CP : AG :: AC : GT

on aurait de même

cr = - . . . (19)

Ray<m de courbure. Gomme dans les autres sections coniques, on a pour le rayon de courbure p au point quelconque M (fig. 1), N = MI étant la valeur (15) de la normale à ce point

(nonnale) » __ J^ /g^x

P ~ (dcmi-paramèlre)* Jp" ' '

L'expression suivante du rayon de courbure p de l'ellipse ne 6gure point dans les ouvrages élémentaires publiés en France, vv

ét/int le» distances respectives (5) da point quelconque M aux foyers,

on a

faisant successiyement â?' = 0 et d?' = a, on obtient pour les rayons de courbure p' p" aux sommets du grand et du petit axe

Vaire A deVellipse est le produit des deux demi^axes par le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre

A = « . ai . . . (23)

Propriéiés principales de Vdlipee. L'équation (1) au sommet pouvant être mise sous la forme

y - ^ - il' /24)

montre que le carré d^une ordonnée quelconque PM au grand axe {fig, 1) est au produit PA X ^^ ^^ Aenx abscisses x* (2 a — a;') comme le carré du petit axe (2 (^ ^^ ^u carré du grand axe (^ay. Si Ton prend le petit axe D D' pour celui des x^ et le grand axe pour celui des y, on trouve encore que le carré d*un y est au produit des distances de son pied aux sommets D^ D' comme le carré da grand axe est à celui du petit axe.

Pour un autre poiot dont le pied de Tordonnée y^ aurait pour distances aux sommets A et B les valeurs x^ et (2 a — x^)on aurait encore

a?j (2 a — a?,) ~ a« ~ oj' (2 a — «') ' * ' (^^)

donc les carrés de deux ordonnées quelconques sont entre eux comme les produits des distances du pied de ces ordonnées aux deux sommets

La même proposition a lieu, mot nour mot, si l'on prend le petit axe pour celui des abscisses et le grand axe pour celui des ordonnées.

Si du centre C d'une ellipse {fig, 2, pi LI) et avec le rajOD CA = a on décrit un cercle et qu'on compare son équation au centre avec celle de Tellipse, on trouve que les ordonnées s da cercle circonscrit et celles y de Tellipse correspondantes à une même

abscisse x sont entre elles comme le grand axe 3 a et le petit axe S b de l'ellipse

Si Ton opère de même, en employant b pour rayon et qu*on prenne les ordonnées s' y' parallèles au grand axe AB = 2 a> on a

Si par un point qnelconque K de Tellipse (fig. 3) on prolonge la droite FK t^ée de l'on des foyers F jnsqu'à ce que son prolongement KG soit égal à la distance Kf de l'autre royer (en d'autres termes si par F et K on mène uoe droite FG = 2 a), enfin si du point K on mène KT'' perpendiculairement à ^G, KT" sera tangente à V ellipse en K, et Kl perpendiculaire à T' T" sera normale aa même point K.

On en conclut facilement que :

Les droites K¥ = v\ K/=v qui vont d'un même point K de- Tellipse à chacun des foyers forment avec la tangente T' T'' en K des angles égaux

FKT' = fKV . . . (28)

Et Texpérience ayant appris que les rayons lumineux qui tombent snr une surface polie se réfléchissent suivant un angle de réflexion égal à celui d'incidence, on voit que les rayons émanés de l'un des foyers d'une ellipse (on d'un ellipsoïde de révolution) se croiseront tous à l'autre foyer après la réflexion.

Si l'on mène par le point K une perpendiculaire KO à la tangente T V, la normale Kl divisera l'angle VKfen deux parties égales.

Deux ellipses qui ont le même centre et leurs axes dans les mêmes directions ne peuvent être ni équidistantes ni parallèles.

Il en résulte que si l'intrados d'une voûte est. elliptique et que le bandeau ait une largeur constante , la courbe d'extrados ne saurait élre une ellipse. Les plans de joint normaux à l'intrados ne sont donc point normaux à l'extrados.

L'expression (16) de la sous -tangente PT ne renfermant que Tabscbse et le grand axe, on peut en conclure (fig. 2) que si I on mène une tangente TV au cercle décrit sur le grand axe AB au point Y on ce cercle est rencontré par l'ordonnée PM à l'ellipse, les tangentes YT, MT aboutiront au même point T sur l'axe, car PT sera toujours le même tant que a et x ne varieront pas.

