X :=! i — my y = c — ai
deviennent â; = 11 I — 508; y = 254 — 5i
j?devantétre positif, ilfautqu'on ait 1 1 l>508ou(iifBGAUTBs)t>46.1 ydevantétre positif, il faut qu'on ait 5/<254ou i<5d.8
i est donc plus grand que 46.1 et plus petit que 50.8.
Faisant I = 47 48 49 50
on a y = 19 14 9 4
de sorte que l'on a quatre manières de faire équilibre à 254, sans compter celles qu'on pourrait obtenir en admettant des nombres entiers et négatifs, c'est-à-dire en plaçant des poids de cinq et orne kilog. dans le même bassin que le poids de 254 kilog.
Alliages. Soient v, t>^ t;''.... les valeurs respectives de l'unité de mesure do différentes substances
s, è\ s^'... les nombres d'unité de mesure de chaque substance qui entrent dans un mélange dont S exprime le nombre d'unités de mesure.
On demande la valeur V de Tunité de mesure du mélange S?
On a évidemment :
tv -\- *'»' + s"v" -I- . = SV
EQUATIONS. 679
et le problème est tout à fait déterminé.
Si maintenant on demande :
Quels nombres respectife d'nnités de mesure . . m, »\ «". . .
ayant des valeurs respectives ^9^\ ^"' • •
il but mélanger pour que l'unité de volume du mélange ait une valeur Y? On a encore les équations ci-dessus ; si l'on ne mélange que deoi substances ces équations deviennent :
« + «' = S 8V + s'v' =z SV
d'où â = S — «' et «' = ^^1^ . . . (dO
et le problème est encore déterminé; mais s'il y a trois substances il devient indéterminé, c^est-à-dire cjue Ton n^a plus pour déterminer s, «' et «" que les deux équations primitives (d). On en déduit :
AppUcaiions, On livre pour charbons de chêne à une forge un mélange qui ne pèse que 200^ le mètre cube; on soupçonne qu'il y a été mêlé du charbon de pin. Le mètre cube de cette dernière espèce pèse 137^.5; et l'on sait que le charbon de chêne pèse 250^ le mètre cube. On demande combien il entre de charbon de pin et combien de charbon de chêne dans ce mélange?
On a (d!) V = 200 r = 250
il vient, pour déterminer le charbon de pin :
f 200 — 250 — 50 4 ' ~ 137.5—250 ~ — 11-2.5 ~ 9 et pour le chêne :
On a deTor aux titres suivants : 0.933 = v, 0.906 = v' et 0.892 rrt?"; combien faut-il prendre de grammes s y s\ s" de chaque espèce pour composer un mélange de 1000 grammes = S au titre moyen de 0.900 =¥?
Les équations (t) deviennent :
680 EQUATIONS
ou multipliaDt toul par 1000
remontant anx équations (A'') on a
t? = 23000 — 2 te . . . «"= 17 ir — 138000
u = 3 M? — 23000 #' = 253000 — 31 ir
1 = 115000 — 14w *=14ir — 114000
il faut que Ton ait :
tf» > -— -— ou 8117.6
U) > — rr— ou 8142.8
253000 tr < ou 8161.2
La seconde condition comprend la première : w sera donc entre 8142.8 et 8161 .2 ; il peut donc aToir pour valeursoo 81 43^ ou 8141, ou 8145 ou 8161. Ce qui donne 19 solutions.
On a , par exemple :
Pour w := 8143 8144 8145 8146 8160 8161
S » 1000 ÏÔÔÔ ÎÔÔÔ 1000 ÏÔÔÔ ÏÔÔÔ
Ce tableau montre quMI sul6t de connaître les limites de ir et Pune des valeurs respectives de #, s\ s'* pour en déduire tontes le$ autres par additions ou soustractions.
Ainsi pour u)=: 8145 on a «"=465 <' z=: 505 « = 30
Il suffit d'ajouter 17 h 465, 14 à 30 et de retrancher 31 de 505 pour avoir les valeurs correspondantes & u) =: 8146.
Ou bien encore, suivant une marche inverse, on déduira des fileurs trouvées pour le cas de to = 8161 celles qui correspondent à iD = 8160, en retranchant 17 et 14 qu^on avait ajoutés toa(^ rheure et en ajoutant 31 qu'on avait retranché, ces nombres 17.31
EQUATIONS. 681
et 14 sont les coefGcients de w dans les valeurs générales de s", s\ s^ «t Ton voit que la série des valeurs particulières de ces lettres forment nécessairement des progrbssioxs par différence. On démontre qu^il doit en être toujours ainsi et que dans la progression relative à ê' la différence est le coefficient de «'' dans Téquation primitive, tandis que dans la progression relative à <" c'est le coefficient de 5' dans la même équation qui est la différence.
