POIDS

des

cordes

parmètre

kii.

roideor

constante.

roideor par liilog.d'efrort.

.■ lit* ■'

kii.

M. Poncdei remarque que pour les cordes blanches mouillées de

C^.OS et au-dessus, il faut prendre pour d a le double des nombres

y* portés au tableau. La valeur de d a augmente aussi un peu pour

les cordes goudronnées quand la température est au-dessous de zéro,

enfin elle est un peu moindre pour les cordes qui viennent d^étre

récemment pliées sur une poulie, de sorte que .si une corde passe

sur deux poulies consécutives, sa roideur est au-dessous de celle que

lui assignerait le tableau ci-dessus. On diminué d^ailleurs la roideur

des cordages en les impreignant d'un corps gras ou en les frottant

avec du savon.

Lorsqu'il s^agit d'évaluer la roideur d'une corde donnée au moyen du tableau, on y choisit une corde qui , par sa constitution et sa grosseur, s'éloigne le moins possible de ôelle-là. On substitue les va-

leu rs de rf^a, d^A dans la formule - {d^a-}-d^bQ), en y remplaçant D et Q par les valeurs qui conviennent au cas en question ; on multiplie ensuite le résultat ainsi obtenu par le rapport l-y j , cP

étant le diamètre de la corde dont on cherche la roideur, et [jl un exposant convenablement choisi d'après ce qui est dit ci-dessus. Pour

les cordes goudronnées, on remplace le rapport (-) par celui — des nombres de (ils de caret.

Frottement des cordes ou des courroies sur les cylindres immobiles (fig. 9). Partagez Varc AC= S du cylindre enveloppé r^r la corde en un nombre très grand de parties égales et assea^ petites pour que la longueur s de chacun des petits arcs ac, cG, a A ne diffère point sensiblement de celle de sa corde ac. Par les points de division a, a, €, G, menez des tangentes qui se couperont deux à deux et parmi lesquelles les directions des forces extrêmes t q se trouveront nécessairement comprises. Soit t la tension d'un élément quelconque de la corde^ et na proportionnel à t, nc = an$ avant que le mouvement naisse^ le frottement sera nul et la tension q opposée à t lui sera égaie et sera ainsi proportionnelle à nc=na, La résultante des efforts tangentiels teiq sera donc représentée par la diagonale n m du losange acnm, et cette résultante nm=zp sera la pression normale exercée sur la courbe^ pression qui, lors du mouvement, donnera lieu à un frottement fp, de sorte que, si ce mouvement a lieu de c vers A, t devra excéder q de la quantité fp,

t — q = fp.

Pour obtenir p, on peut remarquer que les triangles isocèles nam^

ÇOfiDES. 423

aOcy sont semblables, car les angles en a et c étant droits, on a

cna-l-aO<? = i80o=:cna-|->iam, d'où aOcz=znatn;

on a donc

nm : qc *.: ac : r,

p : Si \: q : r,

On voit , en faisant Parc ^ = 1 mètre que , abstraction faite du frottement, la pression normale p, rapportée à l'unité de longueur exercée par une corde tendue sur la convexité d*une courbe est égale, en chaque point, à la tension I qui y a lieu, divisée par le rayon r de courbure.

On aura donc, pour Taccroissement de la tension d*nn élément de la corde à l'élément suivant, en tenant compte du frottement,

ft t—q= - s,

ou, en passant des quantités variables très petites à ces mêmes quantités supposées inBniment petites,

a tz=z — as; — = —

Intégrant cette dernière équation entre les limites ^=T, /=Q, et *= 0, et « = A C =S, on obtient

log. hyp. 1 = Ç,ouT = Qe ^

e étant la base des logarithmes népériens, e = 2.7182. Si Ton veut

employer les logarithmes vulgaires, on a, S étant toujours la loa*

gueur développée de l'arc embrassé, ou — cette longueur dans le

cercle de rayon 1 ^ n le nombre de degrés de cet arc, tz le nombre 3.14.159..

log. T = log. Q d= 0.43429 ^ = log. Q ±0,43429 f^,

le signe inférieur correspond au cas où T serait entraîné par Q.