DonC; toutes les tangentes aux points correspondants de toutes Ics^

en ELLIt^E.

ellipses décrites sur an même grand aie AB se rencontrent an mte point T.

La droite TG (fig. 6) menée par le sommet T d^nn angle fTf' circonscrit à nne ellipse et par le centre G de cette coarbe divise la corde de contact tt' en deux parties égales.

Le sommet d'un angle droit dont les côtés seraient oonslamment tangents à une ellipse décrirait un cercle.

Si des foyers d'une ellipse, on coudait des perpendiculaires i one tangente à la coarbe, le produit de ces perpendiculaires sera égal at carré du demi-petit axe.

Les ordonnées n à un diamètre quelconque OE (fig. 4) jouissent de propriétés semblables à celles des ordonnées aux axes AB=:2f| DD' = â (. Ainsi Téquation de Pellipse par rapport à de|^x diamètres conjugués qaelconques OE, NS est semblable à celle que l'on ai regard des deux axes principaux ; prenant l'origine au centre C, faisant OE = 2 B, NS = 2 r, Gm == m; mn = n on a ponr Téqnation au centre

On démontre facilement à Taide de cette équation, que :

Tous les diamètres de Tellipse se coupent au centre en deux parties égales.

Ghaque diamètre EO de l'ellipse coupe en deux parties égales le parallèles à la tangente ET'' qui passe par son origine E.

La tangente i Textrémité N ou S du diamètre NS est parallèle ai diamètre EO.

Les ordonnées n au diamètre EO sont celles du cercle qui aorait EO pour diamètre, mais diminuées ou augmentées dans le rapperl de R à f et inclinées sous un angle égal à celui des diamètres conjugués.

Si Ton yeut saroir en quel point de Tellipse les deux diamètres conjugués peuvent être égaux, on fera

Les parallélogrammes T T' T'' T'" (fig. 4) construtts sur les diamètres conjugués sont équivalents au rectangle des axes ; a étaai Tangle compris entre les deux diamètres conjugués â R, 2 r, oai donc

R r sin a =ai. . . (31) La somme des carrés de deux demi-diamètres ou rayons coDJi-

gués R » r est constante et égale à la somme des carrés des deux demi-axes

ajoataot d'une part celte relation (32) avec la précédente C^l), retranchant d'autre part la première équation de la dernière^ on obtient les valeurs suivantes

a + * = V R* + »•• + 2 R r sin a

a — b = V R> + r* — 2 Rr Bin a

qui donnent les axea d'une ellipse , lorsque Ton connaît deux diamètres conjligués et Pangle qu'ils forment entre eux , car on en tire immédiatement

2 a = ^ R« + r> + 2 R r sin a + V^R« +~r* ^^2 R r sId a

a * = |/R*+r« + «R raina — V R» + r« — 2 R r sino

Si dans un cercle on fait rouler un autre cercle d'un diamètre moitié moindre, un point quelconque pris dans le plan de ce dernier décrit, dans son mouvement, une ellipse dont les demi-axes sont égaux, Tnn à la plus grande et Pautre à la plus petite distance de ce point à la circonférence du cercle roulant.

Tracés. Les cfeint-axes a et i étant cannuSf on peut tracer Tellipse par l'un des moyens suivants^ savoir :

Par points^ en calculant diaprés les relations (1 ou 2) et construisant les yaleurs de y correspondantes à des valeurs de x ou x^ que l'on se donne à volonté.