Exercices. Soit à résoudre *iO a? — 31 y = 7 On trouvera y = 3 a? = 5
le nombre des solutions est illimité.
(Il) 3 x—by = 9
On trouve ar = 8 y = 3
œ = S -f- 5 y = 3-|-"3 le nombre des solutions est illimité.
3 a; -j- 2 y = 20 donnent j/ = 7 * 4 1
x = 2 4 6 trois solutions.
ar-j-y -f-i =: 100
2x-f-y + i^ = 70 donnent treize solutions.
On demande de disposer 20 chevaux dans 5 écuries de manière qu'il y en ait toujours un nombre impair dans chacune?
s est le nombre des chevaux de la première écurie; t celui de la seconde ; X celui de la troisième ; y celui de la quatrième ; z celui de la cinquième.
8 eit étant impairs s^i sera pair, faisons i-^-t^zp-, de même ^ -f- y sera pair, faisons x^y =zq.
p -f- g sera donc pair. Ajoutant kp-j-qle nombre z qui est impair on aurait p 4- g -|- z = nombre impair ; or 20 est pair. Il n'est donc pas possible ae faire ce qu'on demande.
682 EQUATlÔWS.
La méthode donnée pins haut s'applique à un nombre queleoDqae d'équalions. Ainsi Ton peut encore résoudre lès questions du genit de la suivante.
En comptant les ouvriers d*uùe usine 2 par 2 il en reste 1;
en les comptant 3 par 3 il en reste 3;
en les comptant 5 par 5 il en reste 3. QmI
est le nombre N des ouvriers?
ona N=:2a?-f-i N = 3y + 2 N=5«4-3
on éliminant N
2j;— 3y=l ... (a) 3y — 5jt = i ... (4)
on résoudra (a) comme si elle était seulc^ on trouvera :
î/ = 2t— 1 xz=z3t— 1
substituant cette valeur det/^dans(i) elle deviendra — 5 z-|-6l=:4((]
Résolvant c on en déduira z =u-\-t ^ = 5u-{-4 et remontant aux valeurs de z,y eix, on aura
.a?=15u-f-ll f/ = 10w-[-7 jE=6u-|-4 et Tune des équations proposées N = 2 a; -{- 1 donnera
la plus petite valeur que puisse avoir N correspond à m = 0; ooa alors N = 23.
Enfin si Ton avait une équation à trois inconnues
aa; + ij/ + ^* = d
on pourrait faire z r= 1 et chercher toutes les solutions possibb. puis js = 2 et agir de même, et ainsi de suite pour chaque hjpolhise faite sur z.
Ou bien encore smvre la méthode suivante : 10 Faire passer cz dans le second membre, ce qui donne
ax ^ by =: d — cz^
^0 Faire d — cz =z c'/
30 Traiter l'équation ax + by z=z c' par îa méthode deoiée, jusqu^à cequ^on parvienne à Téquation danstaqtrelle Fune desineoi^ nues n'a pour coefficient que Tunité;
40 Remonter aux valeurs de â: et de y après avoir remis d—^ii la place de c' , et t; étant par hypothèse la dernière des incoww» auxiliaires, on prendra v et z arbitrairement, mais de manièreoepefidant qu'il n'en résulte pour x et y que des valeurs positives.
EQUATIONS. 683
L'équation 5â? + 8]/-(.7z = 80 conduirait ainsi à y= 100— 14z — 5» a:=: 8t> + 21« — 150
Equations du second degré. En mettant un problème en équation et cherchant à résoudre celle- ci , on se trouve souvent conduit à des expressions dans lesquelles Pinconnue se trouve élevée à la seconde puissance. L'équation est dite du second degré lorsque la plus haute puissance de Tincoonue est la seconde.
m^/' + pz=:n, mx^ J^~ pxzzzq sont des équations du second degré.
Les équations de la première forme mx^ -|-]p=:.n se résoudront en isolant le carré de rinconnue , puis tirant la racine carrée de chaque membre; on aurait donc :
oii X z=z v^Â" en faisant ^ =r A
toutefois on devra affecter le radical ^X du double signe ± de sorte que la valeur générale de x sera ±: \/X ce qui est fondé «ur ce que ( — \/T) X (-r- \/T) ~ A tout aussi Vien que
On affecterait àe même du double signe ± le radical du second degré des quantités négatives^ ainsi l'équation a;' -j- A = 0 donnerait
Lorsqu'une équation ço^duU ^ unq ^aleqr imagihàyu de l'incpnnue =1^ ± v^^A » oa ^ p^^t conclure en général que le problème est impossible; cependant (t7oy. ^lAGlIfAIRps) on ne doit point négliger ces expressions dans le poqrs des calculs^ parce qu'en se combinant entr'elles , Timpossibilité ou l'absurdité apparente du problème <}isp^raU quelquefois.