Coefficient du frottement. Quant au coefficient /" du frottement, il a été déterminé par MAI. Morin, Lebas, etc. Ce dernier remarque qu'il prend des valeurs assez différentes. Si le rouleau est en bois tendre et mou, les cordages soumis à une forte tension pénètrent

434 CORÙES..

dans Pintérieur, en creusanl la surface de sillons raboteux qoi aug' mentent le frottement, surtout si la pièce n'est pas parfaitement ronde. M. Leb€U a trouyé, toutefois, que dans les circonstances les plus défayorables, fne dépassaitpas 0.22^. Cependant, les expériences de M. Morin élèvent ce coefficient à plus du double, ou 0.52, lorsque les fibres sont parallèles et qu'il n^j a pas d'enduit, et à 0.33 lorsqu'elles sont perpendiculaires et mouillées d'eau.

Pour les couRROiRS en cuir, neuves, mais souples et unies, fflissant sur tambours en chêne perpendiculairement aux fibres du bois, la moyenne de vingt expériences de M. Marin donne /*= 0.47, et pour limites extrêmes 0.426 et 0.575. Pour les poulies en fonte, la poulie et la courroie étant sèches, les nombres correspondants sont 0.282, 0.238, 0.323; enfin la courroie et la poulie étant mouillées, la moyenne de/=0.377, et-les extrêmes 0.^17 et 0.458. Voyez les expériences de M. Morin sur Padhérence, in-i*.

Les chemins parcourus par TefTort moteur et Teffort résistant étant égaux, si l'on reptésentc le travail du premier par T^ et celui do second par T^, on aura évidemment,

Ces expressions montrent que le frottement des cordes ne dépend point de l'étendue de Parc embrassé, mais seulement de l'ouverture

— = — de Tare comprise entre les normales extrêmes OC, AO et

du coefficient du frottement; c'est que, en effet, la pression normale qui donne lieu au frottement dépend elle-même de l'ouverture de cet angle. Il importe donc peu, auant au frottement du moins, que la corde passe sur un tambour nxe d'un grand ou d'un petit diamètre, pourvu que le nombre de degrés embrassé soit le même dans les deux cas.

Si T| T, T.... représentent respectivement les efforts qu'il faut appliquer à l'extrémité d'une corde pour la faire glisser lorsqu'elle est enroulée de 1 tour, 2 tours, 3 tours..., l'autre extrémité étaot d'ailleurs soumise à un même effort Q, on a respectivement

=217... 47^... OTC

2ir/' 4it/" 6i:/*

T,=Qe T, = Qe TjrnQe .

c'est-à-dire que les efforts T^ T, T,... forment une progression géo-

2tc/ métrique dont le rapport est e quantité toujours plus grande qo^

CORINDON. — COURBES. 425

runité. Faisant ^=: 0.33^ on aurait 2 tc /*= 2.07345, le rapport de la progression deviendrait

c'est le nombre dont le logarithme hyperbolique est 2.07345. Ce nombre est 7.95. Il en résulte que dans ce cas chaque tour mul* tiplie le frottement par un nombre; très voisin de 8. Si, au lieu d'évaluer Taccroissement du frottement par tour, on procédait par demi-tour, le rapport de la progression deviendrait

e ou 2.82

dans l'hypothèse ci-dessus.

Cet énorme accroissement explique complètement les effets bien connus de l'enroulement des, cordes sur des arbres fixes. Voyez le mot COURROIES et la planche suivante.

CORINDON. Substance vitreuse ou pierreuse dont l'alumine forme la base; elle est inlusible au chalumeau, et donne une matière bleue lorsqu'on la soumet à un feu très vifaprès l'avoir réduite en poudre. Le corindon raie tous les corps excepté le diamant. Son poids spécifique varie de 3.97 à 4.16. Le corindon comprend dans ses sous-espèces le saphir, le rubis, la télésie, l'émeri, substances qui contiennent de 0.80 à 0.98 d'alumine, un peu de silice ou de chaux, de l'oxyde de fer qui les colore suivant sa proportion par rapport aux antres substances, en gris, en noirâtre , bleuâtre , rougeâtre.

