DT DT

arc d^approche = — XAT = — .Rj

)n trouverait de même que la dent TK, en s^éloignant de la ligne les centres jusques en E où le contact cesse, donne pour la valeur de ^arc de retraite mesuré sur le cercle primitif de rayon BT = R,

are de retraite = -— X BT = -^ . R«

'oà Ton obtient

arc d'approche ATXPTXBE AT R, DA

are de letraUe BT'XETxDÂ BT R^ BE

îlation >^i montre que, dans ce système, les arcs d'approche et de ^traite sont directement comme les rayons des cercles de base «pectiis de la roue qui mène et do la roue menée. Cette relation ippoae évidemment que les dents de chacune des roues ont une lonlear suffisante pour atteindre le cercle de base de la roue opposée.

On peut au reste diminuer à volonté Tare d'action en diminuant

longueur des dents. Du rayon BH, par exemple, et du centre B

crÎTez (fig. i » pL LIX) Tare HA, le point h où cet arc coupe la tan*

Dte De sera le lieu du premier contact si c'est la roue A qui mène;

tracé analogue sur cette dernière roue donnerait de même le

[liiiit 4' ipour le Ke^ Au dcrpnicr coiiUfeC >el l'o» éimontrcrait comw cindettUB la rekatiaoisaÎTiaQie^

arc d'approche AT

arc de retraite T«

Le» dents en dèyeloppanie» se raccordent par des courbes qoeloœqaes, laissant tOQtefois o» creux d'aae profondeur TA suffisi&k pour le passage kE de la dent mE. Un arc de cerde du rayooil indique cette profondeur minimum Tk.

Quant aux rayons des cercles de base, on les obtient immëdist^ ment lorsque Ton connaît les deux cercles primitifs et que Todi fixé Parc d'action TBe, on a en effet Be=BT cos TBe ... etc.

SailUe des dents. Il suffit de comparer la fig. 2, pi. LTIII, à U ifX pi. LIX^ pour s'assurer que les relations que Ton a déduites èk première s'appliquent à ta seconde et que dès lors on a pour déterminer la saillie des dents en développantes

II faut observer toutefois que^ dans le cas des dents en défelof^ pantes, ces formules ne donneront que la saillie qui permetlnili aent de continuer son action jusqu'au cercle de base de Pautreron Elles ne s'appliqueraient pas, comme aux épicycioides^ à toatesb aoires situations du contact.

Crémaillère d'après la quatrième solution (fig. 9 , pL LTJL\ fKcÂ' vee le cercle primitif BT^ menez AG tangente en T et qui serais lors la droite primitive de la crémaillère. Soit^ alors , BE le ra\tii du cercle de base de la développante EF et admettons que la deoli la crémaillère soit limitée par une droite EGH formant aieck tangente AC un angle E6A=: BTE.

Si la développante passe à la position ef^ elle conduira la deotGI en gk^ le contact ayant toujours lieu sur la ligne ETA, et la vile* d'un point de la circonférence BT sera d'ailleurs toujours éfjikt celle d'un point de la tangente AG. On a en effet

siii £GT

et par la propriété de la développante

BE Eh = arc Ee =: arc mn X îT^ =^ ^^ ^^ • *»• *f B

= arc mn sin E6T d'où G; = are mn On serait également parvenu à ce résultat ea rcKar^ uant ifl

que, poor le cas d'une ei^éanaîUère « le njàn kléfMotA infioiyla circoDférence primitive devient une droite passant par7y oileaiféveloppantes G H, Em deviennent elles-mêmes des droites perpendiculaires à la direction eTD.

Ainsi (fig. 3), une roué à dents en 'dévcfoppantes engrènera convenablemept avec nm crémaillère à dent droite pourru ^uelJe cèté Ae celle-ci soit. incliné sur la dHoite priiaiAive de<£a orémailère d^mn »«gle6 tel qu'on «it < , • ? ^

rayou de la base .

rayon pnmitif , ,

Le Ueu du contact est alors la droite ETà ce qui aniMiUe Tin^bvénient signalé du tracé ordinaire (p. 644), tracé qui dérive du cas parlLcaiier où le rayon de la base étant le môme que le* nijon pvî^ mitif; la droite primitive coïncide avec la droite ETA.

Tracé des dents de roue par arcs de cercle, La portion de eaoi4>e' jui form^ le contour d'une dent a toujours un développement assez aible pour qu'un ou deux arcs de cercle au plus puissent lui être snb^ )tituA sans erreur sensible. Toute la difBculié consiste à déterminer convenablement les centres et les rayons de ces arcs et nous allons nontrer comnrBnt cette détermination résulte des principes gét^é- •aux précédemment établis. • . ,

Nous avons démontré : . , , {

Jo Que Faction de deux courbes {fig. 1 et 2, pi. LX) qui agisseal* )ar contact immédiat est y. pour chaque instant, semblable à celle de leux rayons AP, BQ (fig. 1) qui se conduisent .par l'intermédiaire ['une bielle fQ dont les pojnts d'articulation sont le^cqatres fi, Q le courbure au point de contact actuel des opurbes; , .,

âo Que le rapport des vitesses angulaires de» rayons AP^ BQ'/^ja)' st, à chaque instant y celui des segments BT» AT de la ligne d«s entres, déterminés par Fintersection de la bielle avec celle lîgAe; à instant donné.

Pour une autre position Ap, Bf, des bras AP, BQ (fig, 2), 3 rapport des vitesses angulaires deviendrait celui de B/ à A/, raport qui serait plus grand ou plus petit que le premier suivant que passerait d'un côté on de Tantre du premier point T.

Or, si le point L qui est l'intersection de deux positions consécu* vas de la bielle pouvait coïncider avec T, le rapport des segmeqta esterait le même pour ces deux positions et le rapport des vitesses Dgulaires serait constant pendant le passage de la première k la se- >nde position. Admettons, pour un moment, que cette coïncidence lieu; les courbes en contact (fig. 1) pourront, d'après ce qu'on a a, être i^emplacées par des arcs de cercle décrits des centres P et Q : passant par un même point quelconque M de la droite PQ; et le

rapport des vitesses angulaires des courbes sera parfaitemcDl codslaot au moment où elles atteindront la position pour laquelle M est le point de contact; il restera sensiblement constant pour oo petit mouvement angulaire en deçà et au delà de cette position.

