SU

6M EQUATIONS.

« |/4 + «* -{-44-^* = ^ x^ (4 -f x») = 16 4- «* — 8 Jt^

(L) Od tirerait encore, savoir :

de

de

•HÎm

i»4-aj«

en élevant les deux membres à hi quatrième paissanee.

Faisons l'application de ces méthodes à quelques problèmes.

Pour parvenir à résoudre un problème il faut d^abord Ibnner entre ses données une éptatioUf puis il faut résoudre cette équatîoD. On a donné des régies générales pour former l'équation de tout pnn bléme, mais leur généralité même en rend TapplicatioA mshk diScile. L'habitude, le raisonnement suppléeront bientôt ces règles.

IHùphanUf Fauteur du plus ancien livre d'algèbre qui nous reste,

Sassa dans l'enfance le sixième du temps qu'il véeut, un douxième ans l'adolescence , ensuite il se maria et passa dans cette union le septième de sa vie, augmenté de cinq ans, avant d'avoir un fils asquel il survécut de quatre ans et qui n'atteignit que la moitié de Fige auquel son père est parvenu; quel Âge avait Diophante lonqi^ mourut?

SohUiim. Soit m cet fige auquel il mourut, ou le nombre d'années qu'il vécut, il est clair que sa vie entière x se compose de son enfimce

-, de son adolescence r^, du temps que dura son union = -f" ^'

de la vie de son fils -, et du nombre d'années qu'il lui survécut ou

4; donc :

î + i-i-f + s + îi^ — ^

multipliant par 2 tous les termes de l'équation pour simplifier, réduisant les entiers du premier membre en fractions de mime déno'

EQUATIONS. «W

^ a?» ^« -f. 4 aa? = 4 i^ — ♦ a*

r ax zs: b^ — a*

(H) Soit enfin |/e« — ac = 6 + v/îr=^ qui revient à , . |/«(»— a)== •€" X \/J^^ = 4 + |/« — «î

' divisant tons les termes par |/âs— a» on a

renversant les fractions^ ce qai laisse subsister ane égalité

t y/aT^

multipliant par b

élevant au earré

Voici quelques autres exemples que nous développerons un peu moins :

(I) 13 — WTl = V'13 + 3«

il vient successivement

13 + 3 X = (13)* + 3 05 — 2 X 13 y/Vi

2 X 13 /Tï = (13)* — 13

2 y/zZ == 13 — 1 = 12

<70 EQUAnONS.

Le premier oarrior gagnait donc 4 fr. par j joar.Uatrawaié ^ = 2* jours. songainestbieiiJtlr.

Le second gagnait :

ee^Tei; — g^Tai — ^ — ^"^' par jour; jgangamertbieii54(r. il a travaillé six jours de moins que le premier ou 18 jours.

Un père étant interrogé sur Tâge de son fils, répond : 1% du àoiàk de l'âge qu'il a maintenant vous retranchez le triple de celui qui ayait il y a six ans , tous aurez son ftge. Gomment faire pour k trouver?

Solution. Représenter cet âge par x et résoudre Tëquatioii

2x — S (x — 6) = x qui deyient

2a5— 3»-|-18 = a5 ou — aî-j- 18=05 d'où 2 x = 18

d^oùy enfin x=z -^ z=:9

L'enfant a donc 9 ans.

Trouver toui hs fMtamii où hê deux aiguilles éPune monire smf a coïncidence.

Soit X l'espace circulaire parcouru sur le cadran par TaiguSlefa heures entre une coïncidence et celle qui la suivra.

L'aiguille des minutes marchant 12 fois plus vite parcourra en demment dans le même temps l'espace circulaire 12 a;.

Soit c la circonférence du cadran, l'aiguille des minutes parcoani évidemment entre deux coïncidences l'espace circulaire c 4- x.

