RI
COS. d =::
- , ,, rayon terre»tre
COS. de la dépression = r—r- — :—
^ my. ter. + élévaUon
A == R (sec . d — I ) z=: R j -i-^ — 1 j = R (ang • | d tang. d . . . (4)
Substitoant dans («) à la
1)laoe de cos. d sa valeur en onction de l'arc
V et développant - — - en sé-
rie, négligeant les puissances supérieures à d^ et les puissances de - supéS*ienres à la première , on a avec appro- '
Pour une autre hauteur H, on aurai! un autre arc D et
d : D :: ^/T : yB ^
Les dépressions sont sensiblemevU comme les racines carrées des élévations.
Soit fait H = I mètre^ dans la proportion ci-dessufi, il viendra
DEPRESSION, «r 0 = 1/1 =
OD aura sa valeur en secondes en multipliant le second nombre par 206264". 8 qui est la valeur du rayon du cercle en parties de la circonférence^ il viendra
d'où d = 1'55".6X y h
c'est avec cette formule qu^on a calculé la table ci-dessous.
h z=z élévation en métrés au-dessus du niveau de la mer; d = angle de dépression.
Ik 32
Il 4
Il 14
Il 24
Il 53
16 iS
En multipliant les minutes par ISSl'^.SS et les secondes par 30''.864 on aura les distances horizontales MT lorsqu'on con naîtra d.
DESGARTES (René), né à Lahaye, en Touraine,. le 31 mars 1596, mort à Stockholm le 11 février 1650.
DESSIN ET LAVIS. Tous les genres de dessins que comporte la profession d'ingénieur reposent sur des bases et des procédés purement géométriques que nous avons résumés aux mots gbométrib,
PfiRSPEGTlVE isométrique, RELIEF DU TERRAIlf, UOUS u'aVOnS à nOUS
occuper ici que des moyens en quelque sorte ar/iW^u^^ que la science emprunte au dessin pil(oresque pour mieux accuser la forme des objets dont elle s'occupe ; nous y joindrons quelques conseils sur le choix des matières et sur cerlaines manipulations que le dessin et le lavis exigent.
Papiers. — Doivent être sans grain, et présenter une uniformité complète de teinte, lorsqu^on regarde le jour à travers leur épaisseur. Quelques ingénieurs assurent que plus le papier est vieux, mieui il prend le lavis 4 ce qui revient pcut-êlre à dire qu'on faisait autrefois d'excellents papiers à laver, et qu'on en fait aujourd'hui de détestables.
Dimensions- ordinaires , grand-aigle^ 0°>.99 sur O^.ôTj colombier, 0.86 sur 0,57 ; Jésus, 0.70 sur 0,53; grand-raisin, 0.61 sur 0.46.
Pour encoller du papier, lorsque Ton croit cette opération nécessaire, on y applique bien également, soit avec une éponge soit avec une brosse plate, une dissolution qu'on obtient ainsi :
Encollage, — Faites dissoudre sur le feu, dans un li're ou 1 kilog. d'eau, colle de Flandre, 0^125 ; savon blanc, 0^125 ; lorsque le tout est bien fondu, ajoutez alun en poudre, 0^070 ^ remuez jusqu'à ce que la dissolution soit complète. — Elle ne doit être employée que lorsqu'elle est refroidie : elle se conserve quelque temps.
Coller le papier sur la planche d dessiner, mouiller le t^er^o de la feuille avec une éponge et étendre cette partie du côté de la planche et sans Tappujer, après avoir placé entre la planche et la feuille une autre feuille plus petite qui ménagera la points du compas, humecter assez fortement la colle à bouche, la passer entre la planche et le papier jusqu'à ce que le bord de celui-ci soit impreigné de colle sur une petite longueur ; appliquer fortement cette partie contre la planche^ placer une languette de papier sur le bord de la feuille et frotter vi- Tement avec l'ongle du pouce le dessus de la languette pour faire adhérer le bord de la feuille à la planche; continuer ainsi jusqu'à ce que tout le contour de la feuille adhère parfaitement. A mesure que le papier sèche , toutes les boursouflures disparaissent et il est for*
fmeiH tenda. Il faut quelqa^) habitude poar réussir. On y par? ieet quelquefois plus facilemeDleo commençant par les milieux, passiat de là aux angles, etc.
On opère avec plus de rapidité et plus si^rement en détajanl dd peu de colle de Flandre ou de colle à bouche dans l'eau, et retendant aycc un vieux pinceau tout le long d'un des bords dn veno de la feuille qu'on applique ensuite sur la planche, comme nous Tstods dit. On répète la même opération pour les trois autres bords, et surtout Ton colle bien soigneusement les angles.
Pmceatix. On les essaie en les imbibant d'eau, et les promenant sur un papier ou sur le bord du godet. Ils sont bons, si, en yertade leur élasticité, ils perdent subitement la courbure, et reforment leur pointe. Il faut les rejeter absolument^ s'ils forment fourche ou restent courbes. Il faut toujours les bien laver après s'en être servi et n'j laisser aucune couleur.
Les pinceaux ne doivent pas être très fins, sauf pour quelque emploi tout spécial. En général, on les accouple sur une même hampe, un à chaque bout. Le premier sert à étendre les teintes, Tautre à les dégrader ou fondre. Deux gros pinceaux et un moyen suffisent.
Couleure. De V encre de Ui Œne^dncarmin, de Idigomme-gutie et de VifuHgo suffisent à tous les besoins de Pingénieur. Un pain de iéfia tout au plus peut être ajouté à ces quatre couleurs maîtresses. Je ne dirai rien sur le choix des couleurs, ei en particulier sur celui de Tcncre de la Chine, si non que Ton est parvenu à donner à de très mauvaises qualités les caractères auxquels on croyait reconnaître de bons produits. Ce au'il y a de mieux h faire, est de s'en rapporter à un honnête marcnand.
Gratous. On n'emploie que lescrayons de mine de plomb; et parmi ceux-ci, les Conté no d« conviennent mieux que tous]Ies autres, k moins que l'on ne puisse se procurer des crayons anglais. Ceux de Newmann, marqués d'un H, sont excellents pour dessiner les AocAuref (voyez ReUef de terrain). Ceux marqués HH sont préférables pour le dessin des machines et des bâtiments.
