L = }(AD + 2AC + CD

on le tiers de la somme des tangentes et de deux fois le corde.

Cenir$ du cercle osculateur ou rayon de courbure d'un point ifinu courbe quelconque. Soit A (fig, 9, planche XXXlII)t le point de Ift courbe dont on cherche le rayon de eourbure. Par ee poipt menejs une tangente à la courbe, puis une normale indéfinie AK^ A droite et à gauche du point A et à partir de ce point menés des cordes quelconques Aa' Aa''.. A A' A A''..; sur le milieu de chacune d'elles, éleyez des perpendiculaires qui couperont la normale AK en des points c' c''.. G' G"..; par ces points menez des parallèles a la tangente; prenez sur ces parallèles les longueurs respectives G'' ])''?=: corde AA" C'D' = corde AA'... c'a' = corde A a', c"d" = corde A a". Pair les points d*^d\. D'D" ainsi déterminés faites passer une courbe continue, elle coupera la normale AR en un point G qui est le centre de courbure de la courbe en A. Celte méthode est doc à M. Poncelet.

Quadrature des courbes quelconques, méthode de Thomas Simpson. Tracez dans le sens de la plus grande longueur de la figure {planche W%l\l, fig. 7), la droite ab pri.^ pour axe des abscisses. Partagez cet axe en un nombre pair (n — 1) de parties égales, ce qui donnera n points de division, n étant impair, âoil h la distance commune de deux points de division confécutifi aa'. Far chacun de ces poiots de division, élevez des ordonnées que vous prolongerez jusques i leur rencontre avec la courbe. Soient y^ y^ y,... y^ les longueurs respectives de la première, de la seconde, de la troisième... enfin ^ de la n^^ et dernière. L'aire A de la figure ADGB sera donnée avec approximation par la formule

c^est-à-dire qu'elle est le tiers du produit qu'on obtient en multipliant par Tintervalle constant h compris entre les ordonnées de la courbe la somme des ordonnées extrêmes y^ -|^y„ augmenta de deux fois celle des ordonnées de rang impair

et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair

Ce que Ton vient de dire pour la figura eotiéne ABGDA f'npplîqnerait à la ptflie située au-desins de Taxe des abscisses prise

séparément aÎDsi qu'à la partie inféneare. de sorte que'fi'il s'agissait d'évaluer Paire a ABia po celle aDCia, les ordonnées i prendre seraient les lignes Aa A'a'... B( dans le premier cas et aD a'D\,. bÇ dans le second.

Si la figure était telle que les ordonnées extrêmes ou toute autre se trouvassent nulles, il faudrait néanmoins leur donner leur numéro d'ordre, elles fourniraient dans la formule des termes nuls.

En général Tapproximation sera d'autant plus grande que Ton prendra plus d'ordonnées y et l'erreur commise sera une erreur par défaut pour les parties où la courbe présente sa concavité à Taxe, e^ une erreur par excès pour les parties où la courbe tourne sa convexité vers ce même axe.

Si l'on appliquait la méthode à la recherche de l'aire du cercle dont le rayon = l ^ on obtiendrait en partageant le diamètre en dix parties

et en bornant à quatre décimales les valeurs approchées de 1/3 l/Y \^^ ^' viendrait

A =3.10 au lieu de 7c=:3.14.

Coordonnées polaires. Il est des circonstances où les calculs se trouvent simplifiés par l'emploi des coordonnées polaires. Dans ce système, la position des points d'une courbe au lieu d'être rapportée à deux axes fixes est donnée par leurs distances variables p (fig. 8) i un point fixe A qu'on nomme pôle et par Tangle également variable MAP = 0 que fait pour chaque point ce rayon recteur p avec une ligne fixe donnée AX.

Équation polaire. L'équation polaire d'une courbe est alors la relation entre p et 0 pour chacun de ses points. Or comme on a

(fis- 8)

a: = p COS. 6; y = p sin. 6^ et 05^ -f- V* = P'î

le pôle et l'origine étant supposés en A, on voit que :

Pour passer iun système de coordonnées rectangulaires rr et y aux polaires p et 0 , il faut prendre pour origine le point qui doit être le pôle, la droite AX à partir de laquelle on compte les arcs 0 étant prise elle-même pour l'axe des X, puis enfin mettre p cos. 0 et p sin. 6 à la place de x et y dans l'équation aux coordonnées rectangulaires.