CODLOMB (Charles-Augustin), ingénieur, né à Angouléme en 1736 , mort à Paris en 1806. On lui doit une foule d'expériences consciencieuses, et des mémoires que, même à l'époque actuelle, les ingénieurs peuvent consulter avec fruit.

COURBES. Nous ne nous occuperons ici que des courbes plaft«^^ c^est-à-dire de celles dont tous les points sont contenus dans un seul et même plan; on trouvera à chacune de ces courbes en particulier les propriétés qui les caractérisent individuellement. (Yoy. elh'pse^ parabole, etc.] Nous nous proposons de résumer dans cet article les généralités de la théorie des courbes. considérées dans leur ensemble, et seulement au point de vue de leurs propriétés communes.

Définitions et conventions. Véquation d'une courbe est l'expression analytique de la relation qui lie ses lignes principales^ telles

>i26 COURBES.

que son rayon yecleor, son paramétre, etc., aux deux distances de chacun de ses points à deux axes pris dans leur plan, et menés par un point arbitraire de ce plan; soit, par exemple (fig. 1, flanche XXXIII) O ce point quelconque, et soient menées par ce point dans le plan de la courbe, deux droites indéfinies OX OY, que le plus ordinairement on fait perpendicalairesruneà l'autre, soit enfin DMM'Ë la conrbe plane. Imaginez que de chacun des points M M' M".... de la courbe, on ait conduit jusqoes aux droites OX^ OY, qu'on appelle odM» <fet cùorimiUu, d'antres droites HP HQ MT' M'Q' respectirement paralldes h ces axes, on appellera aiseisêes les distances PO=:MQ P'0 = M'Q' des points de rencontre PP' au point arbitraire 0, et on désignera ces aistances par les lettres x x' x''.. .; enfin, on appelle ordonnées et on désigne par y y' y" les distances MP=Q0 M'P',=Q'0, des points de rencontre QQ'au môme point O, ifui prend la dénomination A'origme thé eo<»rdannéê8. La droite iiMlëfinie OX est Yuwe dei abêeiêêêê^ et la droite O Y est Vaxe dts or^ données. Lorsque ces axes sont perpendiculaires entre eux, les coordonnées sont dites rectangulaires; les x et les y expriment alors les plus courtes distances à l'origine des coordonnées des projections des points de la courbe sur chacun des axes* Nous supposerons dans toutcequrva suivreque les coordonnées sootrectangaiaires, comme dans la fyure i .

Signes des coordonnées. On convient de prendre positivement on d'affecter du signe -|- les abeeisses des points de la courbe situés à droite de l'axe des ordonnées» et négativement ou d'affecter du signe — celles des points situés à sa gauche; quant aux ordonnées ^ elles sont positives Bu*dessus de l'axe des abacisses et négatives au-dessous; il en résulte que les points de la courbe situés dans les quatre angles de la figure ont leurs coordonnées xy affectées des signes cidessous.

Angle Y OX ieoordonnées positives. . . ; *

coordonnées négatives. . .

k I V AY jAhscisse négative — «

Angle ï ^^i| ordonnée positive + y

Angle Y.OX i ^^"^'^ J^^,?" • • • • +' ^ ' ( ordonnée négative y

On peut remorquer encore, i^ que les points où nne courbe coupe Taxe des abscisses ont une ordonnée nulle ou y =; o, et qu'au contraire les abscisses sont nulles, o\i x = o pour tous les poiuls 01^ une courbe coupe l'axe des ordonnées; 2^ que l'abscisse

et Tordonnée d'an point situé à rortgine O sont nulles simultanément.

EquaiioM des courbes. L'équation d'une courbe s*obtient en exprimant analjtiquement ou l'une quelconque de ses propriétés^ ou les circonstances de sa description. Prenons le cercle comme exemple simjAeÇfig. 2, planche XXXIII) et plaçons d'abord Torigipe des coordonnées à son centre Oj soit OM=zr son rayon, M un point quelconque de sa circonférence , 0P=7â? Fabscisse de ce pôint^ MP=y son ordonnée^ tous les points de la circoorérence sont situés^ par rapport au centre^ de telle sorte que Ton a pour tous et chacun d'eux, en vertu des triangles rectangles :

^ et y exprimimt des quantités indétermiaéM et variables avec la situation du point M, mais liées entre elles à l'aide de la quantité connue r, de telle sorte que l'une d'elles x étant donnée, par exempie, l'autre y s'obtient immédiatement. On a en effet

Cette dernière expression est Véquatian du cercle rapportée au centre. Elle exprime en effet une propriété caractéristique commune à tous les points de IS circonférencei et servirait au besoin à U retrouyer en même temps qu'elle fait connaître tontes les affectations de la courbe.

