CUIVRE

bonique, Sulfate de cbaui ... — Le cuivre aneniaté dont la couleur est très variable , qui décrépite au chalumeau 9 et se réduit enoD bouton métallique blanc et cassanten développant une forte odeurd*ail pendant l'essai^ solublesanseflervescencedans Tacide ni trique qu'il colore légèccracnt en vert, colorant aussi Pammoniaque en bleu^ on ji trouvé: oxyde de cuivre 0.50,-|- acide arsénique 0.29 à 0.14,-]-^**^ 0.18 à 0.35. — Le cuivre sulfaté bleu, dont la saveur est fortement styptique, qui fond facilement sur des charbons ardents et j devient d'un blanc bleuâtre et qui dépose, par le frollemcnt^ des traces de cuivre rouge sur le fer poli humide. Il est formé d'acide sulfuriqne 0.321 +oxydc de cuivre 0.318 -j-eau 0.360.

Les minerais de cuivre se rencontrent en général dans les terrains anciens et dans les terrains secondaires jusqu'au lias^ ils sont sortout abondants dans le grès rouge.

Quelques méthodes (Tanalyse^ voie humide. C'est à l'état d oxyde ouivrique que le cuivre se dose dans les analyses et il faut avoir soin de le peser chaud.

En général , le moyen le plus sûr et le plus commode d'obtenir le cuivre consiste .à opérer la dissolution de la matière cuivreuse parfaitement pulvérisée dans Tacide hydrochlorique pur et bouillant. Si cette dissolution n'est pas possible, on Popëre dans de Peau régale contenant le moins possible d'acide nitrique. Après avoir étendu d'eau, et séparé par filtration les résidus insolubles, on y fait passer avec beaucoup de lenteur un courant de gaz sulfide hydrique (hydrogène sulfuré) jusqu'à ce que la liqueur en soit complètement saturée. Le cuivre se précipitera ainsi à l'état de bisulfure qu'on réunira promptement sur un filtre et qu'on y lavera avec de l'eau un peu chargée de sulfide hydrique. On laissera sécher sur le filtre'; puis on introduira le filtre avec son dépôt lavé dans le creuset de platine et l'on fera rougir la masse > au contact de l'air, jusqu'à oc que l'on n'aperçoive plus de flammes de soufre dans le creuset. On redissoudra alors le résidu dans l'acide nitrique à l'aide de la cba* leur, on étendra d'eau , on fera bouillir avec ménagement, puis versant une solution de potasse pure dans cette dissolution étendue et chaude, l'oxyde cuivrique se déposera sous la forme d'un préci-

IHtè brun-noir pesant. On recueillera cet oxyde sur un filtre, on e lavera à l'eau chaude, ou le laissera sécher, puis on le portera au rouge dans le creuset de "platine où l'on peut aussi brûler le filtre.

On séparerait ainsi l'oxyde cuivrique des oxydes de fer de manganèse, de zinc de nickel, de cobalt, d'urane, des terres et des alcalis. Il se trouverait môme séparé de l'argent si la matière en contenait parce que* celui-ci, converti on chlorure insoluble par l'acide hydrochlorique se serait déposé avec le premier résidu.

CYCLOIDE. 487

Voie sèche. Le procédé suivant dû à M. Maughan, paraît commode et applicable à des recherches purement industrielles.

Disposez cinq grammes du minerai en poudre dans un tube de porcelaine que vous chaufferez au rouge. Après 5 ou 6 minutes une portion du soufre est dégagée et la masse adhère assez au tube pour ne pas être entraînée par le passage d'un gaz. Faites passer alors dans le tube un courant d'oxygène, il enlèvera rapidement tout le soufre à Tétat d'acide sulfureux ou sulfurique et le cuivre sera complètement oxydé. On reconnaîtra que Topération est terminée lorsqu^il ne se dégagera plus de vapeurs du tube et que l'odeur d'acide sulfureux aura cessé. — Mettez alors la matière du tube dans un creuset avec du flux noir et un peu de charbon. Recouvrez le tout de BORAX ou de carbonate de soude et chauffez au rouge, le cuivre se déposera en un bouton au fond du creuset. L'essai prend environ 20 minutes. — L'arsenic et les métaux volatils s'oxydent et sont éliminés par la chaleur. — Si le minerai contenait do l'étain, il s'allierait au cuivre et on les séparerait comme il est dit page 23. — Enfin, si l'on voulait doser le soufre du minerai, on y parviendrait en mettant une allonge au tube de porcelaine et la faisant plonger dans de l'eau saturée de chlore. L'acide sulfureux serait converti en acide sulfurique et la quantité de soufre se déduirait (voyez équivalents) du poids du précipité qu'on obtiendrait par le chlorure de barium.