Réciproquement j si l'on a l'équation en p et 0 d'une courbe, on éliminera ces variables à l'aide des relations ci-dessus et (Voyez trahsformation des. coordonnées) on parviendra à une équation entre jr

el y en substituaDt dans l'équation polaire de la courbe , l'origine étant au pôle, savoir

ainsi Téquaiion au centre de Tbllipsb dont a et i sont le demi-grand axe, et le demi-petit axe et c = |/o*— 6*, la distance du foyer au centre est {fig. 9)

Transportant l'origine au fojër, la nouvelle abscisse x' de chaque point deviendra x' =zx — c. Mettant â?' -f- c pour x dans l'équation ci-dessas^ puk substituant p cos. Q pour x', p sin. Q pour y^ il vient pour l'équation polaire de l'ellipse^ le pôle étant au tover F, et l'angle XFM=0, p=FM

Arc éUmmtaire, tangente, sous-tangente^ rayon de courbure, etc.» dans le système polaire. Pour un point quelconque M dont les coordonnées polaires sont p et 0 et dans une courbe quelconque (/îjf. 10), fêtant en général le rayon vecteur du point M et B l'arc qui mesure 'angle formé par le rayon vecteur avec l'axe AX^ dans le cercle dé rayon = 1 on a

Elément de

l'arc = M'M = d* = L/ p* d^* + dp*

MQ = pde • Sou^ tangente AT = ^-- —

à la condition que AT soit toujours menée perpendiculairement au rayon vecteur A M du point que l'on considère ; la valeur de cette sous-tangente suffit pour construire la tangente HT, on a d'ailleurs

tangente MT= ^/p' + ât« = p j/i + E^* = p 1*

les signes dont ces valeurs de la tangente et de la sous-tangente sont affectés se rajpportent suivant qu'on en convient à la droite ou à la gauche de l'origine.

Si l'on voulait connaître Vta%gle en M formé par la tangente et le

rayon vecteur^ oo le dédairait de la valeur de sa propre ungeote doooée par la relation

pd6

tang. TMA

La différentieUe XMM.' de Faire < ou ABM comprise entre deux rajoDs vectears, différentielle que Ton regarde comme égale à AMlQest

Enfin on a pour Texpression générale du rayon de courbure R dans le système polaire

• g (dp« + p«der

p(26(i>p~-p«4ie* — 2ilp*40

On a coutume lorsqu^on fait usage de ce système de détcrmîoer {fig, 11), la position F du centre de Parc osculateur en M parcelle de la normale MF perpendiculaire à la tangente MT^ et par. la distance MEscomprîse entre le point M et le pied de la perpendiculaire qui serait abaissée de F sur le rayon vecteur A M. On prend alors AM pour Taxe des ordonnées y, la partie AE représente l'ordonnée p de la développée et l'on a en général

p cP p — p« d e* — 2 d p*.

COURROIES (planc^ XXXII). Lorsqu^un axe moteur doit transmettre son mouvement de rotation à un second axe dont la distance au premier dépasse certaines limites, on monte sur ces axes des tam- , boUrs ou des poulies fixés, dont les circonférences sont partiellement embrassées par des cordes, des chaînes, ou plus habituellement des courroies sans /fn, dont Padhérence suffit àia transmission dVflbrts assez considérables. La fig. 9 de la planche XYII, ainsi que les figures de la plaoche XXXII, donnent une idée de ce mode de transmission de mouvement, dont les filatures et les ateliers de constriiolion offrent l'application. On a réuni dans la planche XYII les accessoires ordinaires de ce système, tels que arbres, paliers, chaises, supports.