Mais nous venons de voir que 12 x est aussi la valeur du laè^ espace, donc

12 » = c + ^ dOûC ® = Tj

donc entre deux coïncidences l'aiguille des heures parcourra k^i^ cadran ou le ~ de douze heures, ou enfin || d'heure i= l ^ et n* Mais il 7 a coïncidence à midi , donc il y aura coïncidences i

La résolution des équations ou problèmes da premier degri cor

EQUATIONS. 671

doit en définitive i une équation finale que l'on peut représenter

d'une manière générale par

ax z=z b ou CB = -

en faisant d'abord abstraction des signes de a et de ft. Qr^ il peut se présenter divers cas où :

10 a et fr ont le même signe^ et alors on a âs = ^^^ =: - et x a le signe -f- ^^ ^' pontife ^ " *

âo Ou a et 6 ont des signes différents et alors l'inconnue a? a le signe — ou â; est négatif.

Lorsqu'un problème régulièrement mis en équation conduit à une solution de ce genre ou donne à l'inconnue une valeur négative, cela signifie ou bien que la solution est impossible , ou bien, lorsque la question se prête à de telles interprétations et c'est ce qui a lieu le plus souvent, cela annonce qu'il faut changer la qualité de l'inconnue en une qualité opposée , et par exemple des degrés de chaleur en degrés de froid, une vitesse dans une direction en une vitesse dans une direction contraire, un avoir en une dette, un bénéfice en une perte, ii une hauteur au-dessus d'un point en une profondeur au-dessous de ce point, une distance à sa droite en une distance à sa gauche, une

action en une réaction, une puissance en une résistance, etc.;

30 b étant zéro, on a â? = - ou aâ? = 0, c'est-à-dire que puisque a

n'est pas zéro par hypothèse, il faut bien que x soit zéro lui-même 0 pour que son produit par a soit = 0 ,-

40 b n'étant pas nul ou zéro et ayant un signe quelconque, et a

étant zéro, on a o; = jr , ce qui ne veut point dire, tant s'en faut^ que

p xc soit = 0 comme dans le cas ci-dessus. Remarquons en effet que

as n'est autre chose que le quotient de b par zéro ; or zéro ou rien

^ étant contenu dans une quantité quelconque b un nombre de fois

^ inassignable, ou infiniment grand, on exprime cette circonstance

^ par un caractère particulier qui est celui-ci 00 ; on a donc a; = 00 ^

on dit alors que x est infini ou infiniment grand, c'est-à-dire plus

grand qu'aucune quantité quelque grande qu'elle soit; et suivant

qu'en vertu du signe A^b, x acquerra le signe -{- ou le signe — ,

sa valeur sera infinie dans un sens ou dans l'autre.

50 Enfin h ainsi que a peuvent être égales à zéro; l'on a alors

jk a; = -, on dit alors que x a une valeur indéterminée y - étant le signe

de l'iNDÉTERHiNATioiv. Eu effet ^ = p: suppose 0 X ^c = 0 , c'est-àdire suppose que x est un nombre tel qu'en le multipliant par zéro

679 EQDATIOMS.

le produit sera égal à i6ro. Or, n'est-il pag évideDl tpk'nu wmàn quelconque multiplié par zéro = 0, a; a donc une Taleôr jViboiifiie, X est maéêermini, et lorsqu^un problème oonduira à une valeur de

â? = - on en conclura que tous les nombres quelconques résolvent

la question.

Toutefois avant d'affirmer qu'il en est ainsi,. il fiiudra s'assurer que Ton n'est point arrivé h cette expression en rendant nul quelque

facteur commun aux deux termes de la fraction générale -, et il

faudra faire disparaître ce facteur commun avant de se prononcer sur la vraie valeur de x.

Si par exemple un problème conduisait à un résultat iiitl

X = --, et qu'on voulût voir quelle valeur prendrait x à

dans une hypothèse particulière a devenait = 6> on pourrait être

tenté de croire que x deviendrait alors x =^ ■ = - ou inèft^

terminée -, mais ce serait à tort, car en faisant disparaître d'abord le &cteur (a — b) commun au numérateur et au dénonainaleiir, il

Vient X = — -— - = ^ ZTfc — = a + * ^ ITijpothéSB

a = & rend â? = 2 a et non â? = jr ou indéterminé. {Voyez nos-

TBRiuiiATiON pour trouvcr dans tous les cas la vraie valeur des ek*

pressions qui, pour certaines hypothèses, deviennent --.

