ain. 2 A =2 sio. A cos. A = 2 sin. A sin. (9a« — A

cos. 2 A = cos.»A — sin.«A = 2 C08.»A — 1 =: 1 — . 2 sin.«A

taDg.2A = 2lang^ ° 1 — tang.^A

cotang. 2 A = J (coUng. A — tang. A)

sio. 3 A :=3sin. A — 4sin.>A

COS. 3 A =4 COS.» A — 3 cos. A

tang. 3 A = 3 Uog. A ^'tang.' A ® 1—3 tang.» A

siD.(m + i) A = 2 cos. A sio. m A — sin. (m — 1 ) A

co8.(m-f* l)Azz 2 COS. A cos.m A — co8.(m — 1) A

sio.JA =|^iz:Çî:àj 2sin.»U = l-coi.A

cos.U =:^1±^. 2cos.nA = l+cosA

tang.U=, f'°'^ , - ^ -^ ^^^'.4 - I /1-cos-A l + cos,A sio. A "" |/ 1

-f- cos.A

GÉOMÉTRIE ET T&IGONOUÊTRIE (M). 863

, , . sin.A 1 + C09.A ^ * f »

col. \ A =: 3 T- 13 — i-ï — r — zz coBéc.A + cotanc.A

' 1 — C08.A Bin.A ' '*

• 1 — C08. A tang.» J A

sin.A + Mii.B = 2 sin. i (A + B) co». J (A — B) sio.A — sin.B = 2 cos. J (A + B) sîn. i (A — B) cof.A -|- C08.B= 2 C09. J (A+ B) coa. J (A — B) coa.B — COS. A ^ 2 sin. J (A + B) sin. ^ (A — B)

. , , ^ sin, (A + B) sin.A C09.B + sin.B COS. A

tang. A + tang.B =: ; ' .r =: r 1>

^ ' ° cos.A C08.B C09.A cos»B

. ^ sin. (A — B) sin.A cos.B — sîn.Bcos.A

tang.A — tang.B zz ^i =r = r b

° ^ coa.A coa.B cos. A cos.B

col.A + cot.B = r- i^ + ^J

siu.A siu.B

,. .„ sin. (A — B) sin. (B- — A)

cot.A — col.B=: 1 — \ — : — sr^sr-T — v--t — sr

sin.A sm.B sin.A suj.d

lang.A± col.B = ^ . \^ ^

° cos. A «m. B

* A -i- . » COS. (A zr: B)

cot.A ±: lang.B= — t — ; ^ .;

° sin.A cos.B

sin.A + si'ï-K tang. i (A + B) , ^ . . ,v.

MO.A - ,in.B = t4i(A-B) = '«"e- ^ ^^ + B) co.ang. HA - B)

«n.A + ,in.B ^^ co».B - co,.A

co8.A-|- COS.B ° ■ ^ ' ^ sin.A — sm.B

sin.A + sin.B , ,. „,

T-^^^ 5 =z — col. |(A— B)

COS. A — cos.B '^ ^

sin.A — sin.B ^

co8.A-|- cos.B S* » V ;

sin.A — sin.B , , , , ^

co.. A -co».B = ^ *=*>*• '(^+B)

sin.A — sin.B , ,^ .

5 r= cot. 1 (A 4- B)

cos.A + co8.B ^ cot. i (A+B) séc.A + séc.B

co».A — cos»B tang. HA — B) séc.A -^ séc. A

z= — cot. J (A + B) cot, 4 (A— B)

cotB + cot.A cot.B — col. A

tang. A + tang.B , sin. (A + B) .

tang. A — tang.B «in. (A — B) '

sin. (A + B) __ C08. t (A + B) sin. A + sin.B cos. î (A — B)

sin. (A + B) __sin.KA+B) sin.A — sin.B sin. J (A — B)

(N). Résolution des triangles rectiUgnes.

i . Principes j et formutes générales. — Dans tout triangle reetiligne quelconque 1® les sinus des angles sont comme les c6tés opposés à ces angles ; 2« le rayon des tables éunt supposé = 1, le carré d'un côté quelconque du triangle égale la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de ces mêmes côtés par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent ; §0 la somme de deux côtés quelconques est à leur diiïérence comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de la demi-différence de ces mêmes angles.

,uw^ ww.- par la tangente „ . . .