Soit par exemple a = 10, & = 6, prenons x'zrzi il vient pour la valeur correspondante de y en partant de Péquation (1) au sommet

y = ± ^ [/ 2 X 10 X 4 — 16 = db 4.8

Le double signe indique pour le point j;' = 4 deux ordonnées, l'une inférieure et l'autre aopèrieure, égales chacune à 4.8. Si l'on eût employé l'équation (2) au centre , x eût représenté

et pour le même poiat , x étant négatif, on aurait eu comme cidearos

Autre tracé. On peut encore décrire du centre G (fig 2) un cercle sur le grand axe 2 a, diviser sa circonférence en parties qu'il est plus simple de prendre égales, abaisser de chaque point de division Y des ordonnées ou sinus ^=VPsur le grand axe, puis prendre pour la valeur des ordonnées correspondantes PM de Fellipse, ou les y en vertu de la relation (36)

PM = - . PVj yz=z-.i

On pourrait opérer de raéoie en prenant le petit axe 2 CD pour diamètre, les ordonnées y' de l'ellipse parallèles au grand axe deTÎendraient alors (27)

On obtient ainsi un nombre indé6ni de points de Tellipse par lesquels on fait ensuite passer une courbe continue, ou que Pon réunit (>ar des droites lorsque Tellipse est très grande. Les tables données i 'article sinus facilitent beaucoup l'application de cette méthode aux grandes épures.

Le tracé suivant est préférable sur k papier (fig. 5). Sur une droite ca portez le demi-grand axe a de c en a et le demi-petiC axe 6 de c en À; lirez les perpendiculaires indéfinies AB, DD'; sur les côtés des angles droits formés par ces perpendiculaires, faites mouvoir la droite ac de telle sorte que ses points ab soient constamment sur les axes et le point c de la droite fournira autant de points c e' e" de l'ellipse que cette droite prendra de positions différentes 5 on fera alors passer une courbe contmue par les points e c* c" D A.

mnp étant Tune des positions quelconques de la droite cba^ les triangles semblables Cmn, pno donnent

Cn : no :: mn : np d'où l'on tire

Cn-^no : no :: tnn-^np : np ou x : |/6«— y* il a : b et

expression qui est Téquation (2) de l'ellipse au centre.

Compas d èlUpse. La démonstration ci- dessus justifie le principe d'après lequel est construit le compas à ellipse ordinaire (fig. 5) et qui permet de tracer cette cearbe avec continuité. L'instrument se compose essentiellement de deux coulisses AB, DD' dans lesquelles glissent avec aisance deux coulisseaux ab assujettis avec des vis dans la fente d'une alidade abc, le point c de l'alidade porte une douille munie d'un crayon ou d'un pinceau chargé d'encre de Chine. On

ELLIPSE. 6t5

dispose les coulîsseaux et Falidade de manière à avoir ac=a=dciiiigrand axe et Ac=:&=: demi-pelit axe.

Etant donnés les deux demùaxes a h^ trouver les foyers Vf.c étant la distance d'un foyer an centre, on a (4)

CF = C/ = c = v a« — 6*

On pent encore de Textrémité D du petit axe (fig. 1) et^ avec un rayon égal au demi-grand axe a, recouper le grand axe par un arc de cercle qui donnera ainsi F et f.

Les fovers ¥f étant connus, on pent les faire servir an tracé de l'ellipse (y!^. 1).

Sur le papier , on prendra une ouverture quelconque de compas FM < grand axe 3 a; de l'un des foyers, F par exemple, on décrira un arc de cercle ; de l'autre foyer / avec une ouverture de compas fa = 2 a — FM on décrira un second arc qui recoupera le premier en deux points MM' qui appartiennent à Fellipse dont on trouvera ainsi tant de points qu'on voudra.

Sur le terrain, on fixe deux piquets aux foyers F f, on enfile sur ces points fixes les extrémités d'une ficelle terminées chacune par une boucle qui tourne librement sur les piquets; on donne à la ficelle une longueur égale au gi;and axe, puis avec un traçoir qu'on fait glisser en même temps qu'il maintient les ficelles également tendues, on trace les courbies. Ce procédé réussit assez bien sur le papier en remplaçant les piquets^ la ficelle et le traçoir par des aiguilles, un fil de soie et un crayon.

Lorsque les axes d'une ellipse sont peu difTéronts l'un de l'autre, on remplace cette courbe par celle dite anse db panibr; mais il importe de remarquer que l'anse de panier ne jouit point des propriétés géométriques de l'ellipse.

Tangentes, normales. Pour conduire une tangente et une normale à la courbe en un point donné K (Jig. 3), meoez d'un foyer Fet par le point K la droite FKG = â a=:grand axe, ou faites KG = fK distance de K à l'antre foyer /. Joignez fG et menez KT^' perpendiculaire à fG. On peut aussi diviser l'angle /KG en deux parties égales, la bisectrice T' T" sera dans les deux cas tangente en K à l'ellipse.

