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ÉGKOUIR uo mélat, c'ceI le batirc ou le tamioer k froid pour le rendre plus roide, plus dense el plus élastique. ~~ Il perd ces qualités Iors(]u'on lo Tait recuire.
ELLIPSE (yff. i.pl. Ll), courbe Iclle que la somme des dtstaDces
M F 4* M/ d*uii point qnelcoBqoe M de ieli^^éviMiélre à dMi fK>iiris fixes F, f est constante.
Définùiùns et notations. Les points fiies F, / sont les foyers de
née qni passe par un foyer f est le paramétre p de Tellipse ; toato droite MM"' terminée de part et d'autre au périmètre et qui passe en même temps par le centre C est un des diamètres de Peilipse; si par le point M''' on menait une tangente à la courbe, puis par le centre (1 un diamètre M' M'' parallèle à cette tangente , M' M" serait le diamètre conjugué de M M'''.
Equations, L'origine des coordonnées étant au sommet A , on a
facilement pour l'équation de la courbb
a*y^z=b* (2ax' — «") . . • (<) L'origine étant au centre C, l'équation devient
a»y*+ 4»«» = c»J> ou |! + ^ = i . . . (2)
Il y a entre les abscisses x* comptées du sommet A et les abscisses a» comptées du centre G la relation
La distance d'un foyer au centre ou l'excentricité c =: G F = G ^ est en fonction des demi-axes
Les distances v,v\ des foyers ^ F à un point quelconque M de l'ellipse dont l'abscisse est x ou les rayons vecteurs de ce point sont respectivement
^ * f , ex I I A
vv' :=za^ ... (5)
de sorte que si l'on désigne par x, z\ les distances d*un même foyer f aux sommets A et B du grand axe, on a
z =: a -j- c ... js ' = a --^ c , * , (6)
t»)8 ELLIPSE.
et covuM (« — <?)(« + c) = CI* — c* on oofteiul ^ l'eqoalioD (I)
b^ = zz'; b= V/TT' ... (7)
c'est-à.<lire que le demi-petit axe est rocyenne proportionnelle entre les deux distances d'un même foyer aux denx sommets A el B.
Le paramètre /> = K K' a pour valeur générale
il est une troisième proportionnelle an grand et au petit axe. Si ron introduit cette valeur du paramètre p dans les équations (1 et â^ de Tellipse^ Téquation an sommet A devient
et celle au centre G
Equation polaire. La mécanique et Pastronomie ex^nt souvent que Ton rapporte Tellipse à ses coordonnées polaires {fig, l). Soit alors V le rayon vecteur conduit d^no point M quelconque an foyer/ situé du côté des x positifs; Q l'angle X/*M compris entre Taxe éa X et la direction dev',v' le rayon vecteur FM mené de Tantre foyer F au point M, c Texcentri^té = y a» — 6» , e le rapport de cette excentricité au demi-grand axe^ on a
f) z=z z=: — ^ 1 , (iQ^
a -f- c 008 6 1 -f- « cos 0 ' ' v J
le pôle étant en / et les arcs comptés à partir du sommet vobin B. Si Porigine était à Tautre foyer F et que Ton continuât 6 commer
les arcs 0 dans le même sens , il faudrait changer e en e dans la
valeur ci -dessus.
En désignant par z la distance /'A = a + ae du foyer /"au sommet A de la courbe le plus éloigné de ce point (6) on met souyent l'équation ci-dessus sons la forme
ELLIFSEï 609
Normale i^taÊ^mi^^fig. 1). Pour an point quelconque H dont x' on X est rabscisse, suivant que l^on compte les abscisses du sommet A ou du centre G, on a (Foy^jcGouRBBs)
sous- normale = PI = - (a — a/) = — a?. . . (14)
.= l/^^l (2 axf — a>'«) + ^ (a — a?') » normale = MI { ... (15)
^ 2 ax' — «'• a* — »* ..^x
sous-tangente =: PT = : — = . . (,10;
tangente = MT ( . • • (17)
Si à la sous-tangente TP on ajoute CP ou (a — x^ on a pour la distaoce du centre G an point T où la tangente de M rencontre le grand axe
