S54 COMBINAISONS

SnivaDi ce mode auquel nous réservons le nom ie^ComUnaisen, ces trois lettres abc prises deux à deux ne donneraient plus que ab ac bc et trois à trois que abc. Nous exprimerons que m choses sont combinées/) à p par la notation [mCp], et nous aurons en général

r^r^l C^PyJ ni(m~l) (m^a) X(m-p + 1)

l^f^Pi-- ÎÏPin = 1 X2X 3 X P '

cette expression devant avoir p facteurs. On parviendra souvent à simplifier les calcub, en remarquant

que

[mCp] =[mCî], quand m=p4"î-

Ainsi [100 G 88] = [100 G 12], parce que 100 = 884-12.

On trouverait que les 90 numélros de la loterie donnent 90 extraitsy4005ambes, 117480 ternes, 2555190 quaternes et 43949268 quines.

m points dont on connaît les hauteurs absolues donnent — ^^ — i ,

différences de niveau; combinés trois à trois, ih donneraient

^ ^ — ~ triangles.

On peut aussi passer du nombre de combinaisons de m lettres prises (p — 1) à (jp — 1) à celui de m prises p kp,k Taide de la relation

[mCp]«[mC(p-0]X '!^^^.

Enfin, Ton a aussi

[(m+l) Cp]=[mCp]4.[mC(p-l)].

Ces relations apprennent à déduire les combinaisons de (m-|-l) lettres de celles de m lettres, et cela par une simple addition.

G'est sur ces relations qu'est fondé le triangle arithmétique de Poêcali qui se forme en remarquant que chaque nombre est la somme du nombre qui lui correspond daps la ligne supérieure^ plus celui qui se trouve à la gauche de ce dernier. Ainsi, 165 (12e ligne) = 120-1-45 (11« ligne).