Convention. Lorsqu'un dessin doit rester au trait, on est convena de relever par des traits de force ou par des lignes plus épaisses, les faces ou les arêtes vives des faces qui sont opposées au jour. Cette convention permet de distinguer immédiatement les creux des reliefs, les projections horizontales des projections verticales, et £icilite ainsi Tintelligence du dessin. Cette convention en suppose une autre relative au sens suivant lequel la lumière arrive à robjct ; os s'est généralement arrêté à la suivante dans le dessin des machines.
Sen$ de la direction de la lumière. On conçoit l'objet à repréaeBler, placé sur le plan horizontal d'une chambre cubique traDSfMirenle qui
recevraU des rayons solaires parallèles de Parriëre vers Tayant et suîvaot la diagonale du cnbe dirigée du haut vers le bas. Dans celte
hypothèse la projection horizontale et la projection verticale de cette dîagonale(/{^.l)rorment atec la ligne de terre des angles de 45o ouverts à la gauche du spectateur.
Il résulte de cette convention que, un cube , par exemple, qui se trouve représenté par un carré horizontal et un carré vertical sur les plans de projection correspondants devra recevoir des iraiu de force^ savoir :
Dans le plan horizontal sur ses deux arêtes
nord et est.
Et dans le plan vertical sur les deux arêtes sud et est , ou mieux sur l'arête droite et l'arêle inférieure.
Que si ce cube était creusé dans sa partie supérieure et parallèlement à ses faces, le plan horizontal do creux recevrait des traits de force, situés d'une manière inverse par Rapport à Tenveloppe , et la coupe verticale n'aurait de trait de force intérieur que suivant a b i
Enfin la figure 3 montre comment la convention établie ci-dessus s^appliquerait an cas d'un cnbe qui serait snrmoDlé d'ttn parailèiipîpède pins petit.
Il est bon d^ètre prévenu que les topographes n'ont pas génénle" ment adopté cetle direction des rayons lumineux, et qu'il est même des graveurs et des dessinateurs de machines qui, ainsi que les topographes, supposent les rayons lumineux dirigés de haut en bas comme ci-dessus, mais parallèles à celle des diagonales du cube qui plongerait de son angle supérieur nordouest vers Tangle inférieur sud-est.
Il en résulte que les traits de force se trouvent disposés dans les projections verticales comme ci-dessus; mais que dans les projections horizontales, ce serait, par exemple, les arêtes est et sud de la figure 1, qui recevraient les traits de force.
C'est dans ce dernier système qu'ont été exécutés de très beaux et très bons ouvrages, entre antres les belles planches du Traité de Charpenterie de M. le colonel Emy. Toutefois, le premier système parait bien préférable en ce qu'on y distingue immédiatement les projections verticales des projections horizontales.
Parties coupées. Il faut avoir le soin de recouvrir de hachures parallèles entre ellcsetobliquesà leurs limites les parties coupées (/îjf.2). On varie le sens ou la force de ces hachures lorsque deux pièces différentes se trouvent accolées et coupées en même temps.
Si le dessin doit recevoir quelques teintes, on les appliquera comme il est dit ci-dessous.
Teintes. Teinte plate. Si la surface à recouvrir est un pou grande, il faut d'abord humecter le papier légèrement; puis, commençant i plein pinceau et par le haut, on étend la teinte vivement par des coups de pinceau larges et hardis donnés de haut en bas, et en reculant successivement de la gauche vers la droite , ce qui forme comme une série de tranches horizontales dont la gauche ne doit pas être encore sèchclorsque la droite est déjà teintée, et permet de rerenir étendre ou porter plus bas toute la tranche déjà teintée en la fondant ayec celle qu'on teinte. On continue ainsi jusqu'à ce que Ton soit arrivé avec peu de couleur aux limites de l'espace à couvrir; alors, se débarrassant vivement de l'excès de couleur qui peut rester dans le pinceau, on le promène presque sec tout le long de la limite sans
mm.
jamais la dépasser et en chassant vers elle et ramenant vers les angles ou du cùié de Tombre les bavures de la dernière tranche. Ceci demande quelque exercice.
9 Au reste, quand certaine partie de la teinte plate est peu d'accord avec l'ensemble, on Tadoucit'en la frottant, lorsqu'elle est bien se- • che» avec de la mie de pain rassis.
Teinte forte. On ne doit chercher à obtenir des teintes fortes que par une superposition de teintes faibles données successivement comme on Ta dit ci-dessus. Deux couches suffisent ordinairement, quelquefois cependant on en donne trois. La seconde ou la troisième couche ne s'applique que lorsque la précédente est presque sèche.
Teintes adoucies. Elles s'obtiennent en commençant à chasser la teinte à adoucir lorsqu'elle est parvenue près de sa limite. On emploie pour cela un gros pinceau aux trois quarts plein d'eau. Surtout l'on opère vivement en dépouillant lestement le pinceau de tçmpsen temps de la couleur dont il se charge.
Teintes tournantes. J'appelle ainsi celles qui donnent l'idée de la rondeur d'un corps, celles, par exemple, qu on appliquerait sur un . cjrlindre.
Après avoir donné une teinte plate, générale et faible sur tout le cjflindre, on la laisse sécher à peu près, puis on pose une seconde teinte plate qu'on n'étend en une bande rectangulaire d'une faible largeur que sur la partie qui doit élre le plus dans l'ombre. Quand celte teinte est un peu sèche, on la recouvre d'une troisième qui déborde la seconde à droite et à gauche; par-dessus celle-ci , et lorsqu'elle est sèche» on en applique une quatrième encore plus large, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait atteint les limites de l'ombre.
Les parties coupées doivent toujours recevoir des teintes beaucoup plus faibles que les autres.
Intensité des teintes. Dans lès dessins à Peffetj l'intensité des teintes augmente à mesure que les surfaces teintées reçoivent moins directement la lumière; et pour la même surface l'intensité de lateinteaugmente pour les parties les plus éloignées du spectateur. Mais aucun conseil ne peut diriger utilement le dessinateur pour cette partie, et il n'a rien de mieux à faire qu'à copier dé bons modèles; ils sont rares. Je citerai toutefois pour les machines les modèles de M. Leblanc.