Et comme la constance de ce rapport ne dépend que des ceolrs des arcs» ces arcs peuvent être tracés par un même point çuekcmfm de la direction PQ^ par m par exemple en dehors de la distance ia centres de courbure. Il v aura toutefois cette différence qne si k point par lequel passent les arcs est situé comme M entre les centre de courbure, les deux arcs tracés des Centres P et Q seront convexes, tandis que si le point commun est pris en dehors des centres^ comae en m, l'arc tracé du centre le plus éloigné P sera concave.

Donc pour déterminer un couple de centres de courbure qui pffmette la transmission du mouvefnent angulaire dans on rapport constant, il suffit de construire la figure 2 de telle sorte qne Fintssection L de deux positions consécutives de la bielle tombe sur li ligne des centres de rotation. Or on a vu à l'article bielus que Lest le point de PQ où la perpendiculaire abaissée de K^ axe instâCntané ée rotation de la bielle» vient rencontrer cette bielle (*).

De là la construction suivante (fig. 3, pL LX) :

Recherche des centrée de courbure dee dente. A et B étant les centre de rotation des deux roues» T le point de contact des circonfèrenos primitives; par le point T menez une droite PTQ faisant on angle quelconque avec la ligne des centres , et soit pris arbitrairement sv PTQ un point P quelconque comme centre de courbure de la dent de la roue AT. Pour obtenir le f^entre de courbure de la dent de la rose B qui doit engrener convenablement avec la première, menez parT une perpendiculaire indéfini^ à PTQ; par le centre de rotation A é le centre de courbure P de la dent de cette roue » tirez la droite Af que vous prolongerez jusqu'à ce qu'elle rencontre l'indéfinie &K. Par le point de rencontre K de ces droites et par le centre de rotation B de l'autrer roue tirez liJB, le point Q .où c^tte droite prolongée vient contrer PTQ est le centre de courbure de la dent de la roue B.

{*) Cet axe instantané de rotation K de la bielle est loi-même détenninéptf l'intersection K des directions AP, BQ des deux bras. C*est ce qu'il eatùak de démontrer très simplement , et sans avoir recours au beau théorème de M. ChatlM. En effet, lors d'un mouvement naissant de la bielle, son articabtion P prend une direction nécessairement perpendiculaire an braa A P, ce qui revient à dire que P tourne autour d'un point situé auelqoe part sur b àrection d ^"^ '^ * " -=-'-• ^

direction de quelque point

nant pour un instant autour d'un point situé à la fois sur les directions A P. BQ tournent, pour cet instant, autour de leur intersection K.

Et UD petit arc mn décrit de P par un pil^int m'hùcIcôViôbé^ibla

direction PTQ él! <rul fer^Ât pâi'tiê da cdntoôr dé la'^dé^t bmiUé kut

la rone AT^ marcnerat^ confenableû^cnt aVec on atltrc petit "arfe inp

décrit de Q par; le même point m.' bt qui ibrait partie du ebntonr de

'ladcntmonWéuHâ'ro^ufe'Bt/ ^ '^^^ • ^' '

' Si le ceùtrë.de' roWtioti B étaiV silué''âe telle ^orfc que Tangle

" ABT fût aJgu; Vil éirfit hh ||r]^a^exiêmptlBJlë centré "de côùrbore Q

passerait mtk en Q' dfa'mémé cMé^u^ T à T, et le

petit arc m» dcvieûdjràit évî'd'eAimcnt cdticiVe. •

Enfin si KBT était é^af à PTA , KB deviendrait parallèle à PT, le centre de courbui^è'IÔ serait rejeté à une distance infinie et la partie mp de la dent m^ontèë sur la roue dont të centre est B deviendrait une droite perpcndicufaire à PT. " '^

CcdctU des distances^ au pojnt ds conlù^ff^çe J, des centres de CQUr» bure P et Q.

Soit KT = C, AT=iR,, PT = rf, ATP =b 0. '

Menez AB perpéiyAcdlâh-e à PT> les trimigles semblables ABP, PTK donnent

PR TRJ— PT

d. R, sin 6 ., . . R| oo* » . C

R, co. e - d "**" R,«i«B + C ■ • •

De même, menant BS perpendiculaire à TQ> et faisant BT =^ft. et TQ=D, il vient

R, eo8 0 . (^

R, sin e + C

Où, si Ton emploie une dent concave , menant B| S' perpcndtealaire à PTQ on a

ITT • — d OU ""— >« — î 1. ■- • -

^^ — QfT+TS' R,Bin6-C

Tracé de la dent par un seul are de eerde. Si l'-oo se contente d'un seul arc de cercle, les règles précédentes conduisent à un tracé très simple (fig. 4, pi LX), Supposant en effet KT = C infini, AP et BQ (fig, 3) deviennent perpendiculaires à PTQ «t lea centres P et Q. se transportent respectivement en B et S. Faisant alors passer les arcs des dents par le point de contact T des circonférences primitives, la distance d devient le rayon de courbure p, de la dent moulée sur la roue de rayon B, , et. l'es pression

6tO ENGRBNAGBS.

Bt cos e . C Rt cosO

~ C + R^> gin e ~ 1 + R, sin 0

pour le cas ou û est infini, devient

d z= B^ cos 0 = p,

ce rayon de courbure est indépendant du rajon de la seconde fone aussi bien que du pas et du nombre de dents de la première.

Dès lors si, pour un système de roues, on fait ^ constant, deoi roues quelconques de ce système marcheront convenablement. Prenant 6 = 750 30' ce qui est une valeur très convenable, on aoia en général

p = R cos 750 30' = 0.25038 R = -- à très peu près.

Soit alors A {fig. 4) le centre de la roue, AT son rayon primitir, menez TP faisant avec AT un angle ATP de 7 50 30' et du poioli menez une perpendiculaire à TP ; le point P où cette perpendicoUiR AP rencontre TP sera le centre de courbure et PT = p sera lenjoB de courbure de la dent Op qui passe par T.

Il est encore plus simple de décrire sur le rayon R=: AT un déni* cercle qui ait ce rayon pour diamètre et de déterminer le point Pei

prenant une corde TP =2 -.

