IMAGINAIRES. - IMPULSION

(o ±: y^^y = o» — 3a*±(3o»:pi) v'"^^

On trouverait encore

— == = — |/:rï; (/i+t/6)(l/5^v/t) = a — fr

o 4- * l/tlT o« — *• + 2 a 6 l/^

IMPULSIOIV. Expression longtemps employée dans le langage* de la mécanique dans divers sens pea nettement déGnis.

Les géomètres du dernier siècle, qui admettaient des forces instantanées (pag. 777), appelaient tmpu/ston la /brce d'un corps agissant sur un autre avec une vitesse finie, pendant un temps infiniment petit ou au moins inappréciable. — Un coup de marteau, par exemple, était pour eux un choc instantané^ et dès lors pne impulsion et même line force d'impulsion.

Poisson^ dans ses derniers ouvrages, reproduit et accepte celte définition du mot tmpubtoh, avec cette restriction toutefois auMI n'admet point l'instantanéité de la transmission. — Le -choc a^an corps solide en mouvement contre un corps solideren repos, dit-il, imprime à celui-ci dans un temps très-court, mais non pas infiniment petite une vitesse qui peut être quelquefois très*-grande, et pendant cet intervalle de temps, les dçax corps ne se déplacent pas seamblemept. a Celte communication rapide de la vitesse sans déplace- (( ment sensible des masses, est ce qu'on appelle une percussion ou (( une impulsion. Elle équivaut à une force motrice agissant, pendant a un temps très-court avec une très-grande intensité. »

F étant une force constante, df la durée infiniment petite de son action supposée instantanée, ou t la durée très-courte, mais non pas infiniment petite de cette action, la force d'impukion des anciens géomètres serait donc = F d/, et, suivant M. Poisson, Vimpulsion serait F t.

Beaucoup plus récemment, Bl. Bélanger a. proposé, le premier je crois, d'étendre le sens du mot impulsion au produit de Tintensitô d'une FORGE par la durée de son action, quelle que soit cette durée. Supprimant le mot force devant celui d'impulsion^ cette expression impulsion ne signifie plus rien autre chose que le produit F^, si la

force est constante en intensité et direction , ou l'intégrale /F dt , si

la force est variable d'inteosité entre les limites de la daréc de son action. En ce sens, l'éqnatioD (23) da mot Force, pag. 785^ on

intégrée entre deux vitesses et les temps correspondants montrerait qae ;

La variation de la guantiié demouvemeni e$t numériquement et algébriquement égale à Tihpulsion dans le même tempe.

Cette définition de VimpuUion paraissant devoir être définitivement admise dans le langage de la science, nous nous y conformerons dans tout le cours de cet Aide-mémoire.

INDÉTERMINATION^ valeurt des escpreuiona qui deviennent

On a vu (Equationê) que lorsque le calcul d*une inconnue y conduisait à un résultat de la forme y = ;: ; ce symbole était un symptôme dMndétermination. Toutefois, avant de conclure que y a^ en effets une valeur indéterminée, il faudra examiner avec soin comment on est parvenu à cette valeur •-, et en particulier rechercher

si cette forme n^est point le résultat de la disparition d'un factear comman aux deux termes d'une fraction par^ulte d'une ou de plu« sieurs hypothèses faites sur les valeurs des lettres qui y entrent. Voici quelques régies qui dirigeront dans ces recherches, et qui fe« ront connaître la vraie valeur de y. Soit eu général

f(Xja,b, . z)

la valeur dey; le numérateur et le dénominateur désignant des FOiccTioNS ou dos combinaisous quelconques fj ¥, des quantités x, a, b. . z^ on démontre que :

Si deux ou plusieurs hypothèses différentes, telles, par exemple, que a=:x et b = z réduisent le numérateur et le dénominatettrJt xéro, la valeur de y est réellement indéterminée 5

Que, au contraire^ si c^est une seule hypothèse {x=ia, par

exemple) qui réduit la fraction à la forme -^y y ^ toujours une valeur déterminée qui peut d'ailleurs être nulle,, finie ou infinie. Soit, pour exemple^ la fraction

944 INDÈTERBDNATION.

P et Q étant des expressions en x qu'on admet n'être pas nulles pour une mômeTalenr de x. Si Ton suppose xzzza^ il vient

''~QXO~0

mais celle indétermination n'est qu'apparente, car, si antérieure^ ment à Thypothèse^ x=za,on divise les deux termes de la fraction par le facteur commun qui porte le plus petit exposant, Pon trouvera suivant que

!/= — K — y—-ir- y=

valeurs qui, pour Phypothèse x = a, deviennent déterminées^ et respectivement ceUes*ci :

y = — = zéro y = —^ y ==r — = oo = I infini

Cela posé, pour trouver la vraie valeur des expressions qui, pour rhjpothése a; =1= a par exemple, se présenteraient immédiatement

sous la forme -r- , supposez un instant que x =:a -f-£, ce qui revient

à transformer le binôme x — a en un monôme k qui le met en évidence. Substituez dans l'expression donnée, à la place de Xj sa valeur hypothétique a-^k. Développez (voyez SértVs) suivant les puissances ascendantes de A; le numérateur et le dénominateur. Réduisez la fraction résultante à sa plus simple expression, et pour revenir à l'hypothèse xz=za, faites alors kz=zo dans le résultat, et il expri** mera la vraie valeur de la fraction proposée, lorsque xzzza.

Exemples. Soit y = . On demande quelle serait la valeur

de y si âP devenait =: 1.

On poserait x= i -{-k, i\ viendrait y zn - — ^7" , dèvelop* pant, il vient

réduisant, divisant ensuite haut et bas par k, puis faisant k:=:2 0, il vient

y = = n lorsque x r=, i

M. JC

T" II est évident que la même hypothèse a; = 1 conduirait au

même résultat si Ton avait v = 7.

3« Soit à trouver la vraie valeur de d = e4- ^ | — • dans

rbjpothése particulière où Ton veut faire /^= 1 (pag. 562).

Supposons /*=: i-^ k, quitte à faire plus tard k=zo. Il viendra

f—i^ l + Jfc — 1 k

/i-i — (t4.A)i-t — -i + (i+ft)i

développant (1 -{-kj d'après la formule du hinôme {voyez Sén'ei) , il vient

— 1 -f- * s^ détruisent j divisant haut et bas par k, il vient

faisant ii =: 0 pour rentrer dans rbjpothése /*=: 1, la dernière expression devient — , et^ par suite, on a la vraie valeur

dz^e-f- {ay — m) 'z=: e -j lorsque fz= 1

40 Soit encore y =^|l±|fl=^ si Ton y suppose x = c, on trouve en suivant la règle ci-dessus y =TT-a > ^' ''^° faisait alors

k=:o, il viendrait t/ = -- ; mais on ne se serait point conformé

au procédé ci-dessus qui prescrit de réduire la fraction à sa plus simple expression avant de faire kz=zo. En s'y conformant

strictement^ on trouve y = --^ et c'est la vraie valeur de l'expression ci-dessus dans Phypothèse x=zc, on voit que k a disparu de lui-même.

De même y = j ; — - — • devient pour x:=za