Composition des teintes convenitonneUes adoptées pour les minutes. — Dessins d ieffet. Les dessins sont de deux sortes. Sur les uns, les minutes, par exemple, on se contente le plus souvent d'appliquer des teintes qu'on est convenu de réserver pour certains objets, qu'on représente d'ailleurs au trait par des signes de convention. Dans les * dessins d Feffisty au contraire, on cherche à imiter la forme et la couleur générale de ces objets. De là, deux modes de représentation, l'un de pure convention, l'autre qui se rapproche plus ou moins du
geore piltoresque. Ces âeoxf enres sont dHûUeure rarenieBt bien di* stincU; beaucoup de dessins à TefTet portent des signes conTeiKioiinels, et les minutes offrent souvent aussi de petits détails qui les rendent en partie des dessins à Teffet. On conçoit que tout cela dépend du gfoût de ringénienr et du temps qnMI peut consacrer à son travaiL
Nous donnons ci-dessous la composition des teintes conrentionnelles qui, on le pressent, ne sauraient être arbitraires, sans qu'il en résultât une confusion telle que la minute d'un ingénieur deviendrait inintelligible peur un autre. Nous y joignons quelques conseils sur la manière de teinter ou de pocher certaines parties princîpaiea dans les dessins d l'effet. Les chiffres qui entrent dans la composition des teintes expriment les quantités de couleur délayée à saturation ^ on prend pour unité ce qu^un n^me pinceau chargé contient de cha* CAUW d'elles. Ces formules sont d'ailleurs peu rigoureuses, et il suffit dans la^ratique de ne pas s'éloigner trop des proportions qu'elles indiquent.
Afin d'éviter la répétition incessante des mots teinte» amoeniionr ndhs et desstns d l'effet, nous convenons dans tout ce qui va cuivre d'indiquer d^abord la teinte conventionnelle pour chaque objet, puis delà faire suivre d'un tiret qui on séparera tout ce qui se rapporte au dessin à l'effet. Les divers objets sont d'ailleurs rangés par ordre alphabétique.
Arbres isolée. Teinte jaune du côté du jour, verte du côté de Pombre. — De môme, et de plus on trace à l'encre de Chine pâle la projection de l'ombre sur le sol.
Bins (pièces de). Carmin gomme^'gutte et encre de Chine. — ^De même. Il convient dans les coupea transversales d'indiquer au trait quelques cercles annuels, ainsi que les rayons suivant lesquels le bois se fendille.
Bois-forêts. Teinte plate légère, jaune verdâtre, composée de 1 gomme-gulte -\-\ indigo-}- ^ ^au. — Le feuille presque toujours est le même pour toules les espèces de bois. Cependant si c'est un bois de sapin, on l'indique par quelques étoiles qui sont en effet la projection horizontale de cet arbre. Les feuilles doivent être très légers ; ils sont en général d'autant mieux faits qu'ils ont coûté moins de travail. On parviendrait facilement avec un peu de goût à feuiller les principales espèces de bois, de manière à les faire reconnaître. On teinte le côté clair avec la cduleur conventionnelle, mais on rekaaaae les massifs du côté de l'ombre avec un second pinceau chargé de vert foncé = 1 gomme^gutte -^ 1 indigo -|- 8 eau. On projette enaotte quelques ombres avec de l'encre de Chine claire, et l'on donne dans les petits intervalles quelques touches feuille marte avec mélange oonvenable de gomme-gutle et carmin. Les bois de. sapin doi-
DESSIN ET LAVIS DES PLANS. i2i
vent tfrer sur le noir, ceux de châtaignier sur la teinte feuille morte, les chênes sur le vert.
Broussailks. Panaché, jaune paille et Yert léger. Jaune paille x= 1 gomme gulte -|- 1 5 eau . Yert léger = 3 gomme gutte -f- 2 indigo-f- 15 eau. — Mêmes teintes de fond; on ajoute à la plume quelques petite^ touffes très légères et très espacées, sans aucune régularité ni sjmétrie.
Bruyères. Panaché Tert et rose. Les deux teintes s'appliquent alfernativement et se fondent Vers (enrs bords communs. Yert = 3 gomme gulte -f* ^ îudigo -f- 18 eau. Rose = 1 carmin -}- là eau. -^ Mêmes teintes.
Côiet. Les côtes s'expriment suivant leur nature. Mais il est souvent utile de joindre aux |)lans qui comprennent des eûtes les profils perspectifs du terrain pris de certains points de la mer. '
Cuivre rouge. Carmin et un peu d^encre de Chine.
Cuivre jaune laiton. Gomme gutto et un peu d'encre de Chine.
Champs (honclosj. Se laissent en blanc. — Champs clos. 3 gomme gullc -[- < carmin -\~ \ encre -f- 8 eau. . — On en divise Tétendue cii petits quadrilatères, trapèzes et triangles, par des lignes tracées à la plume et sans la règle. On donne à l'ensemble une teinte de fond très légère formée d'un panaché triple de vert bleuâtre, de nankin et de brun clair. Ensuite, à Taide d'un pinceau très fin> on mène des sillons parallèles trembloltés, d'une couleur qui tranche avec le fond de chaque quadrilatère.
Étangs. Une teinte générale et plate de 1 indigo-]- 20 eau, qui à moitié sèche recevra ensuite du côté de Tombre une sorte de feston à dentelures longues, inégales, disposées horizontalement, formées de 1 indigo -{- S eau. Du côté du jour, avec une teinte un peu plus faible, on formera un feston semblable et à dentelures moins longues. — De même, à moins que Ton n'y dispose avec goût quelques parties plus claires et presque blanches comme des reflets de lumière.
Fer. De même que la fontc^ mais le bleu domine encore plus, et la teinte est plus claire.
Fonte. Indigo, carmin et encre de Chine. Le bleu domine.
Fleuves et rivières. Teinte plate générate formée de 1 indigo -^ 20 eau. Ensuite on file les eaux parallèlement aux bords avec 1 indigo -^ 8 eau, en diminuant la force et en augmentant Técartement des filets depuis les bords jusqu'au milieu. Tout reçoit d'ailleurs une teinte un peu plus pâle du côté du jour. Une flèche doit toujours indiquer le sens du courant.