Pour décrire les autres dents, on trace du centre A et du rajoB AP intérieurement au cercle primitif une circonférence P/)m;V devient le lieu des centres de courbure des dents ^ puis d'une ouver ture constante de compas =:: PT = p et par les divisions do cerde primitif on décrit des centres P ... f les dents pTO, mn, etc.

Analçgie de ces dents avec les dents en développantes. On voit facilement que si O/) était un arc de développante dont Pp g serait la base, PT == p serait son rayon de courbure au point T. Ces dents se rap prochent donc des dents en développantes et participent de leon avantages et de leurs inconvénients; toutefois comme elles sont tracés à Taide d'un seul arc, il n'y a qu'une position pour laquelle leiap^ port des vitesses angulaires des roues est rigoureusement constaot Cette position est celle où le point de contact se trouve sur la I^ des centres.

Tracé des denté par Jeux arc» de cercle. On obtiattdra un iegi d^exactitude qui satisfera amplement à tous les besoins de it pretiq* en traçant le flanc et la face de chaque dent , chacun par un arc t cercle avec la condition qoe le point d'action exact de i'oa soit sital un peu en deçà de la ligiie des centres et celui de l'antre un pea n

engbbnâges. est

delk de cette ligne et à bi même dislaDce = la moitié du pas, par exemple.

La planche LXI montre Tapplication de eette méthode, introduite par M. Robert Wittis dans la pratique des ateliers anglais.

A est le eenCre de rotation de la roue, B celui de la roue avec laquelle la première engrène;

T le point de contingence de leurs circonférences primitives.

Par ce point T menez une droite QTq, formant arec la ligne des centres un angle PT A = BTq qui peut être quelconque, mais qu'il est préférable de faire = 75<> parce que les dents acquièrent alors une forme plus conyenable.

Menez k cette droite QTq et par le point T une perpendiculaire indéBnie et mai^uez sur cette perpendiculaire deui distances égales TK,Tk, qui peuvent être quelconques mais plus petites toutefois que le plus petit rayon primitif AT. Par Textrémité K de cette per-^ pendîculaire et par le centre B menez BK que tous prolongerez jusqu'i sa rencontre Q arec QTq. Joignez K au centre de la roue A^ cette droite coupera QT} en un point P.

P est le centre de courbure des faces de la rode A, et Q est le centre de courbure des flancê de la roue B.

Pour avoir les rayons de courbure, prenez sur la circonférence primitive a Te de la roue A un point m situé à une distance de T égale au demi-pas et de Tautre côté de la ligne des centres par rapport aux deux centres Q et P. Pm sera le rayon de courbure des faces de la roue A, et Qm le rayon de courbure des flancs de la roue B; les premières seront donc convexes et en saillie sur la circonférence de rayon B, , les secondes seront concaves et à Pintérieur de la circonférence de rayon B,.

Xêciproquement , pour obtenir les centres et les rayons de courbure des flancs de la roue A et des faces de la roue B, tirez BA; puis par A et A tirez Xk que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre q aveo QTjf. Les points p et q sont les centres de courbure cherchés. Mar-

3 nez alors sur la circonférence primitive BT un point n à une distance e T égale au demi-pas et situé de Pautre côté de la ligne des centres par rapport à p et g; pn et qn seront respectivement les rayons de courbure des faces de la roue A et des flancs de la roue B, les premières étant prises en dedans du cercle primitif AT et les seconds étant en saillie sur la circonférence primitive BT.

Pour achever le tracé de l'engrenage on décrira du centre B et des rayons BQ y Bp^ deux circonférences concentriques à la circonférence primitive BT, la première sera le lieu des centres de courbure des flancs y la seconde celui des centres de courbure des faces pour cette même roue BT. Plaçant une des pointes du compas sur la pre^mière Q'' Q' Q on décrira tous tes flancs de cette roue avec une ocb

yerture constante Q' m' = Q" m" = Qm. Oo opérera de même pour les flancs qu^on tracera avec une autre ouverture consUBte p'n' zzzp"n''=zpn en s^appuyant sur la circonférence ;>'' p' p tracée avec le rayon Bp.

On opérera d^une manière analogue pour la roue AT. La drooDférence q q' ^' tracée du rayon kq sera le lieu des centres de courbure de ses flancs dont les rayons de courbure constants so&t q^n'=:q^^n'^z=zqn. La circonférence P'P"P tracée du rayon AP sera le lieu des centres de courbure de ses faces dont les rayons coistants F V^ F'' m*' sont donnés et = Fm.

Il importe de remarquer que les dents de la roue A par exemple ne changeraient point de forme, quand bien même la roue B avec la-

Ïiuelle elle engrène aurait un rayon différent deBT, pourvu tonteois que les distances ET = TA = G demeurassent constantes. Quelle que puisse être en effet la position de B sur la ligne des centres, cette position n'affecterait que les lieux des centres de courbure Q et p des dents de cette même roue BT, sans rien changer k la siluatioo des centres de courbure Vq de la roue AT.

Il en résulte que^ quel que soit le nombre de roues d'un système pour lequel les lignes Qa eiKk conserveront les mômes posiliois angulaires par rapport à la ligne des centres., et les droites KT=TI la même valeur ansolue G, deux quelconques de ces roaes marché roni ensemble convenablement.

On peut d'ailleurs déterminer la distance KT dans on tel système en considérant que si A se rapproche de T, A{ qui tend d'abord à devenir parallèle à Tg, dépasse ensuite cette position; q dans le cas du parallélisme est rejeté à Pinlini et le flanc de la roue A devienl oie ligne droite perpendiculaire à FTjf. Lorsque la positioo de A qui rend Tq parallèle h VTq est dépassée^ le centre de courbure q i» flancs de A se trouve situé de l'autre côté de T et ces flaacs deviennent alors convexes, ce qui donne aux dents une forme bizarre.

Il parait donc rationnel de donner à ET, pour valeur maximom, celle qui, combinée avec le plus petit rayon au système, rendrait Af parallèle à Tq, r étant dès lors le rayon primitif de la pins petite roue d^nn système général d^engrenages, on a

KT=:rXsînQTA, ou C=r. sinO.

