m -|- 5ft

et l'équation primitive se trouvera immédiatement réduite à (7 — 2 m + 3 n) jf = 179 + 64 m -f- 75 n d'où l'on tire ^ ^ i79 + 6im + 75n

z serait donc connu si Ton avait m et n, or on tire facilement des équations de condition :

^— 8 fj, . ^-^ -5n-3 , 31 28

676 EQUATIONS.

;: = 15. Substituant la valeur de cette iocounue dans deux des équations primitives» on déterminera x et y en employant une éqiution de moins. On aurait pu déterminer â; ou y de la même maDiëR que Zy seulement m et h auraient pris d'autres valeurs.

Problèmes indéterminés. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici sopposait que Ton avait autant d'équations indépendantes quMI y aTih d'inconnues à déterminer; or A arrive quelquefois 1<» que l'on a moins d'équations que d'inconnues ^ â» que Ton a au contraire plos d'équations que d'inconnues.

i^^ CAS. M&ins d'équaticns que d'inconnues. Lorsqu'on tombe snr ce cas, il 7 a des inconnues dont on peut disposer arbitrairemeol; la question est dite indéterminée parce qu'elle admet un nombre »■ défiinde solutions; mais si, comme il arrive ordinairement, on» donne la condition que les nombres cherchés doivent être entiers d positifs, alors le nombre des solutions diminue notablement et quelquefois devient nul.

Si l'on demandait de trouver deux nombres dont la somme fàt égale à 4, on aurait l'équation :

On pourrait disposer de y , et donnant à cette inconnue des vakars positives croissantes depuis 0 jusqu'à 4, on aurait une infiflitéde valeurs correspondantes pour j?, môme en laissant de c6té les valeon négatives.

Que si on ajoute que a? et y seront des nombres entiers et posilifc^ la question n'admet plus qu'un nombre déterminé de solutions e( l'on voit que faisant successivement

on a jî = 4 3 2 1 0

valeurs qui satisfont toutes à x -f- y = 4

Soit l'équation générale

ax -^ by zzz c . ." (A)

dont on cherche les solutions en nombres entiers.

Cette solution ne sera possible en nombres entiers qu'aulaniqa^ a, b, € seront eux-mêmes entiers, et en outre a et b devront n^a^^ aucun facteur commun à moins que ce facteur ne le soit aussi dee.

Si l'un des coefficients a ou i était =: 1 , a par exemple; on ao rait immédiatement

a? = c — - iy

et ne prenant pour y que des nombres entiers, on aurait {on\&^ solutions de la question.

EQUATIONS. 677

Mais si a est difFérent de Tunité^ voici comment on gouvernera les calculs :

Supposons a < i; divisez h par a vous aurez un quotient m et un reste r, de sorte qu'on peut poser i ==ma -j- r; et Téquation (A)

deviendrait a (a? -f- my) -|- ry = c. ^

Faisant a; 4~ *^y = ^ ^^'^ prendrait la forme

ry -f- or = <r . . . [AT)

Si r était zzi 1 la question serait résolue, car on aurait les équations

x=::t — my y=:c — ai

qui donneraient des nombres entiers pour x et y en prenant de pareils nombres pour t.

Si r est > 1 ^ comme r est nécessairement < a , divisez a par r vous aurez un quotient m' et un reste r', de sorte qu'on peut poser a = m'r -f- r', et Téquation A' deviendrait r (y -f- fn'i) + r'I = <?.

Faisant y -)- m'r = u elle prendrait la forme

r'i + ru = c . . . (A") et si r' était = 1 la question serait résolue^ car on aurait : x:=:$ — my y=tt-^m'l r=:« — ru

qui donneraient des nombres entiers pour l, y et i en prenant de pareils nombres pour u.

Si r ' est > 1 9 comme r' est nécessairement < r , divisez r par r' vous aurez un quotient m'' et un reste r" de sorte qu'on peut poser :

et Téquation A" deviendrait r' (r + m"t4) + r"ti = c. Faisant l -f- m"u = t)y elle prendrait la forme

et si r" était = 1 ^ la question serait résolue^ car on aurait :

x=zt — my y = u — m't tz=:v — m"tt uz=ze — r*v

qui donneraient des nombres entiers pour u, /, y, x en prenant de pareils nombres pour v.

Si r" était > 1 on diviserait r' par r". Ton aurait un quotient m'" et un reste r"' ou r' = m'" r " -|- r'", et l'équation A'" deviendrait r" (u^ m'"v) + W"© = €.

Faisant u -j- ^'^'t) = u>, elle prendrait la forme

r'"t;-fr"uj = c . . . (A»0

et si r'" était = 1 ^ la question serait encore résolue par les cinq équations :

678 EQUATIONS.

vnzc — r"w

Soi doDDeraient des nombres entiers pour v, u, tj y^ x en prenant e pareils nombres pour u>.

En continuant ainsi, on tombera nécessairement sur une équation dans laquelle Tune des inconnues aura 1 pour coefficient, puisque les restes successifs r^ r', r" qui deviennent coefficients s'obtiennent par l'opération, qui sert à trouver le plus grand commun diviseur, et que a et 6 sont premiers entre eux. Arrivée à ce point la questioD est résolue ainsi qu'on Pa vu plus haut.

Exemples. On demande comment on pourra faire équilibre à do poids de 254 kilogrammes, en mettant dans Fautre bassin de la balance des poids de 11 et de 5 kilogrammes?

On a évidemment, x étant le nombre de poids de 5 kil. et y celai des poids de 11 :

5x 4- Il y = 254

d'où m = 2 r=l a=5 4 = 11 c = 254