La droite Kl perpendiculaire en K à la tangente T' T" est normale à la courbe en K.

Rayon et centre de courbure. Nous avons donné ci-dessus les valeurs générales (20, 21) des ravons de courbure de l'ellipse. Voici un procédé graphique pour aéterminer les centres et rayons de courbure desaections coniques. Ce procédé fort peu connu est attribué à Keil, géomètre anglais, mort en 1718.

K (jig. 3) étant le point dont on yeut obtenir le rayon decourlNinp, on mène une normale indëGnie KO par ce point, puis da niêne point K et par le foyer voisin f on conduit une droite quelconque KQ. Parle point I où la normale rencontre le grand axe, on mène une perpendiculaire IQ à cette normale, puis par le point Q où cette perpendiculaire rencontre K /"Q, on élève une perpendiculaire QO à cette droite* le point O où elle rencontre la normale est le centre de courbure ; OK est le rayon de courbure p du point K.

Par unpoini extérieur T (6g. 6, pi. U) mener des Umgenies d Fdlipse. Du point T comme centre et ue sa distance TF au foyer voisin F comme rayon, décrivez un arc t F o; recoupez cet arc en t et o de Pautre foyer /'comme centre, et d'un rayon égal au grand axe. Menez les droites /t, /o; ces ditûtes détermineront par leurs intersections I, i' avec Tare ellipticrue des points i, l' qui appartiennent ara tangentes Tt, Tt' menées uu point donné T.

Mener à Fettipêe (fig. 6) une tangente parallèle d une êraiu émmk MN. Du foyer voisin /menez une perpendiculaire indéfinie /A à la droite donnée MN; de l^autre foyer F comme centre et d'ao rayoa = grand axe, recoupez cette perpendiculaire en A ; tirez FA, l'intersection I de cette droite avec l'ellipse est le point de contact de la tangente parallèle à MN, tangente qui passe aussi par le milieu ai defX. Le problème a évidemment une autre solution et il y a une autre tangente opposée qui satisfait à la question.

ENGRENAGES. Le fond de cet article appartient presque cd entier à M. Robert Wtllie, professeur à l'Université de Cambridge, et il forme une des parties les plus importantes de ses Prmeiple$ «/ Mechanism^ auxquels j*ai déjà emprunté l'article Bibllb. Cet ouvrage n'ayant pas encore été traduit, je me suis trouvé obligé d'entrer dans des développements hors de proportion avec l'éfendae de mon Aide 'Mémoire ^ j espère toutefois que l'importance pratique do sujet , que les points de vue nouveaux sous lesi^^uels M. WtlUè Pa souvent envisagé, excuseront une prolixité que j'aurais évitée sll m'eût été permis de renvoyer le lecteur à l'ouvrage original.

L'ordre que j'ai suivi dans cette exposition est le suivant :

10 Considérations préliminaires sur le roulem^t et le glissement et sur les vitesses angulaires simultanées des pièces tournantes qui se conduisent par contact immédiat;

âo On en déduit des théorèmes généraux et les conditions auxquelles les systèmes tournants doivent satisfaire;

30 On se trouve ainsi conduit k cinq sobuions ihéorigueê da problème des engrenages;

40 On montre l'application successive à la pratique de chacune de ces solutions;

5« On remplace les (racés rigoureux par un tracé à Paide d'ares de cercle, fondé sur les principes qui ont été développés.

RoulemefU et glùêement. Soient (fig. i, pi. LU) deux pièces BD, AC qui se conduisent l'une l'autre par contact immédiat, en tournant respectivement autour de leurs centres de rotation B et A , et soit H leur point de contact à Porigine du mouvement. En passant de cette première position à celle qui est ponctuée, les points p de A et n de B sont parvenus au contact en M'. Ce mouvement n'a pu avoir lieu sans que chacun des points de Tare M p de Tune des courbes ait été successivement en contact avec l'un auelconque des points de l'arc Mn de l'autre courbe. Si la nature oe ces courbes, supposées continues, est telle que les arcs Mp, Mn soient inégaur, il y a eu nécessairement gUêsetnent le long d'un chemin égal à la différence des arcs; si an contraire Mp = Mn, aucun glissement n'a eu lieu et le mouvement s'est transmis par le roulement des arcs l'un sur l'autre.

