TT X

= log. hjp.lang. Ij + ^

y* dx p dx (co«é<-. X 4- cotang. a?) sîii. « j/ sin. * (coséo. iP + cotatig. a?)

— — log. hj'p. [colang. oc -f coséc. x\ = log. bjp. tang. àx lang. a- = ^ J ^^^ ^ =— log. hyp. [cos. xj fdx rang.^Jp = / dx [séc.^o: — 1 j = lang. x ~ œ f dx cotang.^ = log. hyp. (sin. x)

ydx /*dx%éc.'^x , . r -. zzz, I r= log. fivp. lanff. x\

sui.*xcoà.»a: J [cos.*a; êia,*xi ° ^

INTEGRALES. 99S

/d X COS. X i

/dx f àx j

vin. ver». x J 2 sîd.* \x ^* "*' •

48. Od intégrera encore les expressions snivanles à l'aide des (ransformations indiquées.

/àx f bdx I r «|/ïl

J o+6«« ~y a + bx^"^ ^bj a+bx*

/<<» 1 r—amâ» 1. ,

Scd^i;

ac-^46oj?-|-4c*dr*

y (2cjî + 6)« + 4ac-6«~VÎ:ï7=T»"^r"^ V/4a«-H

Ce résaUat suppose 4ac>4*, et deviendrait imagipairc « i Ion ayaît 4ac<6*, on aurait pour ce dernier cas

dl^nx+b]

(ica? + 6)« — [6> — 4«c]

log.hjp.

y (a?+a)(ar+6) a — 6^ ^ "^ [a- + ft x + aj

*9. Les expressions suivantes, bien qui) irrationnelles, peuvent *lre transformées de telle sdrie qu'elles >^e viennent intégrabics ppr l«5 méthodes élémentaires que nous avons cxpos<?cs.

= p7y log. hyp. [bx+^a + Vb{aœ + bx^]

/xix i /^lZ J^ y ax—bx* yij yabx-^ïn?

= — T V^^*^ — éâir -t- gTjTp arc tsin. verse. = — J

50. EnBn, jeréuDiscDooreici uoe série d'intégrales propresàexercer Ie9 jeunes ingénieurs à Femploi des méthodes précédentes, ainsi qu'aux artiBccs de calculs les plus féconds.

/ xdx Va + a: = / rfa? [a -}- a: — a] Va + x

= ^^(«+^)'— J« V{a + xy f dx fdx{\/TT^ — Vx)

<to(o^x) (6-x) - — — (a-6) (6-a?) -— - (6-»)

/*da? (oî» + a) 1/ a;» -f. 4 a =| x V {x^ + 4o)*

fx^-'A X (a»-f. ar")''= /^a?°-'rf a? (a"+ a-— a") (a°4- a-)

/xds i r . ««1 . = - arc siD. = —

/'-==i^==== 2 arc. [sin. = \/^] J ï/ (1 - ar) (as + 2) [ |/ 3 J

J X J xyafl—a* J [J/a!»-a' «J/as'-a*]

= K /r* — ô^ — a X «rc. séc. =-

/éx « , . Vx

xy/TTi = 17^ *^»' ""JP" i/â + Va-t-a:

j^<Mkfl

H" / . ^ rA an — etc. + constaote.

51. IfUigraHcn des différentieUes logarithmiques et exponentielles. Soit à intégrer la différcDtielIc logarithmique Xdâ? log. hyp. x, I étant ane fraction de x.

Faisons y = log. byp. a; et dx = X(la;, i! viendra / X(2d?log.hyp.ar = / ydzz=iyz — / xdy

= log.hjp.g? / Xda: — J z — donc l'intégrale de la quantité proposée se réduit à celle de X dx et

àx /^

i»-^ i Hdx que Pon poarra quelquefois trouTer par les régies précédentes.

Si X = aî" , on a f \dx =g = — — - •

z —— . , . ■ d'où X (n + 1)»

J'x^dx log. hyp. X — j^ l^log. hyp.o: — -i-J et si n était = — 1 , il viendrait J~ log. hyp. X =J\o%. byp. «d.[h)g. hyp. «]= j(log. hyp.*?)*