X ^"^ CI

y = ;;: — r^ o« **ro

Et dans la même hypothèse a? = a, on a poor

aj* — a" y z=: V = *

On trouverait encore V = 00 si l'on supposait xz=za dans t/ = —- — :

y = - j si l'on suppose c = d dans y = /

car faisant c = d -j" * > '® radical devient |/d« + d*=s d + J * + A* S S étant une série donnée par l'extraction continuée de la racine.

y :^ i ^^ devient y = \/ Tô* dans l'hypothèse xzn a

!!tT""^.!1"^r devient m (1 +aî)">-* dans l'hypothèse x=:y

Si Ton demandait ce que devient y z= dans Thypothèse

deâp = o, on pourrait être embarrassé pour appliquer la règle. ' Il suffirait ici de développer a' et h^ en iérieB, il viendrait

. a>(log> g) . a?' (log. a)« a?»(k)g.o)» . "^ 1 "*" 1.2 "'1.2.3"*"

. X (log. *) x^ (log. 6)» «' (log. hy ~ ~ 1 1.2 1.2.3~

réduisant, divisant haut et bas par x^ puis faisant xz=zo^ il vient

log. a — log. 6

le logarithme est naperien ou hyperbolique. Enfin ^ on trouverait encore

M I î r^** ^a j 1 — sin. « -f- COS. jî

V = 1 lorsqu'on fait a? = 1*» dans y = -;

^ . " nm.X'f'COB.x — 1

y= Y a quand on fait a? = a dans y = —^ / —

w = — 1 lorsqu'on fait x=i dans v = "^^+ <^S:jL

V = — a si Ton fait a; = 1 dans y = r r-t

^ "^ 1 — aï + log. X

y = — rrr Si Ion fait « = a dans y = =

y= — 1 ëi Ton Fait x:=i:adaiisi/ = ==— -

a — y^ax — X* ^ . p r .. 1 (aj — c) |/'aî— 6+ V x — c

y = 1 SI 1 on fait « = (? dans y =

y = I si Ton fait x=a daiisy = K(^'- aT + ^-^

«»— 4aaî«4-7o«a?--2a»— 2a«V/2o»— a« y = — 5 a 81 Ton fait x'na dans y rs !---__— —-—--^—

«• — 2aa? — o*+2aJ^ Sort— «*

Il y a des eipressions qui semblent an premier eiamen prendre^

en yerta d'une hypothèse^ une forme différente de --- , mais qui se

traitent cependant de la même manière que les précédentes^ parce qu^en ciïet elles n'en différent point au fond.

Ainsi P et Q étant des expressions qui renferment x* et a > il peut arriver que Thypothèse x=a), par exemple > rende P = o et Q = 00 • Si P et Q étaient multipliés entre eux, on aurait donc P X Q = 0 X » • Mais si Fou remarque que le facteur Q = od

peut éiro mis sous la forme - , on alors P X Q = -• On cherchera

donc à ramener de semblables expressions PXQ = OX<» ^l&

forme - ^ en faisant Q zi= -^ ^ R étant nul lorsque a9=a.

Ainsi, si l'on demandait la râleur de

(1 — x) tang. \'nx

lorsque x = 1 , le premier facteur deviendrait 0 dans cette hypothèse, et le second oo puisque la tangente de }t est infinie, mais

remarquant que, en général, tang. = ., on pourra écrire

Texpression ci-dessus sous la forme

qui traitée comme ci-dessus deviendra = - dans l'hypothèse a;= 1 .

Si l'on était conduit à - = — ; cette expression équivaut à

-=-- = -; on donnerait à P et à Q la forme —, R derenant

Ô nul pour rhjpothèse en question , et Ton traiterait le résultat comme ci-dessus.

Soit, par exemple,

tang.(^)a(x«-a«) ^ ^ ^•«S- (î S p'

; qui revient à : = —

a(jB»— a*)

l'hypothèse a; = a semble donner — z=: — , mais si Ton met — -

^ . 00 col*

au lieu de tang. ^ on a — ^ ^ qui. traitée comme ci-dessus,

donne — = pour x •=:a.

Enfin, si Pon tombait sur P — Q = 00 — 00 en vertu d'une hj-

pothèse sur une valeur de x, on remarquerait que celle expression

peut provenir deP — 0==^ » c'est-à-dire que P et Q sont

originairement des fractions dont les dénominateurs sont devenus zéro par suite de l'hypothèse. On les réduirait donc d'abord au

môme dénominateur, et le résultat qui, pour la même valeur de x

aurait la forme - serait traité comme ci-dessus.

Ainsi X tang.â? — ^ ic séc. x devient, pour l'hypothèse x-=. 1^>

x%\iï,x — J Tt 0 . ... a?co8.a5 + 8În.«

— = - qui traitée donne . = — 1 .

COS. X

On remarque que lorsque le symbole - ou 00 = l'infini entre

dans une expression, on n^lige vis-à-vis de lui lous les termes finis avec lesquels il se trouve combiné par addition ou soustraction, l'infini ne pouvant logiquement être augmenté ni diminué par la présence de termes finis. On pent aussi diviser par 00 le numérateur et le dénominateur d'une fraction, mais il ne faut pas oublier

que la difTérence de deux infinis peat être une quantité finie. Soit supposé a" = OO"" dans

tang. a-\' tang.a"

^ 1 — tSDg. a taug. a"

à cause ie tang. a" = oo = - , il viendra y z=z

0 "^ — 1 tang. a

INDCGTION. Vtnduction conduit parfois à la découverte de la loi qui régit un phénomène, ou qui lie une série d'expériences, mais ce moyen d'investigation égare le plus souvent, et les résultats auxquels il conduit doivent toujours être contrôlés et vérifiés.

Fermai, dirigé par Vtnduction, avait conclu que deux, élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec Punité un nombre nécessairement premier. Ainsi â'-f- 1 = 5

nombre premier — 2* -[-1=:17 nombre premier. — Il trouva encore que la loi était vraie pour la huitième et la seizième puissance de deux augmentée de Tunité, et cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques^ lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant la loi cesse d'avoir lieu pour la 32' puissance de 2 qui, augmentée de 1, donne 4294967297, nombre divisible par 641.

L'induction avait également conduit Fillustre Bacon à une démonstration de Vimmobiliti de la terre.

Voici un autre exemple numérique bien propre à montrer qu'une

loi; qui se manifeste dans les premiers termes d*un résultat, peut

531251 changer un peu plus tard. Que Ton réduise en fraction dé-

cimale, on trouve 0. 17 17 17 49 49, etc., dont la véritable pértWe est 49 et non 17, comme on aurait pu le croire par induction.

Encore un exemple tiré de la théorie des séries

ce» quatre premiers termes semblent bien annoncer une progression par quotient dont la raison est 2x. Cependant il n'en est rien, et les termes suivants, à partir du 5*, deviennent

— 15x* + :c5-f-2a;** + *^'+- • • Si l'induction égare le plus souvent, il n'est pas sans exemple qu'elle ait conduit h d'heureux rapprochements.

Bode ayant cherché si les distances des planètes au soleil ne se succédaient pas suivant quelque loi régulière, imagina de porter sur une droite, à partir d'un point 0 pris pour origine, les distances ou abscisses x exprimées par la progression géométrique