Empoisonnement par les sels de cuivre. Le cuivre métallique n'étant pas vénéneux et le fer ramenant les sels de cuivre à l'état métallique, M. Dumas recommande comme un remède assuré contre les empoisonnements par les sels de cuivre l'emploi de la limaille de fer. On prend quinze à vingt gramme^ de limaille, délayée dans du miel et on répète la dose de demi-heure en demi-heure jusqu'à ce que les accidents cessent.

€Y€L0IDE,TR0GH01DE OU ROULETTE (plancheXXWll) . Courbe OiiKmnX* décrite par un point U pris sur la circonférence d'un cercle CNMG qui roule sans glisser sur une droite indéfi* nieOX.

On appelle M le point décrivant, GNM6 le cercle générateur, et OX la base de la cyclolde.

Génération.' Supposons quele mouvement du cercle ait commencé lorsque le point M coincidail avec la base au point 0, origine des coordonnées; tandis que le point M a décrit l'arc cycloldal OM^ chacun des points de l'arc MN a successivement touché et quitté tous les points de la base compris entre O et N, et l'on a évidemment :

arc circulaire MN = droite ON.

488 CYGLOIDE.

Il en est de même pour toute autre position du cercle frëoéraleor, et la distance h l'origine 0 de son point de contact avec la base =Iobgueur développée de Tare de cercle compris entre ce point de coDtad et le point décrivant M ; ainsi :

distance de l'origine au contact = arc [sin. =: J/îry— -f*]

demi-base = demi-circonférence génératrice

baseOA* =2 ic r; •

en appelant r le rayon du cercle générateur, et remarquant <|uele sinus M S de Parc développé MN est moyen proportionnel entre GS et SN, ou entre 3 r — y et y = SN = MP, ordonnée du point décrivant dont OP = X est l'abscisse.

Après une révolution complète, le point décrivant touche de nouveau la base en A^, puis forme un rebroussement A^ z, décritul ainsi une série indéfinie de courbos égales et symétriques par rapport à leur plus grande ordonnée dK qu^on appelle Vaxe de la cycloîde.

Equations de la cycloîde. Elles s'obtiennent immédiatement en observant que pour une position quelconque du point décrivant M od a toujours OP = â? = distance ON de Torigine au contact — NF distance du contact au pied de Tordonnée, d^où

X = arc [sin. = J/ y"(2 r-y)] — KTI?"^^) X = arc [sin. vers. = y] — y/î ry — y» , et comme la différentielle de Tare de rayon r dont le sim =z j/2ry — y* est —r^=z?==, Véquation diffifentielle de la cydinile devient j

K2ry-^y«

Tangentes y normales y rayons de courbures. En appliquant i ces valeurs les méthodes générales rappelées au motcouRBcs, onobtieii en fonction du. rayon r du cercle générateur les valeurs suivaot6 des tangentes normales, etc., rayons de courbure d^un point quelconque M dcnl les coordonnées sont x et y, savoir :

— -- sous-langentc PT y \^y__ tangente MT

V/2 ryj^y« = ^ = tangente de l'angle GTX formé par h tangente GT avec Taxe des X

CYCLOIDE. 4M

V/Sry — y* = sous-normale PN

|/2ry = normale HN

2 V'^STït? = 2 (ry)' =z p = rayon de courbure MM'.

Le rayon de courbure est le double de la normale. -^ Si par le point M quelcooque on fait passer une circonférence génératrice tangente à la base et si on prolonge la tangente en M à la cyclolde, ce prolongement passera par l'extrémité G du diamètre vertical N G, car on a toujours 2 r pour le quatrième terme de la proportion,

TP : PM :: TN : ^-^ . . = 2 r.

La direction de la tangente se confond donc toujours avec celle de la corde MG de Parc supplémentaire de l'arc générateur MN. — La normale à la cyclolde en M étant nécessairement perpendiculaire à la tangente TM, et ayant même valeur v/2 ry que la corde MN, perpendiculaire à M G, il en résulte que cette corde MN de l'arc générateur représente la normale en M tant en grandeur qu'en directioo — que, en la prolongeant d'une quantité NM' :=:NM, on a en grandeur et en direction le rayon de courbure MM' du point M — que ce rayon de courbure est lui-même langent en M' à I arc de cyclolde renversé k^W O — que la développante de l'arc cycloïdal ^o x^ h} h} A^ est un arc cycloïdal Â* pn m K égal à l'arc développéy mais tourné en sens inverse * — que dès lors la demi*cycloïde développée A^ ... A^ est égale è A» K :=z deux fois le diamètre du cercle générateur y ce qui donne en général

périmètre cycloïdal 0MKmA^?7 8r

On voit encore très facilement que les droites m 1 , n29 p 3, A^d menées parallèlement à la base entre Tare cycloïdal et la circonférence gè* oératrice décrite sur l'axe sont respectivement égales aux arcs 1 K» 3 K, 3 1 K, (f 2 K de cette circonférence.