Remarquons encore ou que Ton a mal raisonné ou que le probléne proposé est absorbe lorsque l'équation finale à laquelle on

renferme quelque absurdité , comme par exemple lorsque Toa tooibi ] sur une égalité entre deux quantités manifestement inégales 3 c=c ou lorsqu'on trouve pour x des nombres fractionnaires ou négatift dans un problème dont la solution ne peut admettre que des nombres entiers et positifs.

Eliminatian. Lorsqu'une question renferme autant de eonditîoM distinctes qu'elle contient d'inconnues , chacune de ces condition fournit une équation dans laquelle il arrive souvent que cet ineonnues sont mêlées entre elles. Si elles ne sont qu'au in^mier degré y on les élimine successivement par F un des procédés suivants :

i^ cas de deux équations et deux inconnues â? et y. Prenei dans chaque équation la valeur d'une même inconnue, x par exemple, et comme si y et les autres quantités étaient connues, égalez les deux valeurs de x ainsi trouvées, vous n'aurez plus qu'une seule èquatios et une seule inconnue y ^ résolvez cette dernière équation qui dennen

EQOAHONS. 673

It valeur de y ; substituez cette valeur de y dans l^nne ou l'autre des deoi équatioDS que vous avez prises pour la première opération et vous aurez en la résolvant la valeur de y.

ExEHPLB. Un problème a conduit aux équations :

5 a? 4" 3 y = 66 . . (b) Téquation (a) donne x = — - — , l'équation (ô) donne x = — -~ ,

donc — — ^ = — r — - , équation qui ne contient plus d inconnue

que y; en la résolvant on trouve 6y — 5y = 130 — 120 ou y = 10; mettant cette valeur de y à la place de y dans Tèquation (a) ou l'équation (6) par exemple ^ il vient 5 a: -f- 30 = 65 ou Jî = 7.

Si les deux inconnues os et y n'entrent pas dans les deux équations, on évite une substitution ; ainsi, soit :

5 ax z=z Z b

ex -{' dy =z e

le calcul en devient plus simple. La première équation donne Jp = ~ , la seconde donne x = ^ d'où -— = Î-H— r

5a 5ac— 36c ^ 5a c

et enfin y = — - — ; — .

^ 5 ad

Autre méthode. On peut encore multiplier les deux membres de la première équation par le coefficient de x dans la seconde, puis les deux membres de la seconde par le coefficient de x dans la première. On prend ensuite la somme ou la difTérence des deux équations selon que les signes de x dans les deux équations sont dissemblables ou semblables^ c'est-à-dire qu'on s'arrange pour que les termes en x se détruisent ; il ne reste plus alors qu'une équation en y. Le reste de l'opération se fait comme ci-dessus. Soit encore

2 a; -f y = 24 il vient 10 x -f- «"^ y = 120 5a?-j-3y = *^ 10« + 6y=130

employant la soustraction, puisque les signes de x sont semblables, il vient

lOay-f-fiy — 40x— 5y=130— 120 ou réduisant y = 10 et la première équation donne ensuite

2 ^ -f- 1 0 = 24 d'où ai = 7

674 EQUATIONS.

2« cas. Trois équations et trois inconnues a;, y, s. RésoWex équation par rapporta la même inconnue, x par exemple, et si y et z et tout le reste était connu. Egalez Tune des trois Tal trouvée pour x à Tune quelconque des deux autres; pais ces autres entre elles^ ou Tune d'elles avec la première. Vous n*ai plus que deux équations et deux inconnues, et tous tombeK dansl cas précédent. Soit

2a: + 3y4-4jf = 160 . .

5a?6y-f-7jr=100 . .

8a: — 9y -^-iOz — 160 . .

L'équation (a) donne