Rapport des vitesses angulaires instantanées. A, B (fig. 2, pL LU) étant toujours les centres de rotation des courbes, soient P et Q les centres de courbure ou PM, QM les rayons oscnlateurs de ces courbes au point de contact M actuel. PQ sera nécessairement une droite, normale en M aux deux courbes, et égale à la somme des rajons de courbure. Si l'on suppose que, ponr un mouvement infiniment petit du système, cette droite reste constante, et si l'on joint par une droite AB les centres de rotation des pièces, on aura entre les vitesses angulaires simultanées Y^ Y, des pièces A, B et pour la durée infiniment petite du mouvement de ces pièces la relation très simple

V, : V, :: BT : AT

T étant le point d'intersection de la ligne d'action ou de poussée PQ avec la ligne des centres de rotation AB.

En effet, soit (fig» 3, pi. LII) kpqB la position, infiniment voisine de la première, prise par le système des droites de la figure 2 en vertu d'un mouvement infiniment petit des deux courbes; menant des centres A, B de rotation, ainsi que des nouvelles positions pq des centres PQ de courbure, des perpendiculaires AR, pm, fis, qn à la direction primitive de la droite PQ dont la grandeur est supposée constante, on retombera ainsi dans le cas du mouvement virtuel d'une bibllb PQ articulée en PQ et conduite par des bras AP, BQ. Ck>mparant le triangle ARP au triangle infiniment petit Ppmot remarquant' que pour un mouvement virtuel Pp est perpendiculaireà AP, Pmà AB et que l'onadèslorsanglepPm=,PAR, il vient :

Pp : Pm :: AP : AR

dt* ENGBHRâCaS.

OB «unit àt nêne entre Qqn et BO^

Qn ; Qg :: BS : BQ

enfin Ton anrait encore entre k» tringle» ART, BST l'ecUngloa S etR

AT : BT :: AR : BS

Multipliant ces proportiona par ordre , remarquant que ponr w OMUfement virlnel Qn 3= Psi pwsqae PQ est constant, il tient

T5 = V, : ^ = V, :: BT ; AT :: BS : AR Air ny

Ainsi les vitenei angulaires inêianianêeê de deux courber fui se a»iuiêent par contact immédiat êont entre eXteSj réciproquement^ emÈn lee êegmente de la Ugne des centres de rotation, déienmnées par Tintasection de cette ligne avec la nortnale commune aux deux courber m leur paini ds coniaety ou rée^ofuemeni t>êmfne les perpendieulainf menées des œnires de rotation d la direction de cette normale.

Déterminer Pétendue du glissement. Soient toujours (fig. 4> p'* ^ A, B les centres de rotation de deux pièces quelconques qui se condoisent par contact; BH, A m la position de ce$ pièces à an însUit quelconque du contact; HD la normale commune en leur point de contact M; Bm, A m les positions des pièces dans une situation da système infiniment voisine de la première ; m le nouveau point de contact; p, n les points des pièces A et B qui étaient au contact en M. Joignez les points p et n. Ponr un mouvement infiniment petit, p serait une droite perpendiculaire à la normale commune MD, elk serait la différence mp — mn des arcs qui ont passé l'un sur Taiitre, et elle exprimerait l'étendue du gUssemeni. De même, pour un mouvement initial, Mp serait une perpendiculaire à AM et Bf » à BM; on a donc

pn sJD p M n ainBMA sin (BAM + ABM)

pVL^ e\fi pnU, ~ sii» DMB "" aio DMB

On aurait de même pour l'autre pièce B

8tn BMA

»M ainBMA

Ainsi pour chacune des pièces Parc du ghssemeni est à Pare pf^ couru par h point de contact comme le sinus de la somme des compris entre la Ugne des centres et les ragons de contact ^ est au de Pmdinaison de la normale en M sur le rayon de contact de pièce.