Substituant cette valeur de G dans les formules qu'on obtient facilement en raisonnant comme k la page 649, il vient pour la distance d du point de contingence T au centre P de courbure des face» d'une roue de rayon R,

d = -^=r— j — = FT pour les faces

EN6BENAGES. 653

et pour celle D ao même point T du centre de courbure q des flancs concaves de la môme roue

= "^53 — == ?T pour les flancs.

Donnant à r et 0 les valeurs constantes qu'on juge les plus convenables pour ce système général d*cngrenages, on calcule et l'on dispose facilement en tables numériques les valeurs de Det (2 correspondantes à différents rayons et à difTérents pas et Ton se trouve ainsi dispensé de faire un tracé pour chaque cas.

Si par exemple on prenait r :=: 1 ™ pour le rayon du plus petit pignon d'un système de gros engrenages, tels que ceux qui font marcher un laminoir à fer^ et Q = 75o 30', on aurait sensiblement

d-^^jL^^ et D= ^

Application aux lanternes. L^application de la méthode aux cas particuliers, indépendants de tout système général, est très simple. S'agit-il par exemple de tracer les dents d'une roue qui doit conduire une lanterne. Les fuseaux de la lanterne n'étant rien autre chose que des dents en arcs de cercle, on pourra supposer que le point K {fig, 3, |>I. LX) est située l'infini, AP, BQ deviendront ainsi pcrpendicu- Jaii'eSyft.PTQ et les centres 4^ courbure se transporteront en R et S. Leipreviier Basera celui de la dent et le second S le centre du fuseau ^ prenant entre T et S un point m à une distance de S égal au rayon du fuseau, Bm sera le rayon de courbure de la dent.

Autre application. Si, imitant les dents de la seconde solution, on Youlait que le flanc de la roue A {fig. 3, pU LX) fût une droite dirigée suivant le rayon, celte condition rejetterait évidemment à l'infini le centre de courbure de ce flanc, le point k s'obtiendrait donc en menant de A une perpendiculaire à la direction KTA. On joindrait ensuite les points i et B par une droite qui couperait PTQ en un point qui serait alors le centre de courbure de la dent destinée à conduire le flanc droit. La perpendiculaire A R serait elle-même la direction de ce flanc et ce serait par le point R que devrait passer l'arc de la dent qui mène. L'angle BT A devrait en même temps prendre la valeur qui rendrait T& = demi-pas, puisque B est par hypothèse le point pour lequel les dents agissent convenablement et en toute rigueur.

Analogie de ces dents avec les dents épicycloïdales. Soient (fig, 4, pi. LUI) TOi = cp, Ti = 2 r le diamètre du cercle générateur de l'épicycloide abc, joignez Tb, cette droite sera normale en & à l'épicycloïde abc, et son rayon de courbure au même point b sera

= ^ . ' — . sin { <p

or, on a

T4 = 2 r sin i cp

et cette normale fait avec la ligne des centres un angle 0 tel qo^oo a

si l'on fait

COS 0 =::: sin | cp

la distance au point T du centre de courbure du point b de TépicTcloïde deviendra

/4r(Rj + r) „ \ . 1 2R.r .

^\ Z — 2 r sm } <p = ^ .* COS 9

expression qui est précisément la valeur générale de d (pag-c 649) lorsqu'on fait dans celle-ci

G=:2rsinO 2r = -7— r

filA 0

ce qui montre aue si mn (fig. 3, pL LX) était un arc de l'épicjelolde engendrée par le roulement sur la circonférence primitive AT d'un cercle générateur dont le diamètre 2 r serait

Pm serait précisément le rayon de courbure de répicjcioîdc au point m; on démontrerait de la même manière que Q'mest le rayon de courbure de l'épicydotde interne mp au même point m.

Les dents tracées par la méthode appliquée planche LXI se rapprochent donc suffisamment des dents épicycloldales de la troisième solution, et toutes les régies données pour celles-ci quant aux moindres nombres, aux saïUies^ etc., sont applicables à cetle^-ià.

Lorsque les (ixes des roues ne sont pas parallèles , on déterminera les cônes roulants comme il a été dit pages 620 et 621 , c'est à dire

Îîg, 1 , pi. LXII) que la position des axes Aa^ , Aa ^ étant connue, on ivisera VeLng\ea^ka^ compris entre eux en deux autres c^ AT, c, AT par une droite AT, telle que les perpendiculaires Tc^ , Te, soient réciproquement eomme les vitesses angulaires des axes. Menant par le point T une perpendiculaire a^ Ta, à AT die déterminera sur les axes deux poiiits a, , a, qui seront les sommets respe€li& de deux surfaces coniques IdtS^kt > Td^e^h^ opposées, i celles Td^kfi^ Ti^^kji

qui portent les dents. C'est sur la surface de ces troncs de cône ^d^e^k^ , Td^eji^ qu'on applique les panneaux des dents et qu'on vérifie le tracé général de Tengrenage.

* Pour tracer ces dents, on développe ces surfaces troncs coniques sur un jplan perpendiculaire en T à rareté commune ABT. aJi^Th^a^ serait la trace de ce plan qui serait dés lors perpendiculaire au papier. On a rabattu ce plan dans la figure I en le faisant tourner de 90<» autour de sa trace a^Ta^ j ce qui permet de voir les développements complets TAjHjTj , TA^H^T^ des surfaces coniques Td^eJ!, Td^eJ!. Il ne reste plus qu'à traiter ces arcs primitifs TTp TT^ comme les cercles primitifs de deux roues planes dont les axes seraient parallèles et situés en Op a^, c'est-à-dire qu'on tracera les dents de ces arcs par l'une quelconque des méthodes précédentes.

Des surfaces coniques A^G J^B, A J^G^B, parallèlesaux premières, seront développées comme celles-ci et Ton y tracera comme en it IB^ les limités des dents vers l'intérieur. On voit en Fffi^o^ la coupe totale de l'une de ces dents et un examen attentif de Tépure suppléera facilement de longues explications.