Friches. Panaché vert pistache et aurore léger. Vert = 4 gomme gntte^ 1 indigo -f- 15 eau. Aurore = 1 gomme gutte ^ | carmin -j-l ^ ^9lU. — De même, à cela près, qu'on ajoute quelques touches de
%it DESSIN ET fcÂYlS DES PLANS.
\er(=l,gomme guUe--}- i indigo-^-l^ eau^dans les parties où ii y a quelaues herbes^ et qu*oD y figure par louches légères les petites masses d arbustes.
Uahitations. Teinte plate et claire de carmin avec liseré de earmîn foncé du côté de Tombre; les habitations isolées doivent recevoir une teinte plus vive que celle des villages.
Haies. Comme les bois....
Jardiné, Teintes plates variées, jaune paille, vertes, panachées — Se finissent en sillonnant les plates-bandes comme les terres labourées, et choisissant d^ailleurs des teintes brillantes et claires. Les bosquets comme les bois taillis. ^
Imcs. Teinte plate générale de 1 indigo-}-20eau.On file ensuite les eaux avec 1 indigo -|- 8 eau parallèlement aux rives en diminuant de force et augmentant Técartement des filets depuis les bords Jusqu'au centre, et donnant toujours des teintes plus fortes du côté de ToRibre que du côté du jour.
Landes, Vert olive et aurore pâle. Vert olive =:1 gomme gutte -[- j indigo-|-| carmin -|- 8 earu. Aurore pàle = l gomme gultc --1 carmin -f- 10 eau. La teinte vert olive forme le fond de la lande. L'aurore sert à figurer les flaques de sable qu^on y remarque. —De même pour les dessins à TelTet.
MaçotmerieSy maisons en f terres. Teinte plate et claire, de carmin, «avec liseré plus foncé du côté de Pombre. Il est utile de prévenir qu'aux ponts-et-chaussés les maçonneries construites reçoivent une teinte noire, celles à construire une teinte rouge, colles à démolirune teinte jaune, tandis que dans les plans du génie militaire les maçonneries construites sont rouges, celles à construire jaunes, et la teinte noire y est réservée pour les ouvrages construits en terre. — De même. Maison donne souvent aux châteaux, casernes et grands bâtiments une teinte et quelques traits pour figurer leurs toits en ordoises. Cette couleur d'ardoise s^obtient avec.de l'indigo et un peu <l'encre de Chine.
Murs coupés. Faible teinte de carmin.
Murs vus extérieurement. Ton jaune-gris de gomme gutte> encre de Chine et un peu de carmin.
Marais. Vert d'herbe et bleu léger. Bleu = 1 indigo -j- 20 eau. Vert d'heibc = 3 gomme gultc -|- 1 indigo -j- 8 eau. On donnera une teinte plate d'abord avec le vert sur les parties couvertes de verdures, puis d^autres teintes plates avec le bleu sur les flaques d^eau qu^on ondulera ensuite horizontalement avec un blcu=l indigo + 10 eau. — De même dans les dessins à refTct.
Mers. Vert d'eau léger i^z i indigo -}- ^ gomme gutte -f- 24 eau. On donne une teinte plate avec ce vert, puis Ton renJbrce les bords
par une Icinle = i indigo -f- ^ gomme guUc -|- 10 eau gur un centimètre de lar;?eur environ, et laissant un intervalle de 1 millimètre le long de la côte. On adoucit cette teinte vers le large. — De môme. Eo outre, on file quelquefois les eaux et pour imiter les vagues, on forme avec la teinte forte ci-dessus des sillons interrompus, tremblés, un peu courbes, mais parallèles à la côte, en les diminuant de force à mesure qu^on s^avance au large.
Montagnes. Teinte transparente d^encre de Cbine, môlécd'un peu d'indigo. Les plateaux nus restent blancs. — Lorsqu'on devra employer les hachures pour exprimer \e relief, on pourra souvent se contenter de les dessiner avec un crayon un peu tendre, puis la teinte ci-dessus ou mieux une légère teinte de seppia fixera le crayon. On obtient souvent ainsi d'excellents ciïets. L'usage a prévalu toutefoisde dessiner les hachures à la plume. Dans Tun et l'autre cas, on prend d'abord pour directrices les courbes horizontales du terrain qu'on ne trace qu'au crayon et extrômemeul faibles, pour ainsi dire par points, puis on commence les hachures par le haut des pentes. Il n'est point nécessaire que les hachures d'une tranche fassent suite à celles delà tranche précédente ; on adoucit les dernières hachures vers la plaine en les terminant par des traits légers et des points allongés. On les adoucit aussi un peu vers le haut, à moins qu'elles ne forment les bords d'une cavité, auquel cas elles commencent brusquement. Dans les gorges, où elles vont à la rencontre Tune de l'autre» on les raccourcit beaucoup pour qu'elles ne se croisent pas. On adoucit encore les hachures dans les colsy et on e.st souvent obligé de les j raccourcir. On interrompt les hachures partout où il y a des chemins et des routes.
Prairies. Vert d'herbe = 3 gomme gutte-|- 1 indigo -\- io eau. — De même. Mais on donne de plus, çà et là, quelques touches de gomme gutte et carmin et quelques pointillés à la plume.
fioutes et chemins. Teinte rose très légère sur les chaussées pa-' véesj on laisse les autres en blanc.
Rivières. Voyez Fleuves.
Rochers, Se font à la plume, en imitant le mieux possible la forme et les accidents qu^ils présenteraient si on les voyait de haut. Les faces dans l'ombre se teintent à la seppia ou à l'encre de Chine pâle. Teintes et touches très heurtées, avec fortes oppositions.
Sables. Aurore = 2 gomme gutle -j- - carmin -[- 16 eau, — On reprend en outre les bords de l'ombre par la même teinte, mais plus forte qu'on adoucit en revenant vers le jour» et l'on pointillé ces bords à la plume chargée de cette dernière teinte. On figure les cailloux avec de l'encre de la Chine pâle.
Terres humides. Panachées horizontalement vert et bleu. Vert=:
3 gomme galte -|- 1 indigo -{-10 eau; blea = 1 indigo ; -|r ^ ^ ^^- — De même. Se touchent comme les marais, mais les flaqaes d'eao doivent être moins apparentes.
Vergers. Vert d'berbe léger = 3 gomme gutfe -|- 1 indigo -{-15 eau. — On détache en outre les arbres par leurs teintes propres eC ' par leurs ombres portées.