EHBiinnfiis. M»

Tirani des expressioiis ci-desras les drax vale^n d« l'ara 4ê gUssemenl pn, on voit que cet arc ne peut deyenir nul^ pendant le mouvement, qu^à la condition d'avoir toujours

sin BMA ^ sin^ftAM + ABM) = 0

Ainsi, les courbes n$ f^WfqiU se eauduiro par roulemmt, et sans glisser Vwm sur FautrSf {u'aiclanl que les rayons veetmrs du poùU de contact coïncident avec la Ugne des cmlr^s^

Or, lorsque- cette condition est satisfaite, la normale commtine PQ (A9- ^) ^^^ ^^^^ courbes coupe la ligne des centres au point de contact qui devient T, donc :

lorsque deux courbes se conduisent, en roulant sans glisser tune sur Foutre^ les vitesses angulaires sont rédproqutment comine Us distances du point de contact aux centres de rotation.

Si les courbes sont des ftBVELOPPAirrBS de cercle (fig* 5), menant B D perpendiculairement i la normale commune MD, et remarquant que pour une développante cette perpendiculaire est eonstaole, on a en faisant BD=r=l

BD=BM. sînDMB; sinDMB:^ ~

d'oà l'on' voit que le rapport

pn ^ BM.wbBMA BN pM r "^ r .

de Tare du glissenMut pn à i'arc décrM par le rayon ve<|teur AM du point de contact M croit pour la pièce A comme la perpendiculai» BN menée de l'autre centre de rotation sur le prolon^ment de ee rayon vecteur.

Les courbes étant j savoir (fig. 6) : une tsWiOASbek tè^smani mtemr du centre A et une droite tournant auUmr de B, l'angle D MB devient droit et le rapport ,

i!L =: sin BMA ^ sin (BASt + ABM) pM

croit comme le sinus de BMA ou comme la distance du point de contact à la ligne des centres.

Deux cercles , ou plutM deux cylindres {fig. 7, pL LII), qui se conduisent mutuellement par Tadhérence de leurs sudhceii convexes en tournant a«tour de leurs centres ou axes jouissent au contraire de la double propriété d'avoir toujours leur point de contact sur la ligne des centres et de rouler Tun sur l'autre sans glisser. Les vitesses an- ^ gulaires V^ , Y, de chacun d'eux sont donc réciproquement comme

les rayons B<^ B^ de ees ffemlesie^imtraifoÉs^IlluMf ooi^ftstk leiilpport des vitesses angulaires est lui-même constant. Aucune aatn courbe que le cercle nt^'salisfatc k fàf fQi&àH6tifle!)''cea.cobAitioiis, aucune dés lors iie conviendrai!^ Iniéu àTî ttahIroisBion dll^ollT^ ment par contact immédiat,, si dans le cas d'eflbrts assez faibles les surfaces c6tiWies des'^cyhmefn*(îiJ^^ ''J" \ ^.

QiiôM'ïl ^ 'soiL il bnvj^étud^^^

mouTeineW adfa^t là Mq^^ (>R^ Trois cas principaux se pfAseiaeat: Jes,yU^siQi^M(riiM^deft(to

axes étant connues ou fixées d'avance, ainsi que les situations de

ces axes, le mouyement se transmettra .sSibà'i^issement d'an axei

Tautre et dans un rapport constant par Pan deasystémes suivanls :

l^i* Cas. Si les axes sont parallèles {fig. 7) on nartageca lepr iistance AB en deux parties TA = B,, TB = ll'^^u?Mi%rdki&1t rapport inverse des vitesses angulaires Y. «Y, , et l'on montera sur ces axes des tambours ou cylindres dont les surfaces convexes»ront revêtues de cutr de iu/^ifo^ àe cordes plates, etc.; N^N^ étant alois les nombres de tours accomplis dans un même temps par rone et l'autre roue, T^, T^ les dutéesre^c^e» d'un méinenombrede révolutions pour chacune , on aura en vertu des théorèmes ci-dessoB et en remarquant que des longueui;s ^g^les de chacune des circooftrences traversent la ligne des centres dans un même temps

