BE BT DÂ "^ AT

t Par le point T décri?ei la dbteloppahtb K T H de la circoofibreoee nhllj et la développante FT6 de EF^ Ces développantes se conduiront évidemment dans les conditions voulues^ car la normale à m point de contact quelconque ^ de ces développantes coïncide toujours {ivec la tangente DE; cette normale est une ligne fixe qui passe toajours par le point fixe T de la ligne des centres. On a d'ailleurs :

HA = DH — DA = DT — D< = Er — ET = E/ — EF = Ff

Cinquième solution théorique {fig. S, pi. LIII). Une courbe qudeatufÊt TLD qui roulerait successivement et dans le même sens d'aboid sur la convexité du cercle primitif TH^ puis sur la concavité dn cerde

Srimitif TK engendrerait, d'un même point décrivant deux courbes MSLy DK qui satisferaient encore aux conditions exigées, da moim en théorie; car on démontrerait facilement que pour chacune des positions du système la direction de la normale commune DT à ua point de contact quelconque D passerait par le point fixe T. On se trouve ainsi conduit à la solution immédiate de ce problème général :

Etant donnée la forme de Vune des dents j trouver la forme de cdk de Vautre roue qui marchera convenablement avec la première. Solution : Décrivez les cercles primitifs des deux roues, trouvez la courbe L (fig. 8) qui en roulant sur le cercle TH de la dent donnée DH décrirait cette même dent ; faites rouler cette courbe L à Tintérieur de Fautre cercle TK, et le même point décrivant D y tracera la seconde dent cherchée DE. Cette solution suppose le théorème suiyant :

-H est toujours possible (fig. 6) de trouver une courbe P QR fut ai roulant sur une courbe donnée ADFB engendrera par quelque poku décrivant P une autre courbe donnée AGE, pourvu que les normaks CD, EF à cette dernière courbe rencontrent la première ADFB.

En effet, soient CD, EF des normales aux points G, E inCnimesl voisins; par un point P menez PQsrCD, PR =:EF , preno <2R x= FD et continuez ainsi de proche en proche, vous formera une courbe PQR qui en roulant sur AB décrira nécessairement la

courbe AGE avec le point P. Car,' si Q est mis en colocidence ûtcc D^ R coïDCÎdera ensuite avec F... et ainsi des antres points à cause deQR=:FD; on a d'ailleurs aussi DC=QP» EFsPR, etc.

et angles GFD =: SRQ

IRC RS

càT ^r^ ei =r7z sout Ics cosînns de ces anirles et ces fractions sont FD RQ ®

égales puisque leurs dénominateurs sont égaux et que leurs numérateurs sont chacun la différence de deux mêmes lignes.

La formation de la courbe PRQ est donc toujours possible avec la condition précitée; et c'est ainsi, par exemple, que l'on trouverait (fig. 7) que la courbe qui roulant sur une droite AB engendrerait une autre droite AP serait une spirale logarithmique QR dont P serait le pôle.

Applicaiion, Les planches LIY à LXII montrent l'application de ces diverses méthodes à la pratique^ nçus allons les étudier successivement avec détail.

Applications de la premiire solution A. Roue droite conduisant une lanterne (fig. 1 , fd. LIY). Le nombre de dents ou de fuseaux étant supposé connu d'avance ainsi que le pas = py partagei les circonférences primitives décrites des rayons AT, TB en arcs égaux entre eux edz=zdg=zgh.,.=zfa=zfb...=zp. Par les points de division bfa, . . de la circonférence primitive de la roue menez à droite et à gauche les arcs i/, I/!, Z"^, ta de l'épicycloide que l'on obtiendrait en faisant rouler le cercle primitif de la lanterne sur celui de la roue, et supposons d'abord au*en chacun des points de division e, dy g, h de la circonférence ae la lanterne, on ait fixé des tiges infiniment déliées perpendiculairement à son plan ; il paraîtra évident alors que, si l'on mi tourner la roue dans le sens indiqué par la flèche , la dent ak poussera la tige d dans le même sens jnsqu^à ce que cette tige d soit parvenue en un point de la circonférence où elle coïncidera avec la pointe k de la dent. Avant que les points keid cessent d'être en contact, la tige e aura rencontré la base f d'une autre dent fl et le mouvement pourra continuer ainsi indéfiniment. On voit aussi que pendant le glissement de la tige d le long de l'épicycloide ai, la tige a glissera elle-même le long de kf de sorte que si, par une cause quelconque le sens du mouvement de la roue était renversé fk mènerait à l'instant la tige e comme ak menait d et aucun choc ne naîtrait dans le système. On voit enfin que le contact de la dent ak ne commence que lorsque sa base a atteint la ligne des centres, de sorte que l'action d'une dent sur la tige qu'elle conduit ne s'exerce qu'après le passage de cette ligne, ce qui prévient les arcs-boutements. Il n'en serait plus de même si la lanterne conduisait la roue, le contact comr mencerait par le sommet des dents de celle-ci et l'action de la tig^B sur

