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et s'il arrivait alors que l'on eût BGD = - , la division de T se trou-

verait opérée par les lignes D/', DB, DG.

T Si le triangle DBG se trouve au contraire plus petit que -, s'il

est égal par exemple à - — GD/*", on divisera la différence CDf" par la moitié de la perpendiculaire D/* et Ton aura

' ~ Df

si enfin DBG est > -, s'il est égal k - -\- z, on divisera Pexcès z

par { D&' et Ton aura pour quotient la distance du point de division sur CB.

Solution graphique du mémo problème (fig. iS, pi. XLV). Prenez CE = f AC; joignez DE; menez Bf" parallèle à DE; m étant le miiiea de Bf" menez m/' parallèle à AD; tirez DB, Df\ Bf", elles partagent le triangle en trois parties équivalentes en partant du point D^ Pune d'elles allant au sommet.

JroMt^er dam l'intérieur du triangle ABC (fig. i7, pL XLY) tm point D tel que les droiteê menéee de ce poùu aux trou sommet» partagent le triangle en trois parties équivalentes.

Partagez un des côtés A G en trms parties égales; par le point de division le plus voisin de la base menez une parallèle pp' à eette base; le milieu D de pp' est le point cherché.

Diviser un triangle donné ABC (fig. 17, pi. XLY) en trois parties proportionnelles àm:n:p par des Ugnes menées d'un point tnemmu aux sommets XBC. des trois angles.

On partagera la base AG en trois parties proportionnelles à m : n : p. Par les extrémités de la partie moyenne on mènera des parallèles aux deux autres côtés; le point D où ces deux parallèles se couperont sera celui d'où partent les droites de division cherchées.

Trouver dans Vintérieur d'un triangle dont l'aire T, les côtés abc et les angles ABG opposés à ces côtés sont connus ^ un point O qui soit d égale distance des trois sommets j et déterminer le rapport entre les irais triangles formés par les droites menées du point 0 aux sommets ABG.

Appelant a ^ y '^ angles autour du point 0 respectivement op> posés aux côtés a i c du grand triangle, on a

OA = OB = OG = r = — - =: rajon du cercle circonscrit;

et les triangles partiels sont entr'eux respectivement comme les sinus de leurs angles en O, ou !: sin. a : sin. ^ : sin. y.

Retrancher d'un triangle BCA = T (fig. 16, pi. XLY) un autre

triangle dont Voire soit - par uns droite qui soit la ptus courte possible.

On opérera vers le plus petit des angles du triangle. Soit B cet angle : on le divisera en deux parties égales par la droite BH et per le point D, et par H on conduira DHE. Les points D^ H, E sont don* blement déterminés par

BD

===BE== |/?IKM BH = cos. iGBA [/^«XBA

Etant données les deux hases b B cPtm trapèze dont Paire est T et la hauteur H (Sg. 14^ pi. XLY), en séparer par une droite B' pmrwMIs

€tux baies un trapêxe compris enlre b et B' et qui ait une aiire déterminée t.

On a pour la hauteur h et pour la base B' de ce Irapèxe

Partager un quadrilatère ÀBDG = K (fig. 15, pi. XLV) en deux parties Q Q\ qui soient entre eUes comme m : npar une droite fp parallèle à kH.

Prolongez AG BD jusqu'à leur rencontre R et soit H la hauteur du triangle ABR et T son aire; soient aussi t Paire du triangle RGD et R A = H'. Si H' était connu on porterait cette valeur sur H à partir de R et par son pied k on conduirait ff parallèle à A6. Or, ou a

" V (» + n)T Si Q et Q' devaient être équivalents, on aurait m = n et dés lors

Enfin s^il s'agissait de partager K en n parties équivalentes chacune = t par des droites parallèles à AB, on chercherait par la trigonométrie la valeur de A B ; puis prenant à partir de R et sur AR des distances R/'=: x tig=:zz' R A = ;e" ... on conduirait par les points ff g,h ... des parallèles à AB. Ges pointa f, jf, h seraient déterminés par les relations :

«=AR i/'+«; «'=AR l/^+T; ji"=AR

Solution graphique du problème : [Diviser un quadrilatère ABDG (fig. 1> pi. XLYI) en deux quadrilatères équivalents par une droite fp parallèle dkB.

Prolongez AG A B jusqu'à leur rencontre en R ; par le point D menez DE parallèle à la diagonale BG. Marquez le point m milieu de EA; aur R A comme diamètre décrivez une demi -circonférence; par le point m élevez ml perpendiculaire à RA ; de R comme centre avec la corde R I comme rayon décrivez un arc qui coupera R A en // la ligne de division cherchée est la parallèle à AB qui passe par ce point/*.

Par une droite partant du sommet D l(fig. 2, pi. XLVI) partager le quadrilatère ACDB = K en deux parties AGDE, EDB qui soient entre elks comme m : n.

On aura ^^ •

EDB= •*'^

fîl -|- fl

et connaissant Dd = h, on en déduira