2« Cas. Si tes axes de rotaiion ne sont pas paràllelfs mais sont^ pris dans un même plan (/tg. 8) , A étant le point H'intèrseçtion et ces axes AB; AG, dont les vitesses angulaires doivent ètife i)iiped|vement Y^ , Y^^ on mènera j[>ar un point quelci)n(j['ue u de l'un d'èflx AB et dans leur plan une parallèle indéfinie DF à l'autre axé AC^ on prendra sur cette parallèle une distance DF telle que l^on ait

.DJF V, AD.~ V,

menant alors une droite indéfinie A G par A et F, puis d'un point quelconque de A G des perpendienlaires GB, Gâ aux axes de rotation AB, AG, on formera ainsi deux triangles rectangles. La rotation de ces triangles autour de leurs axes respectifs AB, AG engendrerait deux cônes droits qui se conduiraient mutuellement par Fadhérenoe de leurs surfaces convexes comme les cylindres du premier cas, c'està-dire qu'ils rouleraient Pune sur l'autre sans glissement, et qn leurs vitesses angulaires seraient dans un rapport constant et égal aa rapport inverse de deux rayons quelconques de contact, et par coo* séquent dans le rapport inverse des rayons B^ , B, des bases dechaeim des cônes.

EN6iERA«ES. Mi

Ed eiM les triani^^ la fi^re donaent fiieilemeiit -

. ÀJh nw.4iiii.A.FI> • mFAC .. GG B, ¥«

jifi^ktf au êommçt. Cj^Uç. r^jatioa .donnerait^ imipédiatement la Yfileur dçfl demi-angles FAF :jf|yx^ F IC = (9 j^ i) aux sommets dés cônes, en fonction de Vs^e connu'B A Ç = ô des axés et da rapport

donné ^ ées yiteases angoiairesy <sar de

'..■••. tin FAC BÎa (<>-«;») ~ V^

Vjon'âéàuit la relation . , , .

*ang tt = :^

T Lorsque Fangle B des axes est droit» on a simplement

«aog « = ^

Danf la pratique ^ on limite les cônes roulants AB , AG (fig. 8) à deux troncs d'épaisseur suffisante B&> Ce en contaet suivant une partie 6 a de leur commune génératrice que Ton peut évidemment prendre à une distance quelconque A a de Fintcrsection A des axes sans que le rapport déterminé des vitesses angulaires en soit altéré. La distance Atfy ou ce qui re?ient au même la grandeur des rayons moyens R^, B^» se détermine donc par des considérations d^emplacément^ de résistance, etc. On oppose ordinairement aux troncs Bft^ G(?, deux autires troncs de cônes dont les sommets sont situés à la fbis sur les directions des axes respectifs AB', AC et sur une perpendî* culaire B' GC à la génératrice commune A G menée par le point de contact 6 des plus grandes bases.

3« Cas. Si le$ axes de rotation Aa, Bb (fig. 9, pi. LII) ne eont pas compris dans un mime plan, où sUls ne peuvent se rencontrer, le moyen .lo plus simple et le plus exact de transmettre le mouvement, par cQObicty de l'un à Tautre, consiste à joindre par une droite CD des points convenables mais arbitraires CD de la direction des axes^ à disposer suivant cette droite un troîsiènie axe CD qui donne ainsi naissance à deux systèmes analogues à celui du 2« cas. On monte sur Taxe GD une roue doublement conique EF, et Y, « Y| étant les vitesses angulaires respectives de» axes Aa^ CD^ B6, on a évidemment :

6M ENGUBNAGES.

relalioa ^«i Bioiitre que» dans le cas où les rayons r\ , r, des troncs de h pièce intermédiaire ÉF sont égaux, lès axes Bl^ ka ^é traûsmettent leurs vitesses angulaires suivant le rapport inverse dé leujrs rayons, de sorte que ''*^ ■'

comme si E F n^ei^istait pas , et comme si leurs c0pç9)Tpu|fiieBt immédiatement Fun sur Pautre.