fat dent serait limitée à un arc à'afproAe en deçà de la ligiie do eentres.

Lea tiges infiniment déiièes de la théorie» sont remplacéca par ds fnseânx cylindriques dont le diamètre est ordinairement un peu moindre qne le demi -pas ou que Pépaisseur mn de la dent afin de laisser un peu de jeu.

Quant à la forme de la dent on l'obtient en prenant sur les arcs d'épicycloides bl If par exemple un asseï grand nombre de points comme centres et décriYant de ces centres et de rayons égaux à ceoi des fuseaux des arcs si, uv, xy, puis menant une courbe pq ^ touche tous ces arcs sans les couper. Enfin on recoupe le sommet des dents comme nous le verrons et l'on donne à la partie du creoi intérieur au cercle primitif de la roue une forme quelconque, ceik d'un arc de cercle pr par exemple» dont le diamètre égale celui di fuseau augmenté du jeu.

Cette modification pratiqtie ftiit que le contact commence arant k ligne des centres à une distance égale au rayon du fuseau, et comoie il ne faut pas que le contact d'une dent zo cesse avant que celle i{ii la suit ne soit m prùe divtc là dent suivante, le point o aa momort où le contact cesse doit se trouver k une dislance angulaire de h ligne des centres aa moins égale au demi-pas. Il en résulte qneda» ce système y Vure ^apprêehe est plus petit que la moitié de Vare à retrtxitê.

Crémaillère, La crémaillère (pi. LY) peut être considérée en général comme une roue dont la circonférence primitive a un rayes infini, et de cette seule considération on déduit immédiatement h forme des dents dont elle doit être armée.

Crémaillère eonduteantune lanterne (Jlg. 1). Lorsoue la crémaillère conduit, la ligne Ta de la figure 2, planche LUI, uevient nne droits perpendiculaire à la ligne des centres, et abc devient une crcixnna. Les dents de la crémaillère s'obtiendront donc (fig. 1 , pL LV) es traçant^ comme on l'a déjà vu, d'un rayon = celui du fuseau des courbes parallèles mn, op aux arcs de, c a de la cycloide engendrée par le roulement de la circonférence primitive de la lanterne sur li tangente X Y à cette circonférence.

Lbl figure 1 suppose des dents en fonte à Li crémaillère et des fuseaux en bois à la lanterne.

Rùue eonduùant une crémaiUère (fig. St, pL LY). Lorsque c'est, as contraire, la roue qui conduit la crémaillère, cette dernière porte lo fuseaux. L'arc TA de la fig. 2, planche LUI, devient une drotla^t abc est la mlvBLOprAivTB du cercle primitif qui conduit. Qha est dispensé ici de tracer une courbe parallèle à la développante puisque cette courhe serait la développante elle-même dans une antre position. Il suffit donc , après avoir divisé la droite MN et la circonS-

rence primitiye AT {fig. S ^ fU LV) eo parties égales au pas^ de tracer à droite et à gauche les arcs de la développante du cercle AT en laissant entre eux des creux ar d'une lavgear égale au diamètre des fuseaux augmenté du jeu.

Roue droite meruaU une UnUeme ultérieure (fig.^, pL LVI). La circonférence primitive Ta de la roue qui mène {fig. 2y pi. LUI) devient ici concave, et si le rayon des fuseaux de la lanterne est très petit, les dents de la roue sont des arcs de Tépicvcloïde que Ton obtiendrait en faisant rouler le cercle primitif de la lanterne à YnUérieur de la circonférence primitive de la roue. Dans le cas où (fig. 2, pi. LVI) les fuseaux en bois^ par exemple^ auraient un grand diamètre^ on tracerait les épicycloides inkmes et Ton mènerait, comme on Ta déjà VU| des courbes intérieures parallèles à ces épicycloides à des distances égales au rayon des fuseaux.