Quadrature, Jy dx esX, comme on Ta vu au mot courbe, l'expression générale de Taire comprise entre une courbe, l'axe des abscisses et l'ordonnée correspondante au point qui a a; et y pour coordon* nèesj or on a ici

y ày j,^.,, p y dy __

dx ::=z -7-r — = dou §—7^--—

490 CYCLOIDE.

l'expression de l'aire cycloïdale devient donc

qu'on peut mettre sous la forme suivante

aire = i^ x - îLV^TyHî''

pour la demi'Cycloïde 0(2K, onaa; = 'TCretj|[ = 2r d'où

aire = ? "sr r*.

La cycïoïde entière est donc égale à trois fois Taire du cercle générateur, et par conséquent les eispaces mixtîlignes Kl 3 (f Â^ K, P M' Ao A^ A^ sont équivalents et équivalent chacun à ce cercle«

Rech'ficatiûny arcs, s étant Parc de cycïoïde^ on a

dy v^2r

ds = Vdx^ + dy* — 7^7^

intégrant^ il vient

dy z=. — 2 1/2 r (2 r — y) + constante.

Il est évident que 1/2 r (2 r — y) est Texpression de la corde quelconque E K du cercle générateur décrit sur Taxe et dont les extrémités ont pour ordonnées y et 2 r^ et comme la partie variable de l'intégrale s'évanouit au point K ou 1/ = 2 r, il s'ensuit qu'elle exprime la longueur de l'arc Y K; on a donc

arc KV = 2 |/2 r (2 r — y) = 2 corde EK

et en géuéral si l'on compte les arcs de cjcloide à partir du sommetK, un arc quelconque de la courbe = 2 fois la corde du cercle générateur qui a les mêmes ordonnées que les limites de cet arc.

Quand y = o. Tare devient = 4 r, c'est-à-dire que

arc demi'Cjcloïde=3 2 diamètre de la circonférence génératrice,

périmètre cjcloïdal = huit rayons générateurs

ce que nous avons déjà vu.

Une simple soustraction donnera ainsi

arc mn = 2 [corde K 2 — corde K 1 ]

CYCLOIDE. 491

c esl-à-dire qae un arc quelconque de cjclolde dont les extrémités mn sont situées d'un môme côté du milieu de la courbe est égal au double de la difTérence des deux cordes correspondantes Kl K 2 du cercle générateur.

Enfin si Von désigne par y' la ligne Kt = (2 r — y) et que Ton change 2 r en D^ la valeur de Tare quelconque Km donoéc ci-dessus devient

arc Km = 2 V^D^ '

ou plus généralement

^ = 4Dy

Le quarré d^un arc compté du milieu de la cjciotde est égal à quatre fois le produit du diamélro du cercle générateur par la projeclion de cet arc sur ce diamètre.

Tracés de la cycloïde. Le ravon r=(/K du cercle générateur étaot connu, cherchez par le calcul la longueur développée 6.283- ... r de la circonférence génératrice — portez celle longueur de o en A.^ — sur le milieu d de cette droite élevez la perpendiculaire dK = 2 r. Du milieu C de dK avec un rayon r décrivez la circonférence génératrice.

Partagez chaque demi - circonférence d 2 K en parties égales d.S^ 3 ly 1 K et la demi-base dÈL^ en un môme nombre de parties égales dB^BG, G A* — par les points de division de la circonférence menez des parallèles à la base — à partir de la circonférence génératrice portez sur ces parallèles, savoir :

lm = rfB, 3p = ifG = 2dB et ainsi de suite f

les points Â^ p m K appartiennent à la cycloïde.

On aurait de même 2 n = c/ Q si l'on avait placé Q sur la base de^ manière que dQ fût égale à Tare d 3 2.

On peut encore par les points de division BQG D de la base, correspondants aux points de divisions 6 g c d de la circonférence, élever des perpendiculaires à cette base BG', QC^; GC', DG^ jusqu'à leurs rencontres GS G^, G^ GS avec la parallèle G^ G* à la base A* D, puis, ar des arcs de cercle de rayon r = G^ A* et des centres successifs ' G^ G* G^ recouper les parallèles i A' <|f A^ cA' dA* à la base. Ces intersections détermineront autant de points A' A^ A* A* de la branche de cycloïde.