En pratique on commence par exécuter le solide conique dont la section serait «iG^O^Fj , section limitée par deux surfaces coniques parallèles e^F^ Gfi^ et par deux autres efi^ , F^O. dont la génératrice passe par le sommet A. On trace sur des feuilles de laiton très oiinces et très flexibles les développements TA^H^T, , btBfi des surfaces coniques parallèles, puis traçant les dentssur le métal avec une pointe d'acier, on découpe les panneaux qu'on enveloppe ensuite exactement sur leurs surfaces coniques respectives. Suivant alors avec un style les découpures des dents, elles se trouvent tracées sur les surfaces coniques e^¥^^ ^i^iy ^^ enlève tout ce qui excède le contour des dents en ayant soin que toutes les génératrices soient rigoureusement dirigées vers le sommet A, de telle sorte que la droite

3ui partant de A serait assujettie à s'appuyer sans cesse sur le contour e la dent/*|Fj décrivit rigoureusement la dentO^o^

Cette méthode, due à Tredgold (1 823) et à M. Ponoeki, qui l'avait enseignée depuis longtemps, est d'une exactitude amplement suffisante en pratique. Elle suppose que les dents se conduisent dans de» plans perpendiculaires à BT, ce qui est rigoureusement vrai pour le moment où elles passent dans le plan Aa.a, et dès lors sensiblement Trai pour les arcs d'approche et de retraite qui s'étendent toujours» très peu en deçà et au delà de ce plan.

Au moment du contact, dans le plan AogO,, les vitesses angulaire» des axes sont donc rigoureusement en raison inverse des rayons a^T, a^T, et ces rayons de développements sont évidemment eux-méme» dans le rapport des rayons G|T, G^T des cônes dentés.

R étant le rayon G|T de Tun des c6nes, p celui a^T du développe'

ment correspondant, a le demi-angle au sommet, on a

Ainsi Paction d'une roue coniqne est équivalente à celle d^ane roue

droite du même pas dont le rayon serait • n étant le nombre de

dents de la roue conique , serait celui de la roue droite.

Ces relations montrent l'un des avantages des roues coniques sur les roues droites d'un môme nombre de dents, car les roues marchent d'autant mieux que le nombre de leurs dents est plus grand et Ton voit qu'une roue conique équivaut à une roue droite d'un plus grand nombre de dents.

Lorsque deux roues coniques sont égales et leurs axes à angle droit, il vient

et Faction d'une telle roue est presque équivalente à celle d'une roue droite qui aurait moitié plus de dents.

Roues de champ. Deux roues de champ parfaitement égales (fig, 2 , pL LXII), armées de fuseaux cvlindriques égaux et perpendiculaires à leurs plans respectifs, dont les axes prolongés passeraient à une distance fe l'un de l'autre égale au diamètre des fuseaux, se transmettraient encore leurs vitesses angulaires dans un rapport constant.

Soit en eiïet a le centre d'un fuseau en prise avec celui dont Taxe est({; menez /& dans le plan de la roue supérieure parallèlement à l'axe de la roue inférieure, et du centre a menez à fb la perpendiculaire ab. De même, par le centreC de la roue inférieure et dans son plan menez Ce parallèle & Taxe de la roue supérieure, puis du centre d la droite de perpendiculaire à Ce. ab sera pour l'une des roues le sinus de la distance angulaire à /i, et cd celui de la distance angulaire à Ce dans l'autre roue égale. Or la projection de la distance des axes a eil est égale à celle de 6 à c=/'e = diamètre d'un fuseau, donc ab = de et les mouvements angulaires sont égaux.

Lorsque les roues sont inégales {fig. 3, pL LY ), ce qui est le cas le plus ordinaire, et lorsque leurs axes se rencontrent, l'une étant armée de fuseaux cylindriques^ l'autre doit recevoir des alluehons dont la surface de révolution peut être déterminée par les considérations suivantes :

Traeé des alluehons. Soit (fig. 4) e le centre de la roue qui porte les fuseaux cylindriques et supposons d'abord ces fuseaux réduits à leurs axes; PAP^ est la circonférence primitive qui passe par les cen-

trea dès faseaux, et pA.m^ la projeclion da cercle primitif des allachons de la grande roue que l'on voit en plan (fig. 5). Soient enfin P un fuseau, fm Taxe du solide de révolution avec lequel il est en prisc^ pVf la courbe génératrice de ce solide, dont on voit une section sur le plan, au niveau de Pn. On suppose que les cercles se touchent en A.

Faisant AG = r, at= B, ma A = (p= distance angulaire de mf au plan des centres^ ACP = 6, mN=ar, NP=: An=:y, inp = p, ona

Am=:Rsin(p^ y = rsinvers6j Nm = P« — Am

2D =z: r sin 0 — R sin (p

Les vitesses aux circonférences étant égales par hypothèse et les points p et P étant en coïncidence en A, Tare AP de la figure 4 doit être égal à Tare tm de la figure 5, augmenté du rayon mp de la base du solide ou du moins à très peu prés, d*oà

j; = r sin 0 -— B sin

Cette valeur de x combinée avec celle de y permet de tracer par points la courbe jiVf, et rendant au fuseau son diamètre réel la courbe de l'alluchon s'obtiendra à la manière ordinaire en traçant une courbe parallèle à p¥f à une distance égale au rayon du fuseau cylindrique.

L'alluchon p¥f, en supposant qu'il conduise, se meut nécessairement dans la direction de la flèche et s'éloigne du plan des centres. Si l'on considère maintenant le fuseau P^ et l'alluchon PiF./^ pendant leur approche de l'autre côté du plan des centres à une distance angulaire 6 égale à la première, la valeur de y reste la même, mais on a {(f^ étant fait égal = m^at)

aîj = R sin Çj — r sin 6

R(p, — r0 = p=r6 — R(}) d'où résulte

R sin <Pj — r sin 6 < r sin ft — R sin y

et dès lors x^< x

«68 EN6BEMA6ES

La oooriie f^V/i n^est donc pas la mène que p¥f, mais die eit<Mprise dans celle-ci. Si les allachons sod( faits au tour, Taxe du solià de révolation colocidera avec le centre et la plus petite courbe ëoit être nécessairement adoptée ^ dés lors Taction ne se mainticDJn qu^antant que le fasean sera situé entre rallachon et le plan des entres. Or comme il convient que cette action s'exerce de pféféraoe après le plan des centres qu'en deçà, il s'ensuit que lorsque lei âllochons seront tournés» c'est la roue conduite qui deyra les reosToir, les fuseaux cylindriques devant alors être donnés à la roue qui mèoe.