Pignon intérieur menant un$ roue (fig. i , pL LYI). Cest la roue qui, dans ce système, doit porter les niseanx, et Ton voit facilement que les dents du pignon dérivent de Tépicyclolde que Ton obtiendrait en faisant rouler le dedan$ de la circonférence primitive de la roue sur le dehors du cercle primitif du pignon.

Du plus petit nombre de dente et de fueeaum qu'on puieee employer dans les engrenages qui dérivent de la première solution. Supposons d'abord les fuseaux réduits à leurs axes et soient (fig. 2, pi. LIY)

AT = R,j BT=:B,; BAd = 6; kHd = ^

T^ d étant les positions des centres de deux fuseauit sucoessifr, Ida la dent du cercle primitif de rayon B| qui conduit^ dent dont la pointe d est supposée en coïncidence avec Taxe d du fuseau au moment même où 1 axe du fuseau suivant T arrive à la ligne des centres. La dent qui agit en T entre donc en prise au moment où Tda cesse d'agir; or, par la nature même du système, on a

arc Ta = arc ï J = B, f = 2 R^ 0

et Ton voit facilement que si T Ad = B était plus grand que Tangle du demi-pas, la dent Tda quitterait son fuseau avant que la dent qui la suit fût en prise, ce qu'il faut absolument éviter; 0 peut donc égaler au plus Tangte du demi-pas , il pourrait sans inconvénient être sensiblement plus petit, et ne doit jamais être plus grand» d'où

2 B, 0 = bu < B, (Pj ?•= ou > -^ « . *i

les éléments de la figure donnent, d^ailleurs

R, na d

R. + R. ■" .iii(e + <p)

d'où

BÎn 0

rT+r; - sin (i + ^) e

équation dans laquelle il suffira d'introduire les rapports des rayons primitifs pour yoir si la valeur de B est assez faible , lorsque les faseaux sont réduits à leurs axes.

Soit par exemple K^ = B«| , il vient

- = ^^-r-1 ou 2 sin 0 = sin 3 0 =: 3 sin 0 — 4 sin * 0

2 sin 3 6

sin 0 = ~ = 0.50000 % = 30o; 2 0 = 60»

valeur qui montre que six dents et tix axes satisferont exactement à la condition que le sommet de Tune des dents soit en coïncidence avec Paxe qu'elle conduit au moment où la dent suivante commence à agir. Ainsi tout nombre plus grand que six peut être admis, et il 7 aurait interruption si Fou employait un nombre inférieur.

Si l'on avait B^ = 2 R^ , il viendrait

2 sin 6 sin 6 ,, , - zz: =s ■ d ou

3 sÎD 2 6 2 sin 6 cos 0

cos 8 = ? = 0.75000 j 8 = 4lo.26'^ 2 9 = 83oia'

angle qui correspond à quatre dents et une fraction. On ne pourrait donc pas employer ici moins de cinq dents et dix axes.

On parviendrait de même aux résultats suivants :

Une lanterne à quatre axt9 peut être conduite par une roue d*un nombre quelconque de dents plus grand que seize ^ mais une lanterne à trois axes ne pourrait être convenablement conduite par une roue d'un nombre de dents même infini^ c'est-à-dire par une crtfmaiUère.

Cinq axes peuvent être conduits par un nombre quelconque de dents plus grand que dix.

Six est le moindre nombre qui puisse être admis lorsque les dents et les axt% sont en nombre égal.

Cinq dents conduiront une lanterne d'un nombre quelconque d'ofBei plus grand que huit, et quatre dents a la roue exigeraient au moins douze axes à la lanterne; — trois dents suffiraient juste pour conduire une crémaillère à fuseaux (axes) et par conséquent ne conduiraient pas une roue.

On rappelle que dans tons ces systèmes c'est toujours la roue conduite qui reçoit les fuseaux.