Si l'origine était au sommet S de la courbe, l'ordonnée M P ou y d'un point quelconque étant moyenne proportionnelle entre les segments SP = a? et PN = (2r — a;) on aurait

et l'équation du cercle rapportée à l'extrémité du diamètre pris pour ai^e des abscisses deviendrait

y = ± [/2rx~«« (ï)

Enfin, si l'origine des coordonnées rectangulaires était en un point quelconque A dont les distances aux projections du centre seraient respectivement a el ^ , la propriété des triangles rectangles donnerait encore

d'où l*on dédoirait pour TéquatioD la plus générale du cercle^ dans le système des coordonnées rectangulaires^ la relation

y = P ± j/r«~(aî-a)« (3)

SouS'tangenieB et tangentes de» amrbes {Sl%. 3). En considérant les courbes comme des polygones d^une infinité de côtés infiniment petits^ le prolongement de Tun de ces côtés peut être considéré à son tour comme une tangente à la courbe. La position et la longueur de cette ligne sont complètement déterminées lorsque, en outre^ du point de contact M avec là courbe (point donné par les yaleurs de ses coordonnées x = AP y = PM) on connaît encore la position du point T où la tangente rencontre Taxe des abscisses. La position de ce point T se déduit de la valeur de la sous-tangente PT, distance du pied P de l'ordonnée du point de contact M au point T^ et ceilexi s'obtient facilement en remarquant que si par un point m de la courbe infiniment voisin de M on mène une ordonnée mp, pnis par M une parallèle Mr à Pp, Mm pouvant par hypothèse être considérée comme une droite infiniment petite, les triangles semblables MPT mMr donnent

mr : rU :: MP : PT ou dy : dx :: y : PT

car mr et rM ne sont autre chose que les accroissements infiniment petits ou les différentielles de ^ordonnée et de l'abscisse, on a donc en général pour la valeur de la sous-tangente du point dont x et y sont les coordonnées,

-, dx

Sous-tangente = y j-

Cette formule est générale, elle convient à toutes les courbes, soit que les x et les y soient rectangulaires ou qu'ils ne le soient pas, pourvu que les y soient parallèles entre eux ^ donc

Pour avoir la «ou5-tonjren^e^ l'équation de la courbe étant connue,

il faudra : 1® diffèrentier celle-ci; 2o tirer de l'équation difTéren-

dx tielle la valeur de t- > 3» multiplier ce rapport par y, ordonnée

y connue du point de contact ou mieux par la valeur de y exprimée

en Xj valeur donnée par l'équation même de la courbe. On aura

ainsi la sous-tangente simplement exprimée en x et en constantes.

, Si l'on trouve une valeur négative pour y -- , il faudra por|èr

cette valeur à partir du pied de l'ordonnée du côté opposé à l'origine des X.

Rcmarqnant que le carré de la tangente T M = la somme des carrés de la sous-(angeotc et de FordoDuée^ on a immédiatement pour la yaleur de la tangente d'un point quelconque dont les coor; données sont x et y et dans une courbe quelconque définie par son équation y

tangento = y ^/i + g; = y [/^-A'-

Sous-normales j normales* On obtient tout aussi facilement les valeurs générales de la sous-normale PQ et de la normale MQ qui deviennent

sous-normale = v --

normale = y ^i + g = y [/^^'-

Arc élémentaire, inclinaison des éléments de la courbe. Dans toute courbe, dont (f 5 ou Mm est Tare élémentaire au point quelconque, M dont les coordonnées sont a? et y on a

ds=l/

T désignant en général Tangle MTX = mMr formé par Pélément de la courbe au point M ou par la tangente à la courbe en ce point avec Taxe des abscisses. On a aussi

dx dy

dx* + dy* T- = cos. T -^ = sin. T ^ ^ rf« ds

^ = tang. T et ^ = tang. de l'angle Mmr = TMP

dx ^ dy ^ ^

formé au point dont les coordonnées sont a? et y par la courbe ou sa tangente avec l'ordonnée.