La figure 5 montre que le lieu du contact desalluchons d'nneôlé du plan des centres comme en m^ est comprise très peu près daosh moitié de ralluchon qui est intérieure au cercle primitif, tandis que de Pautre cêté du plan des centres comme en m le lieu du contactât compris dans la moitié qui est extérieure. On pourrait donc obtenir Une action régulière de Tun et de Tautre côté du plan des centres eo formant la partie extérieure deTalluchon suivant P|F/| ^1 la partie intérieure suivant pF/. Ce qui montre la poêsibtVté pour les roues de champ de se transmettre leurs vitesses angulaires dans nn rapport constant. Au reste ces systèmes ont cet inconvénient que le coitact n'a lieu qu'en un seul point. On ne les emploie plus que pour des modèles ou dabs les machines dont le travail est excessiiement faible.

Application des développtMes â la trammisëiên du mounMMl * gîdaire mire deux ates qui ne se rencontrent pas* Faites tonmer k

Ïlan de Tune des roues de la figure 1^ pi. LIX> autour de la droite \e qui était le lieu du contact des dents ioraqne les roues B» À éUieat dans un même plan. Cette ligne De deviendra l'intersedîaB du plans des roues ; — la position de chacune des roues dans son propre plan tie sera pas changée par rapport k celte droite; — rinclinaisoD des axes aura variée ces axes ne se rencontreront pas^ et la perpeidiculaire eomtnune menée de Tun à Vautre sera é^ale à De; — oetle droite De sera toujours le lieu du contact des dents et le rapport des vitesses angulaires des axes restera constant el le même qu'avaDtb mouvement des plans. Des dents en développantes pourraient donc transmettre dans un rapport constant le mouvement de deux aies inclinés d'une manière quelconque l'un par rapport à l'autre pourfo qu'ils ne se rencontrent pas. Gela suppose toutefois que les roues soat infiniment minces ou Qu'elles ne se louchent que suivant la ligne D« intersection de leurs plans. La tranche de l'une d'elles devrait dooc, en pratique 9 être arn[)ndie de telle sorte que le contact n'eût lieo que sur la ligne De. Cette propriété^ au moins curieuse, des dév^ loppantes a été signalée par M. Olivier, à qui l'on doit de beanxet nombreux travaux de géométrie descriptive (Voy. Bulletin de k Société âC encouragement f t. XXXVIII, p. 430).

ENTU&ES. U9

Vdmr affnm$iiiaiif>e éi$ inwaûpêrd^ par k froikmmU 4w mfirenages. Soient:

S I*angle formé par leg plans des deux roaes^

n le nombre des dents de l'nnç d^elIcs et qui arrivent efTectivo: ment au contact pendant un tour;

n' celui des dents de la seconde ^ qui touchent eflectiyement pendant un tour de cette seconde roue;

f le rapport du frottement k la pression et qu'on suppose être le

«Âme pendant l'approche et peod«9t ia retraite ;

, ^ flffo d'f pproohe m le rapport , , ., ;

'^^ arc de retraite

T le travail que les roues se transmettent en une seconde;

ic le rapport 3.14159 du diamètre à la circonférence.

On a, d'après M. CorioUs, pour le travail par seconde absorbé par le frottement des engrenages.

• f^T (1+m») I /\ \'i "^"cog8

(l + m)« y n* ~ n'« nn'

Cette expression devient on minimum pour m^=si i , c'est-à-dire quand are d'approcbe :^ arc de retraite i elle se réduit alors è la moUié de ce qu'dile est quand le contact se fait d'un seul côté du plan des axes.

Si les roues sont dans un mémo plan et extérieures l'une à l'antre^ ce qui est le cas le plus ordinairei on a S = 180» et cos 8 = — i, il vient

ficl(i+pi^) fi . i\ (i + my [i'^nf)

c'est l'expression donnée par M. Pancelet, il y a plus de vingt ans.

Enfin lorsque l'une des roues est intérieure à Tautre 8 = 0 cos 8 = i et Ton a

r7tT(l + m*) /i 1 \

yalenr toujours moindre que la précédente et qui montre que le travail absorbé par le frottement est moindre pour les engrenages internes que pour les engrepages externes.

ENTHRES. Voyez Assbmblaobs.

ÉPAGTE. Nombre qui exprime l'âge de la Une en jours au re- BOiivellemeiit de l'année. On peut retrouver l'épacte par la règles autante qui ne s'applique que de 1800 i 1900 :

660 EPàCTE.

fo Betranchez 4 des deui deinMn chfffpes adroite do millénnie, dhrisez par 19, le reste de la division est len^mire d'oKy-

È^ Retranchez 1 da nombre d'or^ mnltipHex le reste par 1 1 , sopprimez tons les multiples de 30^ le reste est Vëpaeie civile.

Lorsqn^on connaît Vépaete^ il est facile d'en dédoire i> son tou Tâge de la lune pour une date donnée ^ ajoutez à cette date l'épacte de Tannée et autant <l'nnités qu'il y a eu de mois entièrement éoeolés depuis mars inclusiyement; retranchez 30 si la soustrâotion est possible ; le reste est l'âge de la lune à la date donnée.

Lorsqu'il s'agit des deux premiers mois de l'année, on substîtne mars à janyier et avril à février^ les dates lunaires étant respectifement les mêmes.

ÉPICYGLOIDES {pL XLIV). Courbes engendrées par an poial M (/îjf. 1) de la circonferenced'un cercle Ma/'qaî roule^ sans glisser, su r une autre circonférence M A F .

Si le cercle Mai rouie à l'intérieur du cercle MAE^ Tépicjckflde MF est dite itUem» ou intérîeiire.

Tracé. Soient R le rayon du cercle fixe dont le centre est 0, r celui du cercle roulant ; prenez sur chacune des circonférenci» ni arc de même longueur dételoppée.

Si cet arc embrasse D» degrés sur la circonférence 27cR ^ il en»brassera sur la circonférence roulante Sur» un nombre d de degrés tel qu'on aura nécessairement :

do = 5 Do

! ir

Divisez donc l'arc de D degrés sur la circonférence 3 icR'et oehii de d degrés sur la circonférence Sicr en un même nombre de parties égales et vous aurez :

arcs MA = Ma; MB = Mi; AB = ai; MD=:Md...