' Rentrons maintenant dans la pratique en restituant aux fuseaux un diamètre réel = 2 p = 2 cf {fig. 3, pi. LYI). Soit pqs une dent dérivée des épicycloides Tky ka^ si elle abandonne son fuseau au moment où la dent suivante attaque le sien^ le centre T de ce dernier fuseau coïncide nécessairement avec le point T de la ligne des centres, et la droite Te qui joint alors les centres des fuseaux T^ r, est normale à Tépicycloide ak^ passe nécessairement par le point T, nécessairement aussi par le point de contact q de la dent et du fuseau c; enGn ce point q est l'extrémité de la dent. Gela posé, soient :

TBc = angle du pas sur la lanterne = (p ; B A9= angle du demi-pas à la roue =: 0 ^ AT = R^; BT=:=:B,; c}=p = rayon du fuseau;

on a

facilement :

R,cp =

sin

= cq. -T- ' sin

emq

co. (1 + e)

P 8in (<? + 6j

sin BA

sîn A m

m Bm 1 ~ AB

Bc —

CTO R, — CTO

sin e

sin (?p + 6)

sin (9 + 6) R, + R^

équation d'où Ton éliminerait 0 par la relation (1)«

Mais soit k le rapport du diamètre du fuseau au pas, on aura

substituant cette valeur de p et réduisant, il vient

substituant dans cette équation et pour chaque cas particulier la va-

«SS ENG&ENAGES.

lear de tp et celle do rapport dea rryota primitifa , on en didoira ta

fonction du pas, le diamètre que devrait recevoir le foseau pour qu'une dent entrftten prise précisémeDl au moment oà la deot prééédoute abandonnerait son fuseau. Il conviendra toujours dans la pratique de diminuer ce diamètre en angmentant la dent.

Une valeur négative Iroavée pour k indique une im possibilité i une valeur = xèro réduit le diamètre do fuseau à un point; enfin, il paraîtra évident que pour appliquer la formule ci-detsus aax cagrenages internet (Jig. 1 et 2, pi LVl) il suffira de donner à B, , B, des signes contraires en preminl en outre les différences des angkaf et f an lieu de leurs sommes.

Les tables suivantes dispenseront au reste de tout calcal ; dis expriment en fraction du pas, le diamètre du fnseau qai permet stri» lement l'entrée en prise an moment on les dents précédentes ae qnit- ' tent. Le signe — y indique les cas impossibles, le signe -}- dénott un diamètre pins grand que le demi-pas, et par conséquent tons ki cas afleclés de ce signe sont applicables à la pratique.

NonbKde

bMiixanpignoB

Exemple. On demande le plus petit nombre de dents et de fnseanx h donner au système d'une roue d'un diamètre 4 conduisant on pignon d'un diamètre 1 ?

Od a ici £^ = 4, et la ligne horizontale de la table II qui correspond à ce rapport montre !<■ qoe si l'on ne donnait qoe quatre fur seaux ao pignon et par conséquent seize dents à la roue, le diamètre du fuseau devrait être rédait à nn centième du pas, dimension îoapplicable ; 2° qu'en donnant cinqfuseanxau pignon, et par conséquent vingt dents à la roue , le diamètre du fuseau est les 0.46^ ou tréa voisin de la moitié du pas; donc

Six fuseaux et vingt-quatre dents ;

Sept fuseaux et vingt-huit dents ;

Unit foseanx et trente-deux dents seraient autant de systèmes applicables en pratique. '

Les systèmes d'engrenage que nous venons d'étudier s'exécutent le plus souvent en bois ; ils étaient d'un emploi général autrefois et trouvent encore leur application dans les localités éloignées des fonderies où il serait d'un entretien trop coûteux de faire usage d'engrenages métalliques, ils sont très généralement remplacés aujour-

634 EN61IBNA6BS.

4%m p» le» systèmes soÎTants qui dérivent de la seconde soluiim et s'exécutent ordinairement en fonte.

AppUcedions de la deuxième tobuion (pi. LYII). La figare 1 représente le système de deux roues A, B dont les dents sont tracées d'après le principe de la seconde solution.

Pour chacune d'elles^ -^ J^^ exemple, la saillie des dents, en dehors du cercle primitif, est formée par les arcs de l'épicyclolde qu-on obtiendrait en faisant rouler sur ce cercle primitif une circonférence BkT d*un diamètre égal au rayon BT de l'autre roue ; les /hnes des dents sont des droites pq^ tt allant de U circonférence yers ie centre, réunies par une courbe quelconque , par un arc de cercle qrs par exempte, laissant un jeu convenable.

