On aurait de même

y ^ = »»y -^==mlog.hyp.:i: + C = log.hyp. f^j"

en faisant la constante € = — miog. hvp.c, car rien n'empêche de mettre une constante sous la forme d^un logarithme, d'un sinus ou toute autre. On voit d^ailleurs que :

24. En général, toute fraction dont le numérateur est exactement la différentielle du dénominateur a pour intégrale le logarithme hyperbolique de ce dénominateur. . Si le numérateur est cette différentielle exacte multipliée par un nombre constant, Vintégrale sera h même logarithme multiplié par ce nombre constant, donc

= log. hyp. (a -j- x) +• constante

/bdx -^ = 41og. hyp.(x±a)

INT£6ftALES. M5

/aix a /* bd» a . , / , , .

H^ ="6-7 s+t; = 6 '««f- '•yp- («+ **)

= Iog, bjp. (a-\-hxf

fjéçi^* =^f-^^i, = - i '««• »>yp- (î+*)

S5. Certaines .exprçadons qui n'apparaissent pas d'abord sons la

forme générale peuvent 7 être ramenées par des artifices que

suggère Phabitadë de «e genre de cal^. Exemples :

/ix /• do) rx+yx'dba* y x*±a* ~*y y x*ztd' L« + 1/ a« ± a«^

Or le Bomérateor qui se rédait i xdx (0^ dt a}) ^-|- dx est exaclement la différentielle du dénominateur; donc

et si Ton supposait que l'intégrale dût s'éyanouir pour â? = a^ il viendrait 0 = log. hyp. a -{- G ou C = — log. hyp. a

/Ait — i— — ^—

p=^= = log. hyp. [« + 1/ a:» ± a»] — Iqg. hjrp. «

=iog.hjp.[î+(/î:-ii

^$6 INTëGHàLES.

S6. On Irouvcraii encore

=-i..,.h,p.rt±t^i?j

27. La méthode des coeffii^ènii indéierinmés facilite souvent les Iransformatiçnsi nous en rappellerons l'esprit en l'appliqoant à oo exemple : ,

dsD

Soit proposé d'intégrer ^^ ; ; remarquant que le dénominateur

peut se décomposer en deux Facteurs inégaux (a-f-^)(<> — se), faisons

dx Adx .Bdx

a»—. a:* a+rc "" o— -a?

À et B étant deux coefficients jusqu'ici indéterminés, et dont nous allons chercher la valeur. Réduisant les deux termes du second membre au même dénominateur^ il vient

dx [Aa— Air + Ba + Ba;] da?

o« — xc* "" a* — x*

Supprimant le dénominateur commun , divisant par dx et transposant tout dans un seul membre , on a

l + ÀJi: — Aa— Ba? — Ba=0

or^ cette équation devant avoir Ifeu, quelle que puisse être la valeur àe X, il faut que la somme des termes qui multiplient une même puissance de x soit égale à zéro ; on a donc à la fois

i— Aa — Ba=:0 et A — B = 0

tirant de ces deux équations les valeurs des coefficients A et B. il

vient A = — et B = — de telle sorte que l'on a à intégrer

— TT-dx 2a

r àx ^ f\hlL-ZÂ

J a» — JP* ^ [a+« a-

a — X et l'on obtient, conformément à la régie

— log. hyp. (a + jp) — — log. hyp. (a — x) =