Ces théorèmes sufGsent ^ la résolution de tous les triangles rectilignes, et les formules qui suivent en sont la traduction algébrique

2. Triangles rectangles. Soient donc en général b la base, h la hauteur, l l'hypoihénuse d'un triangle rectangle, et B, H, L les angles respectivement opposes à ces côtés , on

lzz\/ h*+b*:=zk séc. Bzzôséc. H

JU

h cos.H= Acolang.H = l^l^ — fc» = A tang.B

6 Ung.H = L sin.H = L cos.B = \/¥^^=V {l-\'b){l^b)

cos.B :z: sin.H := -r

co8.H'= sin.B z= Y

„ b tang. B = colang.H z= ^

/ — 6 = ^lang. îH l— fc=6Ung. }B

On pourra s^exercer à résoudre ces triangles à l'aide des valeurs numériques qui suivent.

log. l = 1 .7553030 log. b = 1.6583930 log. h = 1 .5334543

L = 90o B = 53«,7',48''4 H = S6%52',lt",6

fïËOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (N). S65

lûg. (sÎD.B =cos.H) 9.9030900

log. (COS.B = sio.H) 9.7781512

log. (tang. B = cot.H) 10.1349389

3. Triangles obliquangles, DésignaDt par A, B, G les angles de l'un de ces trittogles, et para, 6, c les c6tés respectivement opposés à ces angles, on a directement, en partant des principes 1 et 2»

y ' stfi.B sm.G

asIb.B csin.B

r sin.A sm.G

asÎD.G 6sin.€

sin.A sin.B

l«r ^1 ^e cas, Ges équations résoudront en général les cas où l'on connaît soit deux angles et nn cl^xé, soit deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux ; toutefois, pour ce dernier ces, comme l'un des angles cherchés pourra n'être déterminé que par un slaus, et comme un sinus correspond à deux arcs supplémentaires, il y aura deux solutions, à moins que l'énoncé ou les couditious de la question rendent l'une d'elles inadmissible.

3« cas. Si Ton ne connaît que deux côtés et l'angle quUls comprennent, 6, c et A, par exemple, le troisième principe donnera immédiatement la relation

iang.i (G^B) = î^iing.i(C + B) = ^-^cotang.>A (*)

or

et lûsant — q~^ = \ différence = } (i, il vient

C = 4f+i<l et B=:if~id

4* cas. Enfin, si l'on ne connaissait que les trois côtés a b c,ott trouverait un aasle quelconque, A par exemple, par l'emploi de la formule suivante qui se déduit du second principe, et dians laquelle on fait le périmètre a-\-b-^c, do triangles: 2 p,

(*) On peut remarquer que l'on aurait encore (M. — 47)

c— 6 sin. C — sin. B = —r—. (sin. C + sin. B)

et que, en général, dans tout triaofile rectiligoe, la somme de deux e6lés est à leur différence, comme la somme des sinus des angles opposés à ces côtés est à la différence de ces sinus.

.,„. 1 â I /(p-fe)(p-c) UDg.4A J/ p^^j

On aurait encore, en remarquant que les deux segments a; et y de la base à sont déterminées par

iP + y^^^ ^^

on a

cos.A = îf; C08. C = î; BzzlSO*» — (A + C)

Soient, pour l'application numérique de ce dernier cas,

2 p = 58074^.905 p = 29037".i525 . . log. p = 4.4629585

(p— a) = 10906«.8235 . . log. (p— a)= 4.0376983

log. R* = 20.0000000 compl. log. b . . 5.6128772 compl. log. e . . 5.8080106

iA=23%59',15" A=: 47o,58',30"

log. cos.^A.. 19.9215446 log. cos. i A . . 9.9607723

On pourra s'exercer sur tous les aulres cas, en supposant alternativement connues trois des données suivantes, et en cherchant les autres. Ce triangle d'épreuve appartient à la Géodésie de Francœur.

Triangle obliquangle d'épreuve.

Côtes a « 57.770 b « 71.577 c« 87.811

Angles.

log. 1.7617024 log. 1.8647735 log. 1.94354^9

log. sin.

log. p » 2.0357459 log. (p— a) = 1.7059406 log. (p— 6) = 1.5682252 log.(p—c) — 1.3173947

log. cos.

log. tang.

4. Voici quelques formules générales, au moins curieuses, données par M. Noël, eu 1822;

Dans tout triangle rectiligne, on a :

tang. A + tang. B+ tang. C = tang. A lang.B tang. C

tang. 2 A+ tang. 2B -f tang. 2 C = tang. 2 A tang. 2 B tang. 2 C

tang. î A +lang.lB-- coi.èC =— tang.iA tang. l B cot. K

cot. i A + cor. J B-f cot. J C =» cot. } A col. iB cot. J C siD. A -|- sin. B + sin. G <» 4 cos. 1 A cos. \ B cos. i G 8iD. 2 A + sÎD. 2 B + 810. 2 G =: 4 sin. A sin. B sin. G sin. 2 A -f sin. 2 B — sin. 2 G « 4 cos. A cos. B cos. C

(O.) Résolution des triangles sphériques.