Obiervation. On peut remarquer, savoir : que les flancs et la faces s'obtenant pour chaque roue d'après le même principe^ l'une ou l'autre peut indifféremment conduire ou être conduite; — que la symétrie des dents rend également indifférent le sens de la rotation; — que le Heu du contact des dents est la ligne sinueuse feTky de sorte que le contact a lieu sur feT avant la ligne des centres et sur Tk après le passage de celte ligne ^ — que pour diaque paire de dents le contact commence à la racine de la dent qui mène et se termine à sa pointe, tandis que le contraire a lieu pour la dent qui est menée; — que, enfin, le développement d'une nice quelconque Tg est toujours beaucoup plus grand que celui du flanc de l'autre dent avec lequel elle travaille.

Application aux marteaux à bascule et aux marteaux frontaux. Cette deuxième solution donne le tracé de la came qui doit soulever la queue ou la tète de l'un des marteaux ci-dessus. À étant le centre de l'arbre à came, B celui de l'axe de rotation du marteau, BT le nyon de rotation compris entre Taxe et le point de contact de la «ame; sur ce rayon BT comme diamètre décrivez une circonférence; cette circonférence en roulant sur le cercle primitif de Tarbre à cames décrirait Tépieyclolde suivant laquelle les cames devraient être taillées, pour obtenir un soulèvement uniforme.

Je n'ai point donné de figure spéciale pour ce cas sur lequel je reviendrai à Tarticle marteaux. La figure 2, vue de cûlé, suffit au reste pour suivre le texte.

ProhUme. Soient {fig. ^, pL LYIÇ B le centre d'une roue armée de palettes infiniment minces mn dirigées vers ce centre, A le centre d'une roue conductrice armée d'épicycloides engendrées (conformèwneask à la seconde solution) par le roulement d'une circonférence d'un diamèire BT=:rayon de la roue conduite, sur le cercle primitif AT de la roue qui mène, on demande U ptus petit nombre de palettes |ue puisse recevoir la roue B avec la condition qu'il y ait continuité LOS l'sQtioa de la roue A sur la roue B.

dai

ENGAENAfifiS. 6S&

Soluiion. La demi-circonférence TdB étant nécessairement le Ueu du cù9êê0ei, il fani, pour tf^'il y ait ttrictonantoontiiMÛté, qu'elleamiieaae la pointed delà dent é^cjcloidale au momeat oè la racwe T de la dent suivante parvient à la ligne des centres. Tirant bàHeamnarant alors la figure à la figure 2 de la planche LIY , on voit que si h était le centre d'une lanterne et d le fuseau idéal en contact avec la dent ^, Tbd serait l'angle ^u pas de la lanterne strictement nécessaire pour qu^il j eèt continuité^ or TBd est cet angle dans la roue à palettes^ et ron a

Tbd == 2 TBd

Donc le moindre nombre de palettes qui puisse travailler d'une mth mère cosUinue a^e mh nombre donné de dents épicycloïdales est égtd mu domble du moindre nombre de fuseaux (voyez page 629)^ il en ré* solte que :

|o Un pignon à 7 palettes peut être conduit par une roue de 56 denta et plus;

S '— — :- 16 dents

9 — 12 dents

que 10 est le moindre nombre qui puisse être employé lorsque le nombre de dents doit être égal à celui des palettes;

So Que 9 dents pourront conduire une roue de 10 palettes et plus;

3 dents conduiront une crémaillère à dents droites n'ayant

Joint d'épaisseur. On ne peut donc pas emplover moins de qualne ents pour conduire une roue à palettes ou à dents droites dirigées soivantie rayon.

Oa pourrait recbercher par une marche analogue les moindre» nombres de dents que l'on puisse employer lorsque ces dents sont formées d'après la seconde solution (fig. 1) et Ton parviendrait à des •pproiimatk>ns que M. WiUis a préféré obtenir par des constructions graphiques faites sur une grande échelle et dont il a déduit les tables soivantes.

On y suppose l'épaisseur tu de la dent égale au creux ji^ et on donne les nombres Umites correspondants à des arcs de retraite successivement égaux au pas, aux | du pas et aux j du pas. Les deux derniers cas corresponaent donc à des arcs d'approche ^aux respectivement à { et J du pas.

Tablb du moindre wnnhre de denté exiértetêrci que puùee recevoir roue qui engrène avec des pignons donnés en supposant épaieeew

creux.

rt*i

Arc Ue retraite >= pas.

Axt de retraite = | pas.

Arc de retraite =» | pas.