ÀLi Là À ^

ou^ en mettant à la place de e sa valeur en fonction de P (3) :

P, PML