Vignes. Lie de vin = 1 gomme gulte -{- 1 carmin -{- \ indigo -f- 1 0 eau. — Même teinte plate pour le fond. On dessinera de plus les ceps comme de petits arbres isolés, et leurs ombres projetées sur le terrain reproduiront Pcchalas et les feuilles.
Fû^e, boue, l gommeguttc-|-| encre deChine-{-un peu de carmin et de bleu -{- ^4 eau. — De même. On force un peu du côté de Tombre en adoucissant vers le jour.
Ecritures, Les écritures doivent toujours être faites avec un très grand soin. Il faut, aulant que possible, les disposer de manière qu^elles puissent être lues sans qu'on ait à tourner le plan. Cependant les noms des rivières s^écrivent dans le sens du cours de l'eau, et ceux des routes se couchent parallèlement à leurs directions ; le principe qui doit diriger Pingènieur est de donner aux noms un caractère d^une force proportionnée à Timportance des objets qn^ils désignent. On a cru devoir fixer le genre de caractères et la hauteur des écritures aux diverses échelles pour près de deux cents objets. Je ne reproduirai point ici cette table qui me parait tout à fait mutile.
DÉVELOPPANTE DU CERCLE (fl. XLIV). On a vu au mot Courbes, p. 431, ce qu'on appelle en général une développante et une développée^ et Ton trouve au même article les équations de ces courbes ; nous ne nous occuperons ici que de la développante da cercle, fig. S.
* Tracé {fig. 2). Soit MAB ... F, l'arc de cercle à tléveloppcr. Par Tune de ses extrémités F menez une tangente en F à Tare donné. Prenez sur cette tangente une longueur Fm^s la longueur de Tare à développer. Si cet arc, dont le rayon r est connu, embrasse la Qiène partie de la circonférence on a
partagez la tangente Fm en un nombre très grand, mais quelconque de parties égales, et Tare MB F en un même nombre de parties égales. Par les points de division de Tare A,B..E menez des rayons, et des perpendiculaires à chacun d'eux. Sur chacune de ces tangentes^ à partir de leur point de contact, portez successivement A e' =: ¥e.
DEVELOPPANTE DU Cf.RCLE. &25
Bd'= Frf = 2Fe, Ce' = Fc = 3 F «.... F m = 6Fe,pai!ipar les points M^ e'j â^ c'j Vj a\ m ainsi déterminés» menez une courbe; elte se rapprochera d'autant plus do la développante de Tare qu'on aura divisé cet arc en un plus grand nombre de parties. Elle serait exactement sa développante si un fil inextensible couché d'abord sur Tare F M et armé d^un stjlc en M avait balajé Taire mixtiligne M A f^m:
Dans les grandes épures, la développante se trace par ce dernier procédé, et lorsque la circonférence & développer est décrite sur un plan sans épaisseur, une muraille, un panneau qu^on ne veut point découper, on enfonce des pointes sur celte circonférence, assez rap-
f)rochées pour que le polygone formé par le fil enveloppant se cononde sensiblement avec elle.
Tangente et normale. La génération de la courbe montre que pour conduire une tangente a'T à un point quelconque a' de la développante, il faut de ce point a' conduire une tangente a'E à la développée; puis par le point a' une perpendiculaire à cette tangente.
Propriétés. On voit facilement que :
Les tangentes à la. développée sont normales à sa développante.
Les parties Ae', Bd' ... Da' des tangentes à la développée com-
Krises entre les points de contact A B ... D et la développante sont is rayons de courbure de celle-ci aux points e' d'... a'.' Chaque rayon de courbure d'une développante, Ea' par exemple, a même longueur que Tare M B E de la développée compris entre le point de contact E de ce rayon et l'origine M de la développante. Si Ton décrit sur un même arc MBF des développantes de cet arc qui soient équidistantcs, tels que Mm^ Aa^ BA^ un arc concentrique M' F' i l'arc développé est coupé par les développantes en parties égales c'c" = c'' c'", et les parties d'une même tangente Fm comprises entre les développantes Mm Aa Bb sont, alors, égales entre elles et aux arcs développés; M A = A B = ma = ab.
Equation polaire de la développante Çfig. 4). Soient Om z=: o le rayon vecteur d'un point m de la courbe, r = OF le rayon de Parc développé, a t'arc de rayon = i compris entre la direction du rayon Tecteur et Torigine M du développement; f l'arc du rayon 1 compris, entr^cette même direction et le centre F de cburbure du point m> on a pour un point quelconque m
arc(MN + NF)=:Fiii or arcMN = ra; arcNF = r<p; Fiii= J/t>« — r»
r = r cos. ?; cos. ç =: - ; ç = arc ( cos. = - |
5Î6 DEVELOPPANTE DU CERCLE.
d'où, pour l'équation de la courbe
+ arc (cos. = "A = i^*"-
4^pplication aux cames. Si uoo came en développante M i' m fixée a son arc développé M i F soulevait verticlsfloment uu pilon suivant Fm, i^ le chemin vertical parcouru par un point quelconque du . pilon serait toujours égal à Parc décrit dans le. même temps par un point quelconque de l'arc développé, tournant autour de son centre 0; 20 le moment de la résistance du pilon par rapport à Taxe O serait constant pour toute la durée du mouvement et égal au produit de cette résistance par la distance constante du point O à la projection^ sur la direction horizontale O F, du point de contact de la came et du pilon. (Voyez Bocards et Game.)
Application aux dents des roues (fig, 3). Etant données les distances des centres A B et le rapport des vitesses angulaires que doivent recevoir les deux roues; partagez la ligne AB des centres en deux parties BT AT qui soient dans le rapport inverse de ces vitesses. Parle point de division T, menez DTE, formant avec ABun angle quelconque ; des centres A et B menez dos perpendiculaires A D, BE à DTE, et avec ces perpendiculaires comme rayons, tracez les cercles DH EF, auxquels D E deviendra une tangente commune.
Par le point T, faites passer la développante H KT de la circonférence DU et la développante FTG de la circonférence EF, ou donnez aux deux cercles des dents formées sur ces développantes, il se conduiront l'un Tautre dans les conditions suivantes :
10 Le contact des dents aura toujours lieu sur la tangente commune DE, et elles se pousseront dans la direction de cette tangente, quel que soit d'ailleurs le nombre de dents en prise.