Par les points de division A, B ... F du cercle (ixe^ tirez des rajoos indéfinis, puis du rayon Oo = R -f- r = distance des centres^ dé* crivez oo^. Cet arc, pendant le mouvement du cercle tnobile sers évidemment le lieu du centre o de ce cercle.

Il n'est pas moins évident que te roulement du cejrcle mobile amènera successivement ses points a, b, c^ d .., sur les points correspondants A, B, G, D ... du cercle fixe, le point décrwantM s'éloignant lui-même successivement du centre 0, d'abord autant que a s'en rapproche, puis autant que b s'en rapproche ...., puis autant que es en rapproche, puis... etc., etc., donc :

Lorsque a sera en A, le point décrivant M sera sur l'arc décrit de 0 comme centre avec Oa pour rayon; or, M est aussi un point de

EPIGYGLOIDES. 661

la oircoDféreice da cercle générateur, dont le centre a passé en o^ ; donc U est en 1 intersection de l'arc ai décrit de O avec Oa pour rajon et de Tare io^ décrit de o^ comme centre avec r pour rayon.

Ainsi > du centre 0, décrivez des arcs de cercle passant par les points de division a^ b, c, d,.. fdu cercle mobile; avec le rayon r de ce cercle et successivement des lieux o^^ o^^ o^^ o. .., Oq de son propre centre décri'vez d'autres arcs; ils recouperont les premiers en des points 1, 2, 3, 4, 5, 6, qui appartiennent à Vépicycloïde.

Le tracé de Vépicycloïde interne dérive absolument des mêmes considérations. Le bas de la figure en montre l'application. On peut remarquer que cette épicyclo'ide interne se réduirait à une droite MM' si le cercle mobile avait un diamètre 2r = R = rayon du cercle fixe.

Enfin, si le cercle fixe avait un rayon B infini, sa circonférence deviendrait une droite et le point décrivant du cercle mobile engendrerait une CTCLOIDE.

En continuant le tracé de la figure, le point M du cercle mobile viendrait de nouveau au contact en M' extrémité du diamètre fixe MM', parce aue Ton a fait R == 2r dans cette figure.

En général, une révolution entière du cercle mobile donnera autant d^arcs d'épicycloîdes et autant de points de rebroussement que

Pindique le rapport - réduit à sa plus simple expression, et dès lors,

le point décrivant M ne reviendrait pas à son point de départ si ce rapport était incommensurable.

Tangentes et normales à Vépicycloïde. Soit t, le point de Tépicyclolde par lequel il s'agit de mener une tangente iT on une normale tSà la courbe. Du rayon O^ décrivez un arc qui ira rencontrer la circonférence génératrice en un point s , lorsque cette circonférence occupe sa position initiale. Ghercbez sur le cercle fixe le point S correspondant à s, ce qui revient à prendre sur le cercle fixe un arc dont le développement MC S soit égal à TAcs. Joignez I et S par une droite, tS est la normale au point /, et par conséquent, la perpendiculaire ^T à <S est tangente 11 la courbe au point /.

La nortnale tSkim point quelconque t de Tépicycloïde passe par le point de contact S du cercle de base et du cercle Générateur.

Considérons maintenant pour plus de simplicité les cercles fixe et mobile comme deux polygones réguliers (fig. 5) d'une infinité de côtés tous égaux entre eux mais infiniment petits

Ma = 0* = Je = AB = BC =

en sorte que ces polygones ne soient pas semblables; et faisons rouler Tun de ces polygones TAabç ... sur l'autre MABG ... Soit le rayon du cercle mobile ou celui du cercle inscrit au poly-

$«8 EPIGYGLOIDES:

gone iii<^île:= 1, dtf sod angle de contingence ai», -^hr

Tangle de contingeoce naB du cercle oa poljgonc fixe, poisqoela angles formés par deux arcs égaux dans diiïérents cercles soit entre eux en raison inverse des rayons de ces cercles. Gela posé, b seule inspection de la Ggure 5 donne facilement les relations on p priétés suivantes :

Pendant la rotation d^un sommet quelconque do polygone mobik autour du sommet correspondant du polygone fixe ^ e sur E pir exemple, une des extrémités E de la corde «M ou E 4 de Tare Mce = f pourra être regardée comme fixe, tandis que TautreMsi 4 décrira un arc de cercle qui sera le côté élémentaire dsi» l'épicjclotdc.

La tangente à répicycloïde sera donc perpendiculaire à la tmk de Tare f qui a roulé.

Le petit côté ds de Tépicyclolde se confond avec U|i are decerck décrit d^un rayon =;= corde ^ et égal h la somme des arcs de ooolngence

de = I dç 4- ^j corde y = (^^-f^) ^? • ««ï? Tare total s sera donc Tintégrale de la quantité ci«des8us> on , .= (l^).(.-c.J,)

L^élément de Taire dk est visiblement égal au petit triangle scaKoe dont d <p est la base et corde «p un des côtés, plus an triangle isoe^ qui a corde f pour côté et ds- pour base. Or le premier de ces ^ ments est l'élément du cercle, le second est

doDc Faire de Tépicycloïde est égale à l'aire du cercle plus i Vvnir 6RALB de la quantité précédente.

L'angle que font ensemble deux côtés consécutifs de l'épicydoiik est égal à -rr "f" ^^^^ angles à la base d'un triangle isocèle M l'angle du sommet est <f (p 4" -^, Gel angle de coatiogeocs 6 |tf donc

enfin le rayon p de courbare est égal au côté é$ de la oovrbs ëvi par Taogle S de oontiogenoe, donc

EQUATIONS. 663

2 (R + i) 2 «iû î cp 2 + R

de sorte que si, au lieu d'être égal à 1 , le rayon du cerclo générateur était r, on aurait

Si l'on faisait R négatif dans les foftnales précédantes, on aurait les propriétés de Tépicycloide interne.

Enfin si Ton y faisait R = infini , on aurait les propriétés de la CTCLOÏDB ordinaire.

ÉQUATIONS. On appelle équation une égalité entre deux quantités; c'està Taide des équations que se résolvent tous les problèmes.

2 se -\- bi=^a est une équation.