Engrenages. L'adhérence des surfacea cylindriques oa coniques des systèmes précédents est généralement trop faible pour transmettre le travail, de rune des roues à Fautre^ et il dev^qt iir^qiie loujours indispensable d*armer chacune de ce^ surfaç^^f^^.f^'"*

Denli de» roues ^ dèfmtiims. La sat'flt> adge et*, lé ereuoa y^ié des dents (fig. i, pi. LIII) se comptent respedivemenA en^dehors^ en dedans du cercle AB qu'o^^ppelle cercU primitifs las ^mfçtmfni" tnitifs de deux roues qui engrènent sont précisément ceux qui se conduiraient, en roulant Fniie sur l'autre^ avec lea vites^ anguk dont les roues dentées jouist^eipit en e0f t« C'est iQvqoiir9, sur les conférences primitives que s'opèrent les divisions des engrenages, ac est Vépaisseur de la dent, elle se mesure sur la circonférence primitive; ef sa longtieur, mesurée suivant le rayon; kl sa largeur, qui se mesure parallèlement à l'axe de la roue. Les parties ch^ ib du contour d'une dent, intérieures au cercle primitif, sont les fianeâ de la dent; les parties ad, eg, extérieures au cercle primitif, en sont les faces. La face d'une dent conduit le flanc de la dent de l'autre rone et réciproquement. Enfin a A est le pas de Tengrenage, il est toujonn le même pour Tune et l'autre des roues qui marcJbent ensemble éi égale pour chacune d'elles k Vépaissewr a c de sa dent, augmentée de celle oe la dent de l'autre roue et du jeu qui dans les roues bien faites ne dépasse jamais ^ du pas. Des longueurs égales prises sur l'une et Tautre des circonférences primitives des deux roues qui engrènent contiennent donc chacune un même nombre de dents, et trayersent dans un même temps la ligne des centres. Il en résulte que si N^ , N, sont les nombres de tours de chacune d'elles dans un même temps, R, , H^ leurs rayons jpnmtït/i, V„ V, leurs vitesses angulaires, D^ , Dj

EMGftBNAGB»! «M

le nombre 4e iaiàt dont elles aoot années, T^ , T, les darées respectires d'un mèue nombre de révolations on a

DtmemiQm des dénis, e étant l'épaisseur de la dent- mesurée sur la circofi{éreiioe primitive^ i sa largeur, «sa longueur , P l'effoct en kilpgrpaiPQi çxercé sur L'une d'elles, on faii habiUielleaient^ d'après M. Pimeelet.

e = 0". 00105 v/Tj i = 4. e pour dents en fonte j ê = 0".0013i V^T; î =:: 5 e • . • en cuWre ou bronze; •"> tir 0**.0O183 j/T; ï = 6c . . . enboisduri

if rr - e au plus.

Si les dents d'une roue étaient en bois et celles de l'autre roue en fonte, on donnerait à chacune l'épaisseur détermioée par les formules cirdessus et une môme largeur»

Les coefficients de |/T supposent <|u'il n'y a pas de choc. L'eipèrîence a prouvé que, dans les machines soumises à des chocs» le teunze, à section égale, et oiéBae le bois, pourvu qu'il aoii humide, résistent ndemx que la fonte.

'Du pa$ tk Vmgrtmagê, Le pas f est un are égal k là somme des épaisseurs des deux dents qui engrènent augmentée du jeti, qui ne doit pas lui-même excéder le -^ de l'épaisseur de la dent; on a donc habituellement^ lorsque les dents sont d'épaisseur égale sur chaque rooe

et pour le cas des engrenages en fonte dont on fait généralement usage aujourd'hui.

Mais il est plus convenable d'exprimer ce pas p en fonction du travail T à transmettre, du nombre de dents d de la roue et du nombre nde tours qu'elle accomplit par seconde. Remarquant que p durcirconférence primitive, nprf= chemin parcouru en une seconde par un point de cette circonférence, on a

d'où l'on tire en vertu de la relation ci-dessus

p zn 0«.O16941 L/'j^ =2,1 X e

M4 BNSABNAGflS.

B^ , B, ètakii let rayons primitife des imx roues ^ m ooftdaiseai, p le pas qui lear esl eomiiiaii, €^^e^\M cordes respeetives de œi arc sar Pane et l'autre roue

et

seront led fractions des circonférences embrassées par le pas p sur dar cune d'elles; on aura leur valeur en degrés en les multipliant par 360O, et à l'aide de la taUe des sinus naturels on calculera les Taleun absolues des cordes