Enfin on pourrait déterminer ces derniers points en portant ï i4', TîG% { ce' successivement de /" en A', de G^ en A*, de J'en A*.

Tracé de la tangente, de la normale , du rayon de eourbure. Soit le point m pour lequel on veut avoir la tangente, la normale et le rayon de courbure; par ce point m on mènera une parallèle m 1 à la base.

idS CYGLOIDE.

jusqu'à sa^reoconlre 1 ayec la circonférence génératrice^ parce point 1 on conduira dans cette circonférence les cordes suppléfflentaires iK id; une droite ml menée par m parallèlement à R 1 sera tangente à la conrbe en m, la droite m B menée par m parallélcmeot k i d sera la normale de ce point; en la prolongeant d une quantité B A' =:: Bm on aura A^m = p ^i^ir rayon de courbure de la cjcloUe an point m.

Propriétés mécaniques de la cycfoftfe. Un corps grave abandonoé à Taction de la pesanteur et qui se meut sans rouler, sans frotter et dans le TÎde, le long d'une cycioïdeTenTerséeGHO A, fig. 2, dont la baseCG'est horifontalct arrive au point le plus bas A dans le mèoM temps» ouetle que soit d'ailleurs détendue de l'arc parcouru i; ce qui fait dire que la cyclolde est tautochrcne.

Supposons en effet que le corps grave, placé d^abord en un poist cpieieoaqneMdelacourbe, soitdescenduenO; y'^:^AQ etâ?'==QO «ont les coordonnées de ce points & rr: A P est ^ordonnée du poM 4e départ M on son élévation au-dessus du point le plus bas.

D'une part la vitesse v le long d^une courbe a pour eiprosiofl générale v ^fië j que Ton fait ici

— ds — d$

V = — — d'où di TTZ

dt V

Ïarce que^ comptant Tamplilude des arcs à partir dn point le plo as, l'arc s diminue à mesure que la vitesse v augmente.

De l'antre^ on a pomr la vitesse acquise en un point quelconque 0

V = |/2^ (h — y') dou

--de

dtz=i

mais dans la cydoïde, la relation

anbstitnant cette valear de ds^ il Tient

dont l'intégrale est

I ts= } 1/^ X arc COS. = ^^ 1 + coo^bI«

CYCLOIDE. 49S

et prenant l'intégrale depuis y = A = ÂP jusqu'à y = o

c'est le temps de la demi-oscillaliÔD d'un pendule simple qui décrit un très petit arc d^nne circonférence qui a 2 D pour rayon — la quantité A n'entrant point dans la Taleur de t, il s'ensuit que le temps employé pour parrenir au point le plus bas est indépendant de la hauteur du jpoînt M de départ au-dessus de ce point A.

On démontre facilement que :

Le temps employé par le corps grave à descendre le long de la demi-cycloîde€M Al esta la partie de ce temps employée à parcourir l'arc OA (après être descendu de G MO) comme la demi-circonférenée génératrice est à l'arc TA de cette circonférence.

Le temps employé à remonter Parc quelconque AO, après être ^descendu le long de CM' A est au temps employé pour descendre te long de celle demi-cyclolde comme Parc de cercle A T est à la demicirconférence génératrice.

Soit encore Z un point quelconque de la courbe; ZN la direction du rayon de courbure en ce point; CN une perpendiculaire à- cette direction menée de€, etCZ la corde de Tare (^cloldal GMAZ, le temps que met un corps grave à parcourir la corde GZ est à celui qu'il emploierait pour parcourir l'arc cycloldal GAZ qu'elle sontend, oommeGZestàCN.

Le théorème s'étend au cas où te point Z tomberait entre G et A.

Si donc Z coïncide avec A, comme alors ZN et GN prennent les directions AB et GB, le temps employé à parcourir la demi-cycloïde CM A est à celui q^ue mettrait le corps grave à parcourir sa corde G A

:: i it : |/i -f- f u* :: 1.5708... : 1.8621...

Enfin l'on démontre encore que la cyclotde est la coorbe par laquelle deux points GZ non situés sur la même verticale devraient être réunis pour qu'un corps grave descendu de G en Z le plus rapidement possible, ce qui fait dire que la cyclolde est une Sr^hystO' chrone ou la courbe de plus vite descente.

Newton {Tramacdons phihsophiques, n^224) a donné la solution graphique du problème :

EUnU donnés deux p&inis G Z (fig. 3) fwn située sur une wiéme ver^ tieùlsy faire passer une eycloide par ces deux poifUs.

Joignez les points par une droite GZ; par le point le plus élevé, menez «ne horizontale indéfinie GX; puis en partant de G décrivez une cycloidc quelconque GDA. Par le point D on elle rencontre GZ