2* Les vitesses de leurs circonférences DH EF seront les mêmes, de sorte que Tune décrivant un arc F/* par exemple, l'autre décrira un arc H A = ¥f dans le ^néme temps, car on a
HA=DH— DA=DT— D/=«T=Er — ETr^E/"— EF^zF/".
30 Si la vitesse a la circonférence de la roue conductrice esWconstante, celle de la roue conduite le sera aussi ;[dés lors les vitesses angulaires seront dans le rapport inverse et constant de leurs rayons. Ces rayons AD BE étant entre eux :: AT : BT, le rapport constant des vitesses angulaires sera égal au rapport inverse des segments AT BT do la ligne des centres.
40 Le travail de la roue conductrice se transmettra toujours soiyant DE à la roue conduite. Il donnera lieu au point de contact des dents à un effort constant N qui produira lui-même un frottement
DEVERSOIRS.
constant /'N; toutefois le travail de ce rrotlcmcnt ne sera pas dans un même temps> le môme pour l^une et Pautre dçnt en contact^ parce que les arcs de glissement qui passent Tun sur l'autre ont dcslongueursdevcloppéesdifréren(e$(vojczM6' eta'm, Rg. 2). Lesarcsparcourus étant plus petits à la racine des dents qu'à la pointe, il en résulte que les dents en développantes ne s'usent point également, et que la plus grande usure a lieu à leur racine. (Poncelet, Mécanique industrielle).
DÉVELOPPEMENT DES SURFACES, voyez Gbométrik,
TBAiÉS,
DÉVERSOIRS, voyez ëgoclbiient.
DIALLAGE. Substance minérale verdâtre ou brunâtre, donnant de Peau par calcinalion , fusible en un verre blanchâtre qui brunit au feud'oxidation; difficilement altaquable par les acides.
La diallage|proprement dite, est un hydro-silicate de magnésie plus ou moins mélange de chaux, d'alumine et d'oxide de fer. Elle se trouve en général dans les dépôts porphjriques.
DIASPORE. Substance minérale en lames jaunâtres ou brunâtres un peu fibreuses donnant de Peau par calcination, infusîble au chalumeau. La diaspore est un hydrate d'alumine.
DIFFÉRENTIELLES. Nous appellerons différentielle A' une fonction u l'accroissement que cette fonction subit par suite des accroissements que recevraient elles-mêmes les quantités variables xyz.,, dont elle dépend, si les accroissements de ces variables étaient infiniment ou plutôt indéfiniment petits.
Quelque vague qu^une telle définition puisse laisser dans Pesprit, nous ne pourrions tenter de le faire disparaître qu'à la condition de nous jeter dans une métaphysique assez subtile, et dans des développements que la nature de cet ouvrage ne parait pas comporter. Nous renverrons le lecteur au Traiié du Calcul différentiel de M. Lacroix, h la Métaphysique de ce calcul par Camot^ à une note très intéressante sur. la nature des infiniment petits de M. Poncelet; et nous nous bornerons à donner les moyens pour ainsi dire mécaniques d'obtenir les difTérentielles des fonctions les plus usuelles.
Dans tout ce qui va suivre^ les quantités constantes^ c'est-à-dire celles que Ton considère comme ne changeant point de valeurs, seront désignées par les premières lettres de Talpbabet. On désignera au contraire par les dernières lettres stuvxyz\e& quantités va^ rtableSy soit celles qu'on considère comme changeant ou pouvant changer de grandeur. Leurs accroissements respectifs infiniment petits, seront désignés par ds.. dxdydz. la lettrée!, abrégée du
528 DIFFEfiENTIELLES.
mot diffëretUiellejesi donc ane caratéristique, et non ooe qnaotité (i). Lorsqu'elle précédera une parenthèse ou lorsqu'elle sera snîifie d'm point elle indiquera que la quantité comprise entre les parenthèses ou celle qui suivra le point est à différenîier.
Constante. La différentielle d'une quantité constante est nulle on zéro, puisqu'on admet qu^elle ne peut recevoir d'acroissement.
Deux fonctions identiques mais de formes différentes ont des différentielles égales; mais Tinverse do cette proposition n'a pas^ lieu, et deux différentielles égales n'appartiennent pas nécessairement a des fonctions égales. Car les constantes séparées des variables par les signes -}- et — disparaissent par la différcntiation. La diiïéreotielle bdx par exemple est celle de io? aussi bien qu^e celle
dea-|-^^-
La différentielle d'une fonction de x composée de plusieurs
termes s*obtient en prenant la différentielle propre de chaque terme
avec le signe dont il est affecté -, u v u> étaftt des fonctions de x^ on
a donc
df(w-|- V — u)^z=idu-\'dv — dw,
La différentielle du produit d'un nombre quelconque defonctioas est la somme des produits de la différentielle de chacune, multipliée par toutes les autres fonctions
d(ut;tD) = ut>dM) -\-uu>df) -[- v%iodu
d. xy = xdy '•{'ydx
d. au = adu.
Fractions. La différentielle d'une fraction ~ dont les deux termes
sont yariables se forme en multipliant le dénominateur y par la différentielle dx du numérateur^ retranchant de ce produit ydxcûvx xdy du numérateur x par la différentielle dy du dénominateur et divisant le tout par le quarré y*^ du dénominateur
j X y dx — a? dy
(1) Le R. P. PauHan, quia si malheareuaement commenté l'aoaljse des iofiniment petits da marqais de l'Hôpital , n'avait pas à ce qu'il parait fait cette diatîoction. Aussi, de Féquation :
, dx fdy
il déduit celle-ci :
ds= sd
«Q étant, dit-il très naîTement, lei lettres qui se détruisentm ( Voj. p. 263 de soa Commentaire.)
DIFFËSENTlfELLES. i^9
si le numérateur esl constaot, sa difforeDlielle propre est nulle, et
dès lors
a — orfy ,
rf. - = —
si c'est le dénominateur m qui est constant, on a, en appliquant la règle ,
j/ m ds dx
Puissances. La différentielle de la puissance quelconque d^uae fonction positive négative entière ou iracUonnaire se forme en multipliant la différentielle de la fonction par Texposant de la puissance et diminuant Texposant primitif d'une unité :
d. X = mx dXy d. u = — nu du
d, ax = tnax dx
a. - z= a. (TV = ^ ^
m n m o d in m ii<^l n qi— 1
d [ax y ]=iwc d. y ^ay d. x zzznax y cfy-|-may x dx.
