On aurait de même
dx
X log. hjp. X
= log. hjp.[log. Iiyp.«]
dx 1 1
X [log. hyp. a?]" (n — 1; ^^ (log. hyp. j?)"~*
dx (0 + * log. hyp.flP)" [a + ^ log.hyp.ap]"+*
53. Quant aux quantités exponentielles, je ne puis donner ici iPaulre règle que de les décomposer, sMI est possible, en deux iiau:leurs, dont Pan soit la difTérenttelle du logarithme de Tautre» ou en soit une partie constante; on divise alors par la difTérentielle do logarithme de ce second facteur. Ainsi :
q?^ 1 dy log. hyp. x -{- ^ — est intégrable^ parce que la parenthèse
est la diiïérenlielle de y log. hyp.x qui est le logarithme de x^ On a donc pour intégrale de l'expression ci-dessus
afl\dy\Q^.\vj^,x-\-- —
d[log. hyp. «T]
54. On emploie souvent, pour ces intégrations^ le nombre e=2 . 71828 .. base des logarithmes hyperboliques, et dont le logarithme est i, de telle sorte qu^unc quantité quelconque dbjs peut être considérée comme le logarithme hyperbolique du. nombre « élevé à la puissance marquée par cette quantité
±z= log. hyp. [e±*] = ±z log. hyp.*
il en résulte des transformations qui simplifient parfois tes expressions à intégrer. Nous ne pouvons nous y arrêter.
55. Lorsque les règles précédentes ne pourront pas s'appliquera l'intégration d'une exponentielle, on la réduira en séries par la formule
el l'on intégrera, comme il «Bt dit ct-desgoas. ^
56. Iniégrationpar Us séries. Ce procédé s'appliqua aux cipressioos dont les intégrales ne peuvent être obtenues rigooreuscment ; il consiste à développer la fonction donnée en sbrib^ de sorte que Ton n'ait plus à intégrer qu'une suite de termes dont chacun soit iotégrablo en particulier. Plus la série sera convergente, plus la valeur réelle de Tintégrale sera approchée. Or, les séries qui procé* deol suivant les puissances positives de œ dont les- exposants vont eo croissant, ou les séries aseendantesy ne convergent, en général, qoe dans le cas où la variable x demeure très-petite ; au contraire, ks séries descendantes, celles qui procèdent par les puissances négatives de X convergent d'autant plus que cette variable est plus grande.
L'article ssaiBS et la nécessité d'abréger me dispensent de plus grands développements, et je me borne aux simples exemples suivants:
aoil proposé d'intégrer / ^ qui ne peut pas être intégrée
exaelemcnt. On lui donnera la forme / a*rfj:(a* -f- a?*)** et, comme on a par la formule du binôme
il vient pour l'intégrale approchée
a' dx x^ «* iC' . x*
X — -— : H- -— : — ^7-7 + r— 7 — etc.
a»-|-rr» 3 a» 5 a* 7a« 9 a*
57. Quantités à plusieurs variables. Pour intégrer ces expressions, lorsque cela est possible, il iaut rassembler tous les termes affectés de la différentielle d'une même variable , et les intégrer comme si les autres variables étaient constantes, et leurs difTéreatieiles nulles. Alors^ si l'on différentie cette intégrale en faisant varier successivement toutes les variables, et que l'on retranche le résultat de la différentielle proposée, l'intégrale qu'on a trouvée est (en ajoutant une constante) la véritable intégrale s'il ne reste rien; ^'A 7 a un reste, il ne renfermera pas la variable par rapport à la* quelle où a intégré, on suivra, à l'égard de ce reste, le même pro- ^é qu'on a suivi d'abord, et ainsi de suite par rapport à chaque 'ariable.
Ainsi 3xi^ydx '{' x^dy -}- 5 xy*dy -[-y^dx donnerait pour les termes affectes de dx, ^a^ydx -{- y^dx lesquels intégrés en apposant y constant fourniraient l'intégrale partielle x^y-{'y^x^ or cette dernière quantité- différent iée par rapport à â? et à y, et rc-
tranchée de la proposée ne UissaDt point de reste, l'intégrale de la proposée = a;* y + j/*x + C
On trouverait de même
pour Pintégrale de
^My H- ix^ydx-h a^dz-h %xzda -h ada^ + y^dy
58. InUgraUs définies. Abstraction faite des cas où nous avons déterminé la valeur de la constante, les intégrales ci-dessus
que nous représenterons sons la forme générale / Xdx sont
dites tne/^/îm>5; elles deviennent définies lorsque l'on assigne les valeurs limites de x, Tune inférieure x=za par exemple; Pautre supérienre» as = &• On dit alors que la valeur â? =^ a, pour laquelle l'intégrale s'évanouit, en est Pongine, ou que Pintégrale doit commencer lorsque a? = a, et la valeur à laquelle on a^arréte répondant à ar= ft, on dit que Pintégrale est eomplète lorsque a? = 6.
Pour indiquer qu'une intégrale f ^dx doit être prise depuis
a;z=: a jusqu'à ar = i, on emploie^ en Franco, la notation due à Fourier
I \dx et en Angleterre celle / Xdx
et pour obtenir cette intégrcde définie entre ses deux limites ^ il estéviient qu'on doit calculer successivement ce que devient V expression variable de l'intégrale lorsque x:=hj puis lorsque a? = a, et retrancher ensuite le dernier résultat du premier. La constante arbitraire devant disparaître par cette soustraction, il est inutile de Pécrire.
Ainsi (41) Pintégrale indéfinie J^dx V 1^^'=^' = IV'à^'^^^' H- j arc [sin. =î]
pour X =z a devient —, cl pour a?=z:0 elle est nulle^ on a donc pour Pintégrale définie entre ces limites .r = 0 et x=:a
J'dx V ^i^==^ = ^'
on aurait encore
59. Il est utile de faire remarquer que le signe du résuUat changerait si Ton changeait Tordre des limites : ainsi y /'indiquant une fonction quelconque des limites a et b^ on aurait
r\dx = f(a,b) et flidx~--f{a,b)
x=sa x = b
60. Approximations, Les difficultés de Tinlégration^ le nombre des méthodes diverses dont Tarticle précédent donne à peine une idée^ la nécessité de les avoir présentes à Tesprit, et, pour ainsi dire^ toutes à la fois, attendu que chacune n'est guère applicable qo^à certains cas particuliers, ont beaucoup contribuée l'emploi des méthodes d'approximation dans les recherches qui se rapportent aux travaux des ingénieurs; parmi ces méthodes, celle qui porte le nom de Thomas Simpson (page 435) permet de calculer, avec une approximation presque toujours sulfisante pour la pratique^ les intégrales définies qui dépendent d'une seule variable. Soit en effet
une îotégrale de ce genre, dans laquelle X est une fonction quelconque de x^ et dont od demande la valeur approchée entre les deux limites x = «, a? = a'.
Cette question revient à demander Taire de la portion de courbe comprise entre les ordonnées correspondantes aux abscisses x:= a xzzza' (page 435); pour Tobtenir, on partagera Pintervalle a' — a en un nombre pair de parties égales, quatre, par exemple, oa aura
a' — a h ziz
Mettant successivement dans la fonction X de x les valeurs
ijez=,a'y J™i=:a + -(a' — a)\ .r :== a-+-- (a' — a);
la fonction X prendra des valeurs correspondantes à ces dtfféreats cas, valeurs que nous désignerons par
Vi y^ ys !/4 ys