On remarque que les coordonnées positives d'une courbe sont croissantes tant que j- a une valeur positive et qu'elles sont décroissantes dans le cas contraire; enfin, suivant que le coefficient différentiel du second ordre j~ est de même signe que l'ordonnée

OU de signe contraire , la courbe est convexe ou concave vers Taxe des abscisses.

La dernière des expressions ci-dessus montre que :

Pour trouver en quel point une courbe ou sa tangente fait avec Vordonnèe un angle donné , ou dont la tangente est connue et = / par exemple, on devra déterminer par la diiférentiation de l'équa-

tion de la courbe la valeur de r-j , égaler cette valeur à la tangeole

t de Tangle donné , substituer pour y sa valeur en x et en constantes tirée de Téquation de la courbe. On aura ainsi la valeur ou les valeurs de x qui répondent aux points où la courbe fait un pareil angle avec l'ordonnée.

Si la courbe ne fait nulle part avec l'ordonnée un angle égal à Pangle donné , on trouvera que la valeur ou les valeurs de x sont

IHAGIHAIRBS.

En particulier Ton voit encore que :

Pour trouver en quel ponU la tangente d'une courbe dément parallèle aux ordonnées ou aux abscisses, il faut chercher en quels points

— ou seulement dx devient zéro pour le premier cas et en quels

points y- où seulement dy devient zéro pour le second cas. On

devra donc différentier l'équation de la courbe ^ en tirer la valeur

de -- ; puis si Ton égale le numérateur de cette valeur à zéro, on

aura une équation qui, conjointement avec l'équation même de la courbe, donnera la valeur dex ou celle de y qui détermine en qael point la tangente est parallèle aux ordonnées^ en sorte que si cela arrive en plusieurs endroits, on aura plusieurs valeurs pour x et plusieurs valeurs pour y.

Si c'est le dénominateur qu'on égale à zéro , cette équation conjointement avec celle de la courbe déterminera les valeurs de x et de y qui répondent aux endroits où la tangente de la courbe devient parallèle aux abscisses.

Expiations de la tangente et de la normale d une courbe. Oni est souvent conduit à considérer la tangente ou la normale i une courbe par leurs équations.

Remarquons d'abord que lorsque deux lignes se touchent , on a pour le point de contact seulement

^ ~ ^ dx' dx

a; et y étant les coordonnées du point de la courbe où le contact a lieu et âB' y ' celles des points quelconques de la ligne toudiante.

Si la ligne touchante est naoïn, et dès lors exprimée par Téqua* tiony'zzax'-f'ft; lorsqu'on la considère isolément , son équation devient

COURBES. 43 i

lorsra'oD rassajeltit à être UngeDte à une courbe quelconque au point a; y de cette courbe.

En faisant y' = o dans cette équation, on déterminera l'intersection de la droite avec l'axe des œ, et Ton aura

V équation de la fwrmale on perpendiculaire à la tangente au même point âp y de la courbe est

en fiiisant y' nzo on aura paiement Tintersection avec Taxe des Xj TéquatioB devient alors

yjy

doD

Si par un point a ^ pris hors d^une courbe, on se proposait de mener une tangente à cette courbe, Péquation

servirait, conjointement avec Téquation de la courbe proposée, à déterminer les coordonnées a; y du point de contact.

Enfin, si une droite doit non-seulement toucher une courbe donnée, mais en outre faire avec Taxe des x un angle dont la tangente

dy soit donnée et = ^, il suffira de poser -^ zzzt comme nous l'avons vu

plus haut, -^ étant (irée de Téquation de la courbe, puis de corn-

** dy

biner cette équation avec la valeur de ^^ , on trouvera ainsi la valeur de a; et de y qui oonviennent au point de contact demandé.