Si la quantité est complexe, et si elle ne renferme pas d'ailleurs de puissances de quantités complexes, on difTérentie séparément chacun des termes qui la composent :
r . el b dx ' e dx
Les régies ci-dessus suffisent lorsque la fonction porte un exposant total comme celle
on égale alors toute la quantité afTectée de cet exposant à une variable auxiliaire, x par exemple , et Ton substitue dans le résultat final les vraies valeurs de z et de dx. Ainsi pour diflérentier la fonction ci-dessus, on pose
a"\-bx =x d'oùu = z et dxzizmbx dx
comme d. x zx nz dx^ il vient
Il m- 1 B- 1
d [a -j- i.r"'] = mnbx [a -f i*^"] dx
530 DIFFERENTIELLES.
on aurait de même :
{x + ay ^ (a + 3 6 — 2 a) (g+o)' dx (X + 6;« ~ {a? + 6)»
Il est quelquefois commode de faire emploi de deux variables auxiliaires.
Radicaux. Si la quantité proposée est radicale, on ramène la différenliation à la règle précédente en substiiuant aux radicaux des exposants fractionnaires , ainsi :
— X dx
Radicaux du second degré. L'application de la règle ci-dessas, montre que dans le cas particulier d'un radical du second degré, sa difTérentielle s'obtient on divisant celle de la quantité^ qui est sous le signe par le double du radical.
Différentielles des ordres supérieurs. Après avoir obtenu la différentielle du d'une fonction u, on peut avoir à difTérentier de nonveau cette diiïêrenlielle prenoiière duj et l'on obtient ainsi la diflerentielle seconde d. du, ou d^u^ diiïérentiant cette difTérentielle seconde d du on obtiendrait la différentielle troisième(2(i du ou d. d^u oud^u et ainsi de suite. Le chiffre de la caractéristique d indiquant Tordre de la difFcrenticllc, ne doit pas être confondu avrc un exposant. Il nefaut pas confondre non plus Tcxpression d^x avec celle d!x*; la première indique une difTérentielle du n^"*^ ordre et la seconde la Qèœe paissante de dx. Les différentielles des ordres supérieurs s'obtiennent successivement par les mêmes règles que les différentielles premières. Il suffit donc d'appliquer les règles ordinaires en regardant successivement 2?, y, dx, dy, d^x, d^y... comme autant de variables différentes» à moins toutefois qu'il ne convienne de supposer que Tune d'elles est constante. On aurait donc
d. dx^zd^x
d. d^x=zd^x
d, *j:t/ = rf. d.xyzzzdlxdy -|-yrfa;] = ird*y -j~ ^dydx -\-yd^x
d.^x^ z=zd.d.x^=d.2xdx=z'2xd'^x-^2dx^
rf. xdy — xd^y -j- dxdy
DIFFERENTIELLES. &31
, Tdxl d*x dx d*y
[d^\~ IJ d^
d» ax = nax dx
d. ax =zn(n — i)ax dx
rf, ax =ii(n — 1) (n — 2)ax da:
d. ax =zn(n — 1) (n — 2) (n — 3) aa? dx
d. ax —n(n — i)(n — 2) 2XtXiadx
Si n était entier et positif, cette expression serait la dernière différentielle que pût fournir la fonction ax".
Si Ton demandait les diiTéreniielles des quatre promiers ordres de Texpression
tt = 6a?'—70.'e* + 336ir* — 861a?* + 12740?* — 1092«'
on obtiendrait successivement et toutes réductions faites, savoir:
d« = 42(a?— l)*(x— 2)'(a? — 3)(iaj
d'u = 84(a?— l)'(a:— 2) (3ar*— 13a:+ 13) dx^
d»u = 84(a:— l)(l5x* — 85a:' + 155a:— 91) da;* »
d*M= 168 (30a:* — 1 50x* + 240a? — 123) dx*"
Il arrive très souvent que dans le cours des calculs où il entre plusieurs variables, on suppose constante la difTérentielle première de Tune de ces variables, dl par exemple. Il est clair que alors d^i et par suite toutes les autres différentielles supérieures d*/, d*^ . . de cette quantité sont nulles. Ainsi d^ étant supposé constant» ou aurait
[dx\ d'x
dx étant supposé constant, on aurait aussi
\àx\ dxd^y
ldy\ ~ dir~
582 DIFFERENTIELLES.
Différentielles logarithmiques. La différentielle du logarithme dans uo système quelconque égale le produit du module M par la différentielle du nombre y divisée par le nombre même
d. log. y=z ^-
La base du nyslème logarithmique étant a^ on sait que Ton a en général
(a-l)-l(a~i)« + i (a-l)»-etc.
Dans le système vulgaire , on a a = 10 d^où
mais pour plus do simplicité, on emploie souvent les logarithmes dits naturels j népériens ou hyperboliques que nous désignerons par log, hyp. dont le module M =:1 et dont la base toujours désignée par «est
en aorte que Ton a
log. hyp. e = 1
et Zf s étant des nombres quelconques
X = log. hyp. e s'=z log. hyp. e
Nous ne ferons usage dans cet article que des logarithmes dits hyperboliques^ on les transformerait» au reste, en logarithmes vulgaires en les multipliant par le facteur 0.434294 ... et au contraire en multipliant un logarithme vulgaire par le facteur
en le transformerait en un logarithme hyperbolique. Cela posé , on obtient facilement
d. iog. byp. « = -^ d. log. hyp. - = '^
SB w SB
d. log. hyp. (a + a) = -^
d. log. hyp. — — z= d. [log. hyp. a — log. hyp. (a -f- a)] =
ndx
d. iog. hyp. X z=:d[n log. hyp. .t] =
DIFFERENTIELLES.
d. [log. hyp. :r] = n [log hjrp. x]
d. log. hyp. (xy) = -^ + -^
rf. log. hyp. - = — *— — o •'r y X y
, , , aA-x dx dx
d, log. hjp. :^-^ = ^-p - —
o — dp
rf. Jog. hyp. [a» + X*] = -^T+iT-' = iq::^
d. log. hyp. |/«M^ = d. [i log. hyp. (a«+x^)]=^.
a*ctx
d. log. hyp. Lc"'(a4-*^") =^ log.hyp.r»-flog.hyp.(a+ft^) 1 = d. [m log. hyp. x -[- f 'og- hyp. (a -|- Jx")]
d. log. hyp.