Nature des courroies. Les courroies sont le plus ordinairement en cuir corroyé et plat; leur largeur varie avec Telfort à transmettre, depuis O'^.OS jnsques à 0". 38. — On fait aussi dos courroies en caoutchouc ou gomme élastique que Ton tisse avec différentes substances fibreuses et qui sont d'un très bon emploi, lorsque les changements de température auxquels elles sont très sensibles^ ne peuvent donner

COURROIES. n*

lieu à de grandes farialions dans lear longueur ou leur élasticité. — Ou fait encore des courroies en déchets de laine et même en déchets de cotoD dans les manufactures où Ton met ces substances en œuvre. Quelquefois on les commet à la manière des éobdes^ quelquefois aussi elles sont plates; ces courroies sont douces et assez élastiques. — Enfin les cordes en chanyre, les cordes à boyau et les chaînes en fer elles-mêmes, aidées de poulies d'une forme convenable, forment des modes de transmission tout à fait analogues à celui dont il sera ques» tion ici y de sorte que la même analogie existe entre les lois du mouyemcnt qui les régissent tous. — Quelle que soit la matière du lien sans 6n , il importe que la soudure des deux extrémités ne présente pas plus d'épaisseur que ses autres parties.

Forme des poulies, La poulie A, fig. 5, planche XXXII, dont la gorge est angulaire, convient aux courroies rondes, aux cordes en chanvre ou à boyau et même aux chaînettes; la tension chasse et maintient ces corps dans la gorge. — Si les cordes sont très lisses, il peut devenir nécessaire de fixer au fond de la gorge cylindrique de la poulie B de petites dents aiguës qui s'opposent au glissement, mais elles augmentent considérablement Pusure. — La forme G, dont le contour est renflé de telle sorte que la Oècbe de l'arc ab soit environ le dixième de la corde ab , convient seule aux courroies plates, ainsi qu'on va le montrer.

Mouvement des courroies plates sur les poulies. Lorsque l'on com* mença & employer le mode de transmission de mouvement par courroies plates et tambour, on ne tarda pas à remarquer que les tambours ou poulies, qui d'abord étaient cylindriques, laissaient plus ou moins promptement échapper la courroie, qui se trouvait peu à peu poussée parallèlement h l'axe et bientôt jetée hors de la suriâce du tambour. On remarqua encore que les courroies tendues sur les poulies coniques, fig. 6, se rapprochaient, par l'eftet du mouvement, de la grande base du cône et 8*y maintenaient d'elles-mêmes; on fut ainsi conduit par la pratique à donner aux poulies et tambours un renflement, fig. 5 G, qui augmentât la tension vers l'axe de la courroie.

On a expliqué ces mouvements latéraux, ainsi que les effets du renflement qui y met obstacle, par la force centrifuge, par l'excès de tension que le cuir des bords devait acquérir pour surmonter la con- Texité, etc.; je ne reproduirai pas ici ces explications qui ne paraissent point complètement satisfaisantes. Quoi qu'il en soit, le fait esl ''certain, les courroies plates échappent très facilement des poulies et tambours cylindriques, et l'on s'oppose à cet échappement en leur donnant un renflement dont la flèche soit d'environ ^ de la corde de- Tare* — Lorsqu'on veut déplacer une courroie plate, il faut pousser vers ta nouvelle position le brin qui marche en avant^ un même effort sur le brin qui marche en arrière ne changerait pas la position de 1»

ooilrroie. Ainsi soit B; fig. 7, la position primitive de la courroie

Cndant qu^élIe tourne sur son tambour; en tirant vers le point A te in qui marche m avam, les parties qui progressent viendront saocessivement occuper le point A, et, après une demi -révolution du tambour, la oourroie aura pris la position ab. Si le mouvement da tambour s^opérait en sens inverso ou de B vers A , le même effort en A n'aurait point prodoit de déplaœment sur ce tambour. — Du rjeste, il est toujours difficile de changer la position d'une courroie ou d'une corde tendue sur un tamt)Oiir au repos ; cette manœuvre B^exécute au contraire très facilement et très promptement pendant le mouvement de celui-ci.

Effort que les courroie» peuvent tranemettre. II résulte des expénences de M. Marin que, dans la pratique, on peut avec sécorité faire supporter aux courroies en cuir des tensions calculées à raison de i kil. par millimètre carré de leur section transversale.