1. Dans le triaDgIe sphérîque A B G, les angles plans du iriêdre S sont mesurés par les côtés a, b, c, du triangle et les inclinaisons des faces sont mesurées par les angles respectifs A, B,G de ce triangle.

2. On ne considère en général que les triangles sphériques formés par des arcs de grands cercles moindres chacun que la demi-circonférence \ on a donc

chaque c6té< iSù^ et chaque angle < 2 droits ,

et partant de cette convention, les si- DUS» tangentes, cosinus, etc. ne peu^ vent appartenir qu'à des arcs < 180<*.

3. La somme a -|- 6 -f- c des trois c6tés de tout triangle sphérique est < 360* ou < la circonférence d*un grand cercle.

4. La somme A-)- B-f- G des trois angles est toiyours comprise entre deux et six angles droits.

5. Un c6té quelconque d'un triangle sphérique est plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence j et ^ est touxours

>• qu'un côté quelconque.

6. Dans tout triangle sphérique, le plus grand angle est opposé au plus grand côté, l'angle moyen au côté moyen, le plus petit angle au plus petit côté.

7. Deux triangles sphériques, tracés sur une même sphère, sont égaux : i^ lorsque les trois angles sont égaux ; ^ lorsque les trois côtés sont égaux ; ^^ lorsqu'ils ont deux côtés et Tansle compris égaux chacun h chacun ; 4« lors* qu'ils ont deux angles et le côté adjacent égaux chacun à chacun.

8. Deux triangles sphériques, tracés sur des sphères de différents rayons» sont semblables : i^ lorsqu'ils sont équiangles ; ^ guand ils ont les côtés homologues semblables ; 3<* lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés homologues semblables.

9. On a entre les côtés et les angles d'un triangle sphérique les relations suivantes :

10. Equations fondamentales (le rayon de la sphère étant 1), on a

cos.aaa oof.5 coi.c-|-co«. A 910.6 sio.e ; i eof. A =

cos.ftsaoos.a cos.e -{-eos.B sin. a sio.c; ( coi.B

cof.caBcoB.a6os.6-|-cos.G sin.aim.fr;! cof.G

oos.a — oofl.6ooi.e\ coi.A4-co9.Boof.C

001 .a rtln.b siD.o

cos 6-— eos.aeo9.o'

sio.asin.e

oos.e— cos.acos.b

sin. asin.fr

cos.fr

cos.c s*

siB.B sin .G

cos B-ïf-cos.Aoos.G

sin. A sin.G cos.c -f-<^'-^<2M*B

sin. A sin.B

Ces équations permeuent de résoudre m triangle sphériqoe dont on connaît irais parties (plus le rayon de la sphère). On remarque que le sinus et le cosinus se déduisant Tun de l'autre ne doivent être considérés que comme une donnée.

11. On déduit de ces équations fondamentales ce qa*on nomme la règle ou proportion des quatre sinus, savoir :

sio. : sio.B : sin.C :: sin.a : sin. b : sin. e.

sin. A sin. a sin.A^ sin.a, sin. B ^ sin. b sin75"*6in. 6' sin^C"" sin.c' sin.C "^ sin. c

relation qui enseigne que les sinus des angles d'un triangle sphMque soM proportionnels aupD sinus des côtés qui sont opposés à ces angles,

12. Formules des triangles rectangles. Soit C l'angle droit, on a

cos.C=0, sin.C «I,

d*où résulte «os. c ^ cos. a, cos. b,

qui substituée dans les deux autres donne

cos. A =

COS. B

sin. b cos. a sin.C

sin. a COS. 6 sin.C

el

sin. c sin. a sin. b 1 '^ sin. A ^sin.B

\% En combinant ces diverses valeurs entre elles et y faisant les substitutions connues, on obtient les (brmuJes suivantes qui donnent la résolution des triangles sphériques rectangles.

2Vtan^<« sphérique rectangle en €, ^

On emploiera les dernières formules lorsque les arcs seront très-petits et exprimés par des cosinus, ou voisins de 90^ et exprimés par des sinus.

ÊTANf DOmiÉft

LeseètéB l^ qui comprennent G ou f fr

rhypot. c

les angles l ^ adjacents ) è I rhypot. f B

eus. c SB COS. a COS. h

tang. A

tang. B

tang a sin. 6

tang. b sin.a

GÉOMÊTBIE ET UUGOMOHÉTHIE (O). 86»