\/i + x — VI — J?
d. log. hyp. [^ + \/o« + ««] =
— dx
dx
dx
^^ log. hyp. [x y/—{ 4- |/T^r^] = -^^ ^^,
W. log. hyp. [log. hyp. ;r] =
Vl + a?»
dx
X log. hyp. X
Expmentidlêi. La différenlielle d'une quantité exponentielle ou à exposant variable se trouve en multipliant cette quantité exponentielle par la différentielle de son logarithme. Continuant à employer les logarithmes hyperboliques dont la base est «=: â.71828 ... oa aur;ait :
d, e z=: e d, log. hyp; e ::=: e d. x log. hyp. e =: e dx
534 DIFFERENTIELLES.
mt ms
d. g =e mdz
d. a =: a dx log. h^^p. a
d. œ z=i X d. log. hyp. ;» = a? d [y log. byp. a?]] = œ \dy log. hyp. X + ^1
' d. xz=x[\-\- log. hyp. «] das
d. [o'+ y ] = aix log. hyp. a + y 1 d* log. hyp. y + ^1
d. [a» + 0^] = (a» + «»/ [dœ log. hyp. (a» + x») + ?;^]
d. A - = — (a -|- 2 p x) dcc log. hyp. m
I I d. a^ = a** 4? dfaî log. hyp. a log. hyp. b
^ rf. z' = ;s*' / ]^d$ log. hyp. r log. hyp. z ^*^^'<>g'hyp. z^^j
Foncltonf circulaires, x étant un arc quelconque du cercle dont le rayon = 1, et sin a; son sinus; sin {x -f- dx) — sin x sera Taccroissèment de ce sinus correspondant à Paccroissement dx de Tarc^ or
sin (jî -|- dx) — sin x =. sin x cos rfa? -|- sin dx cos x — sin a:
Mais, à la limite, le sinus d'un arc infiniment petit est cet arc luimême, et son cosinus ne diffère pas du rayon ; on a donc
sin dx = dx et cos do; = 1
il en résulte que d. sin a; = c^j? cos x et cette différentielle suffit pour trouver celles de toutes les autres lignes trigonométriques.
En supposant d'abord pour plus de généralité que le rayon du cercle est r, il vient
, . * dx cos X , — dx %\nx d. sm X = ; d. cos x =
j 1^ r^dx — r^dx
o. lang X = : d. cotanir x = — :
" cos »aj ^ siD *x
. r dx sin x dx taiic x sec. x
d. sec. X = : = 2
cos *x r*
d. cosec X =
DIFFERENTIELLES. 533
dxcosx — dx cotang x cosec x
sin *x r*
dx sin X
d. sin vers. « = — cf. cos 05 =
A l'aide de ces formalcs, on peut trouver la différentielle de toute expression renfermant des sinns, cosinus, tangentes, etc.; il faudra pour cela différentier en regardant ces quantités comme des fonctions particulières et mettre au lieu de leurs diflérentielles/les résultats cidessus; Ton obtiendrait ainsi :
, . dx cos X cos y — dy sin y sin x
d. sin X cos y =
. . "> m dx 009 X sin x d. sm x=z
, "* — m dx ê\n X cos x a. cos X =
- ■» r* m dx tang a?
rf. tang X = —-2
cos *a?
. m— I "■ -^r^m dx cotang x
d. cotang x = : — :
sin *x
et faisant maintenant r.= 1 afin d^abréger, on aura d. sin mx = m (/x cos mo); d, cos mo) = — mdx sin mx
d. tang ma? = — ; 'a. cotang mx
d. sec. ma? =
cos *mx sin *mj;
mdx sin mx
d. cosec mx ==
cos *mx — m (f« cos mx sin 'ma?
lin X f In z
d. C(»S £B Z=Z dx cos CB
[sin '«ri cos a; log. hjp. cos asr j cos X I
• Il • dx cos x\
d. log. bjp. sin X = .^ ^ = dx cotang âb
sin X
— dx sin a?
d, log. hjp. cos SD = — dx tang a> =
(f. log. hyp. tang x =
cos X dx 2 do^ dx
cos X sin a; sin 2 j; cos *x tanz £
536 DIFFERENTIELLES.
Différentieltêê de Pare. Après avoir traité les lignes trîgonomètriqoes oomme des fonctions de l'arc, il conyient de regarder Tare comme fonction de ces lignes et d'en déterminer la différentielle sons ce point de vue. En partant des relations précédentes, on obtient facilement, r étant le rayon :
(f. arc. [sin = a?] =: —- ■
d. arc. [cQ3 = y] = T^v^
rf. arc. [Ung =r: »] = j;j-|-^
faisant r = I , on aurait de même
d, arc. Tsm = 2» t/l -^t*'] = , , j
y ix-^mdy
d. arc
. [tang = ^
Différentielle éPune fonction d plusieurs variables. Soit u une fonction de plusieurs variables t,x,y,z.,. la différentielle totale de celte fonction s'obtiendra en faisant la somme de tontes les différentielles partielles. Chaque différentielle partielle s'obtiendra elle-même en difierentiant la fonction totale par rapport à Vune des variables, les antres étant considérées comme des constantes.
Si Ton convient d'exprimer une différentielle partielle , celle par
rapport à x par exemple, par la notation — — qui exprime la
portion de la différentielle totale due à la variation de x seule , on peut exprimer la régie par la formule
- du- .^ . du . . du . , du .
dt ^ dx ^ dy ^ * d%
Remarquant bien toutefois que -— - ne se réduit point à du, comme
cela aurai^ lieu cependant si u ne renfermait que la variable I.
Appliquant la règle à quelques exemples, on trouve, comme on Ta déjà vu :
d. ixyz = xyzdt -}- tyzdx -}- txzdy -j- txydz
d. SB y = mx y dx -}- ny x dy d. X =: yx d« -j- aï dy log. hjp. x