Frottement des courroies. Il se calcule par la même formule que celui des cordes. Le coefficient du frottement /'seul diffère. M. Morin assigne au rapport / du frottemctit à la pression pour de^'courroies neuves, mais souples et' unies, glissant sur tambour en chêne, perpendiculairement aux fibres du bois, la valeur moyenne /*= 0.470; pour les courroies sèches sur poulies seiches en fonte, /= 0.2 80> et pour les courroies mouillées sur tambour en fonte mouillée , /=z= 0.377.

> Le rapport de la résistance du frottement à la pression est encore ici indépendant de la largeur de la courroie, de la longueur déveiôppée de Tare embrassé, du diamètre des tambours. Il est proportionnel (voyez coRDBs) à Tangle sous- tendu par la courroie à la surfaée du tambour et au Içgarithme hyperbolique du rapport des tensions des deux brins.

Avantages et xncowoénients de ce mode de transmission. Le mouTement est très doux y il se transmet sans vibration et sans bruit* — Il arrive parfois que la résistance à vaincre augmentant subitement» la courroie glisse sur le tambour; c^est, dans certains cas, un inconvénient , mais c'est aussi un avantage dans tous les cas où un arrêt brusque pourrait occasionner des ruptures dans la machine. -—L'on peut transmettre de très grands efforts à l'aide des courroies en cuir ou en chanvre, et t7 parait même que, en Angleterre, on emploie ce mode pour donner le mouvement à des arbres qui soulèvent de lourds marteaux. — Le mouvement transmis d'une pièce à une autre à Paîde' de liens flexibles, ne jouit point, en pratique, des propriétés rigoureusement géométriques que lui assigne la théorie , parce qu'il j a toujours glissement de ces liens. Ce mode de transmission ne pourrait donc pas être adopté dans les machines qui exigent une très grande précision^ dans les horloges par exemple.

Bjofpari des viiefseê des pièces enveloppëei par un Ken flexible. Sok (/Ejf. 1, planche XXXII] A et B les centres de rotation de ces pièces^ PQ le lien flexible qui touche los courbes convexes en P et Q. Faites mouvoir le point P en p dans une situation infiniment rapprochée de la première , Q passera en q et le lien touchera les courbes en deux nouveaux points que nous désignons par r et «, de telle sorte que pendant le mouvement du système le lien aura touché les courbes dans une série de points compris entre q et Sy et p et r. Pour chacun des instants de ce mouvement le système des courbes peut donc être assimilé à celui de deux bras, menés chacun de son axo de rotation au point de contact du lien , bras dont les extrémités sont réunies par une bielle (voyez cet article).

Les vitesses angulaires des pièces A et B sont donc entre elles poer chaque instant du mouvement en raison réciproque des segments de la ligne dos centres déterminés par l'intersection de cette ligne avec la direction du lien à cet instant.

Ou si Ton désigne cette direction sous le nom de Uyne é^aeitan on peut dire aussi que le$ vùe$$e$ angulaireê û û' de A et B êoni entre ellee rédproquemeni et pour chtique instant comme les perpendias* laires menées des centres de rotation d la ligne d^actton.

Si les courbes A et B sont des cercles, les perpendiculaires de* viennent des rayons R R' dont la longueur est constante, le rapport des vitesses an|;ulaires devient constant pour toute la durée du mouvement, et enfin si \e est la demi-épaisseur du lien, on aurait pour QB cas ordinaire de la pratique

û(R+ie) = û'(R'+ie)

s'il était permis de négliger les elTcls du glissement du lien sur les tambours.

Cette formule est dès lors applicable aux dispositions indiquées figures 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12 et 13. On peut remarquer toutefois que les poulies de la figure 2 tournent dans le même sens, tandis' que celles de In figure 3 dont la courroie est croisée tournent en sens contraire. Dans ce dernier cas, la courroie qui a toujours une face rugueuse et une^fiice lisse doit être tordue (fig. 4) de manière que les brins ne se touchent que par leur face lisse.

Tension naturelle. On appelle tension naturelle ou propre d'une courroie sans fin, celle que reçoit chacun de ses brins pendant le repos du système des tambours, par le seul eflct de Pécartement des axes de rotation. Cette tension T est donc indépendante de l'action des forces et des résistances actives qui agissent sur le svstème.

Principe de if, Poncelet. t^ étant la tension du brin conducicur