On appelle membre l'ensemble des quantités situées d^un mémo côté du signe =? ; on appelle i^^ membre tout ce qui se trouve à gauche du signe rz= et 2° membre tout ce qui se trouve à droite.

Les quantités qui composent un même membre lorsqu'elles sont séparées par les signes -}- ou — se nomment les termes.

Toute équation peut être considérée comme la traduction algébrique d^un problème et réciproquement tout problème donne lieu & une équation.

Les diverses questions qui peuvent se présenter conduisant à des équations plus ou moins composées, on a partagé celles-ci en plu* sieurs classes ou degrés.

Occupons-nous d'abord des plus simples ou de celles dites équations du premier degré. On nomme ainsi les équations dans lesquelles les inconnues ne sont multipliées ni par elles*mêmes ni entre elles.

Equations du V^ degré à une seule inconnue. Résoudre une équation, c^est arriver à une expression dans laquelle l'inconnue seule dans un membre soit égalée h des quantités connues, combinées entre elles par des opérations qu'on sache effectuer.

Il suit de là que pour amener une équation à cet état, il faut dégager ^inconnue des quantités connues avec lesquelles elle se trouve combinée.

Or l'inconnue x peut se trouver mêlée aux quantités connues par Toie d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, elle peut aussi se trouver élevée à une puissance ou placée sous un radical, ou entrer dans une proportion, comme dans les exemples suivants :

€64 EQUATIONS.

* ax — 5b=2Zdx-\-ie. . (B)

- — rf=36--2c . . . . (C)

V/cïT^^^^^^^^ = A -[- v/« — o« • (H)

La ré^Ie générale pour dégager l'inconnue peut se résumer aina : Faites sur les deax membres de Tégalité à la fois des opèralioni contraires à celles qui se trouvent indiquées par les signes ou simboles que subissent les quantités dont vous voulez débarrasser rinconnue. ,

Un terme connu est-il lié à Pinconnu^ savoir :

Par le signe de l'addition? soustrajez-le des j ce qui revient à le deux membres -, i changer de meO'

Par le signe de la soustraction? ajoutez- le ( bre en changeait aux deux membres^ ] son signe.

Par celui de la multiplication? prenez«le pour diviseur de tousks termes des deux inembres^

Par celui de la division? qu'il multiplie tous les termes des deox membres.

L'inconnue est-elle élevée à une puissance? extrayez la racine correspondante;

Est-elle sous un radical? élevez à la puissance correspondante;

Entre-t-elle dans une proportion? égalez le produit des extrémei au produit des moyens et opérez comme on vient de le dire.

Ces régies sont fondées sur ce que l'on peut pratiquer sur deoi

3 nantîtes égales des opérations semblables^ sans qu'une égalité cesse 'avoir lieu. Les exemples suivants vont éclaircir la régie.

(A) Dégager 07 de x — 3 + 5 = 9 Ajoutez 3 aux deux membres, il vient :

a? — 34-3-f5 = 9-f-3 ou x-|-5=:9-f-S

EQUATIONS. SM

Sondlrayez 5 , il viait :

0^5-«5 = 9-|-3 — 5 ou 0= 12 ^^5 ei x su 7

On voit que l'on aurail pu se eontenter de bire passer les tonnes d'an membre dans Tantre en changeant lenrs signes et l'on aurait eu immédiatement

(B) i ax — B b =z 3 dx -{- ^ c

Ajoutant 5 i et retranchant 3 dm dans les deux membres , ce qtti laisse toujours subsister une égalité, il yienl :

kax — 56 + 6A — Zdxzi^S dx — Bdx-^ib-^-êû ^tant les termes qui se dètruisenti Pun par l'autre» il vient :

résultat auquel on serait parvenu en changeant dans (B) les signes des termes qu'çn transpose^ ce que nous ferons toujours à Tavenir.

Réunissant ^n .un sèjol terine, en conservant leurs signes, tous les facteurs qui multiplient x lorsqu'ils se trouvent tous ramenés dans le premier membre de Péquation, on a

(«a — 3rf)aî = 56-f4c

dhisani par (4 a — 3 d), puisque (4 a — 3 d) est muUipKcateury il vient :

(4tf — 3il) 4a — 3il '^ 4a — 34

en remarquant que le dividende et le diviseur étant égaux le quotient est 1.

muUipliani par a qui est diviseur, il vient :

Î->1^ s= (3* — 2c + d)« ou x={3b — ^e + d) a

(^ 1 + 5 — I = »; en suivant la règle on aara :

«XSX6 I *X*X6 «X*X5 9X*X5X6 ♦X8X6 "*■ 5X*Xfl «X*X5"" 4X5X6

«€e EQUATIONS.

pour se débarrasser du divisear commun 4 X ^^ ^» ^^ ^'^^ multiplier tous les termes par ce diviseur 130, et comme on peJ multiplier une fraction en divisant son dénominateur^ il vient : ^

SO d? -f 24 â( — 20 âP = 360 ou (30 + S4 » 30) a: = 3C0

On remarque ici que lorsque tous les termes d'une équation oal un même diviseur, on peut le supprimer sans qu'une égaiilé oean d'avoir lieu. Il en serait évidemment de même si toos ces tems avaient un facteur commun.

V'3« + 4 4-* = ^ donne i/ST+ï =6 — 2=4

(V) \ X : a :: 5i : 3 c donne Péquation — -— z= 5 ai

d'où l'on tire 9 ex =z ^0 ab as = -- —

donne d'abord en élevant au carré , puisqu'il y a un |/'

on a' -j- X* -j- ^ ^'^ = «^ + ^ |/4 6«4-«*

puis, successivement :

a:* -|- 2 aa: = Jî {/TT^'+Id*

qaarraDt (le nouyeau pour faire disparaître le 1/*^

(a; + 3 a)» = 4 A» + «' «* -f- 4 a" -j- ♦ aa? = ♦ 6» + x»

EQUATIONS. «•■'

a;» a» + 4 a« = * A' — ♦ o* ax :=z b^ — a*

(H) Soit enfin \/ex^ac = 6 + V/ï^=^ qui revient k

divisant tons les termes par (/«— a» on a

renversant les firactions, ee qai laisse subsister une égalité

multipliant par b

élevant au earré

c + 1 — ay/r"^^ *

Voici quelques antres exemples que nous dèfelopperons un peu moins :