OsculaHon^ — développent, -''détoloppée -, — rayon de courbure delà développée ou osculakwr. Si Ton conçoit que par chacun des point» I' %' 3'... 8' supposés infiniment rapprodiés d'une courbe quelconque {Planche XXIX, fig. 3), on ait conduit des normales à cette courbe (l'I) (S'a) (8'3)... (&'8), les intersections consécutives 2 3 4 5.. . 8 formeront une autre courbe qu'on appelle la développée de 1» première, parce que si on la conçoit enveloppée d'un fil 0 1 2 3... &• fixé en 8, par exemple, et qu'on développe ce fil en ie maintenant également tendu, son extrémité 0, en s'éloignant de la courbe 0 1 %.,. 8, trace la courbe 0 i' 2'... 8^, qui prend à son tour le nom de dévdoppante.

Considérées par rapport à la développante, les droites (1 lO (2 2')... (8 8') que nous désignerons en général par la yariablë p, sont ses rayons de courbure, ou les rayons des arcs des cercles oseulateurs, ou en d'antres termes les rayons yariables des arcs de cercle qui se confondraient avec les arcs de la développante en chacun de ses points 0 à 8'.

Pour bien saisir la nature particulière de Tare de cercle osculateur, et par suite ce que Fou entend par rayon osculateur ou de courbure d'une courbe quelconque 0 1' 2'.. S\ on peut remarquer que le nombre des arcs de cercles simplement tangents en chaque point (8 par exemple) d'une courbe est înGni, parce que tous les cercles qui auraient leurs centres en un point quelconque de la normale 8 8' supposée indéfinie, et qui passeraient en même temps par 8' seraient tangents à la courbe en ce point ; mais en observant que les uns toucheraient la courbe en dedans et les autres en dehors, on définira nettement Tare du cercle osculateur en chaque point, en disant quMl est celui qui sépare les premiers cercles oes seconds.

On nomme souvent aussi p le rayon de la développée y expression qui parait vicieuse, car elle tend à confondre p ou 88' par exemple, avec C 8. Quoi qu'il en soit, on voit, !<> que la variable p mesure la courbure de la développante en chacun de ses points : 2^ que par la génération même de la développante, p est normale^ au petit arc développant et tangent ai| petit arc développé ; S» que les différences successives des diverses valeurs de p sont les difTérences des arcs <ié* veloppés correspondants; de sorte que Ton a^ par exemple

(88') — (7 7') = arc. (8 7) (8 80 — (110 = arc. (81) (8 80 — 0 = arc. (8 0 J, etc.

Cela posé , soient a; et y les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe quelconque (0 1' 2'... 80 p son rayon de courbure ou osculateur au même points a ^ les coordonnées du point de la développée correspondant au point développant â?y^ ou bien les coordonnées du centre de Parc de cercle osculateur en ce point xy^ ds l'arc infiniment petit de la développante ou du cercle osculateur au même point a;y, on a pour Texpression générale de p dans une courbe quelconque

p = -j^-ç = ravon de courbure;

±^ dx'd '

si Ton fait dx constant, c'est-à-dire si Ton convient que les accroisse-

ments de Tabscisse se fopt par degrés égaux infiniinent petits, alors les d?x devenant zéro, Ton a, en se rappelant que cb= {da? 4~ ^\t^)}

p = rayon de courbure = — . .. ■ (i)

' " dx d*y ^

dy(dx-+dy*) (da,. + dy.)

On n^a laissé quele'signe — dans l'expression de la valeur ci-dessqs du rajon de courbure^ cela suppose que Ton est convenu de regarder commeposOifs les rayons dont les courbes ont leur cmeavité tournée vers l'axe des abscisses, comme dans la figure. Si donc à la fin du calcul d'un rayon de courbure, on tombait sur une valeur négative, cela signifierait queja courbe est convexe à l'axe des abscisses.

Equation de la développée. Les équations (2) et (3) serviront à trouver Téquation de la développée, en partant de celle de la développante. Celte équation de la développée n'est autre chose que la relation entre a et ^, relation qu'on obtiendra en mettant dans (2) et

3) les valeurs dey, dx, dy, dx*.., tirées de Téquation de la d^e-

oppante.

Equation de la normale d la développante. L'équation (4) est celle de la normale à la développante an point a? y, menée du point dont les coordonnées sont a et ^.

Rectification de Tare d'une courbe. Rectifier Tare d'une courbe, c'est trouver une ligne droite égale au développement de œt arc. Ce problème n'est susceptible d'une solution exacte qu'autant qu'il existe un rapport commensurabic entre l'arc de courbe et l'unité de mesure. Alors d* = v^ rfaj^ + dv' étant l'expression de la différentielle de l'arc, la méthode générale consiste à tirer de l'équation de la courbe les valeurs de dx* et de dy^ à les substituer dans l'expression ci-dessus et à intégrer entre les limites de l'arc , si cette INTÉGRALE pcut s'obtcuir. Si Fintcgralè ne peut être obtenue sous forme finie, la courbe n'est poînt reclifiable. L'emploi des séries permet toutefois d'obtenir des résultats indéfiniment approchés.

Pour le cercle ; suivant que l'origine est an centre ou à l'extrémité du diamètre!, on diy^'\-x^z=zr^ ony^zzz 2rx — cé^-, dans les deux cas, il vient

r dx ,. . â* T dx

d« == — ^ d'oà» = / -— y «'y

en mettanl pour y sa valeur oo «> on voit que l'iifTécRATioN ne peut

f'effectiMr exactamenl. L*arc de cercle D'est donc pas . une courbe reclîGable. Il en est de même de Tare d^ellipse. Oo intègre en pareil cdB par tes séries ou les arcs de cercle.

Faire passer une courbe par plusieurs points domnés par leurs coordonnées. On trouvera la solution de ce problème au mot iktbrroLATion.

Quadrature des courbes. Quarrer une courbe , c'est évaluer en mesures quarries Tespace renfermé entre ses limites. Pour y paryenir on décompose par la pensée Pespace à mesurer kpmtL (fig, 3), en un nombre infini de trapèzes infiniment petits comme PpmM dont la hauteur Pp = dx et dont la demi-somme des bases parallèles est l'ordonnée y rs or, l'espace ApmA est la somme ou l'iic-

Jydx

de ces petits trapèzes élémentaires ydx ou la surface renfermée entre une portion de courbe quelconque et les coordonnées x et y; pour l'obtenir on tire de Téquation de la courbe la valeur de y en x$ on la substitue dans Pexpression ci-dessus et l'on intègre au moins par approximation.

Méthodes ftûlifses. Je donne ici quelques méthodes pratiques qui suppléeront les formules précédentes avec une exactitude presque toujours suffisante et qui ont sur ces formules l'avantage d^étie gèndrales, et de s^appliquer dès lors aussi bien aux courbes qui peuvent être définies par des équations qu'à celles qui ne le sont point.

Mener une tangente à une courbe dont Us nature eU inconnm. (Planche XXXI II» fig. 4). Soit Â le point par lequel on doit mener la tangente à la courbe CHM^ Tirez par ce point une droite quel* conque AZ. Prenez sur cette droite à partir de A deux distances égales AP=*::PP^ et par les points PP', élevez les ordonnées? M P'M\ Les distances AP PP' doivent être prises de telle sorte que Tare A M' n'ait pas trop d'amplitude. Cela posé» la distance Pm oà la tangente au point A coupera la première ordonnée est

Pm = 2PM — iP'M'^

ctlle P'm' oà ta même tangcnle coupe la seconde ordonnée P'M^ est

P'M'=:»=<lPm!=4PM— P'M'

ce qui donne trois points de la tangente AT.

Rectifier une courbe ou trouver la longueur de tare d^une courbe quelconque. ABC {fig. 5» planche XXXIII ) est l'arc donné. Tirer et mesurez la corde A G. Par le procédé précédent menez et mesurez les tangentes AD^ CD aux e&trémités de Tare et limitée» i

GOUfiBES. 4SS

leur point de reocoDtre D. Si rainpIHude de l'arc » oa u Tan^le formé par les Dormalea eo Â et G ne dépaiee pas 30 degrés, la longueur L de Tare développé est