On demande ^e construira un triangle rectangle dont on donnp l'hypothënuse&, et dont les côtés de l'angle droit sont égaux. 0p sait (géométbie) que l'on a alors
Si au lieu de supposer les côtés égaux, on avait dpnné pour condition qu'ils fussent entre eux comme les nombres m : n, x étant l'un et y l'autre, on aurait eu
«8» EQUATIONS.
d'où
' «ni l
H -1 eta;=:db i/ , n«
EquatioM à deux termes. Il es|l facile de voir que Fod résoudra de la môme maDièrc toutes les équations où il irentre qu^une seule puissance de l'inconnue , quelle que soit cette puissance; on les appelle EQUATIONS A DBux TERMES parce qu'elles peuvent toujours être réduites à cet état.
Gomme ci -dessus» on dégagera la puissance de Pinconnue et Pon tirera la racine du degré marqué par l'exposant de Pinconnae ;
aa;»4-ia?»::=a*4*— a*6* devient (a + i)^* == a*4* (a — 4)
Si Texposant n est impair, x n'a qu'une seule valeur réelle , les autres sont imaginaires ;
Si en outre le second membre de l'équation q est négatif, te a une valeur négative ;
Si Pexposant n est pair, x a deux valeurs , Tune positive, Taotic négative.
Ces valeurs peuvent être toutes deux réelles, ou toutes denx tmoginaires. Ce dernier cas a lieu si le second membre jr a le signe — . (Voyez plus loin équations en général.)
^« degréy cas général. Si l'équation contient non-seulement la seconde puissance de l'inconnue, mais encore la première, alors :
10 On passera dans un seul membre tous les termes qui contiennent X ou x^, et les quantités connues dans l'autre ;
2*^ Si le terme qui contient x^ est négatif, on changera les signes de tous les termes dans les deux membres pour le rendre positif;
30 On débarrassera or' de ses multiplicateurs ou de ses diviseurs en divisant ou multipliant tous les autres termes de l'équation par ces multiplicateurs ou diviseurs de x^-
Gela fait Péquation aura pris la forme générale
x^ dzpx=±q . . . (a)
pour la résoudre, on ajoutera aux deux membres le carré de la moitié du coefficient de x, ce qui donnera
EQUATIONS. 685
or, dans cet état, le premier membre est évidemment un carré j
C'est celui (œ -\- ;* p)' si p avait le signe -f- C'est celui (j? — ^pY si p avait le signe — dans Têquation (a).
On a dès lors :
(x±{py=z±q^\p' d'où
x = zç:{p±\/{p'±q
telle est l'expression générale de la valeur de x dans Téqnation du second degré , d'où l'on voit (pour toutes les hypothèses que l'on puisse faire sur les signes de p et de q) que
les équations de la forme donneront pour x
x^-\-px = q , . x = -|± l/Ç + î X* -\- px z= — q . ar = — |± [/ ^ - g
x*—px = q . . a: = + I ± |/Ç + ,
x^ — px := ^ q . a: = + |± j/Ç - q
La valeur de a? = la moitié du coefficient du second terme pris avec
un signe contraire ± la racine du carré de cette moitié ajouté au
terme connu.
On pourra s'exercer sur les exemples suivants dans lesquels «' et
as" désignent les deux volumes de x.
, ( «' = 9 X* — 8 or + 10 = 19 on trouve x=2 — 4±5 | ^„^l
— - = -g ontrouve x = ^,±:f, «
a?* + 2 j? + 4. |/x« + 2aî + l = 44
cette équation qui ne paraît pas d'abord rentrer dans la forme géné- , raie y rentre cependant, car y/x^ + 'ix + i est (^ + 1)? il vient
••^^^ x^+ ex = M
686 EQUATIONS.
Oo aurait encore pu la. résoudre ea ajoutant i de part et d'aotre, complétant le carrée extrayant la racine et transposant.
La quantité de lumière qui atteint une même surface est en raisoi inverse du carré de sa distance au corps lumineux, et en raison directe du pouvoir éclairant de celui-ci ; cela admis, on demande ci quel point de la ligne AB on doit placer un écran G pour qu'il reçoive des corps lumineux placés en A et B la même quantité de lamière. Le pouvoir éclairant de A est 1 , celui de Best 4, la distance A B est de trois mètres.
X étant prise pour l'a distance de la plus faible lumière à Féeran C, 3 — X sera celle de B au même écran.
La quantité de lumière reçue de A sera dès lors -- , celle reçue de
B sera — ; ces quantUéa devant être égaleft, on a
— = ou (3 — a?)« = 4 â?*
l'écran doit être placé à 1 mètre de A entre A et B d'après la valoir de x' , et ses deux faces seront alors également éclairées. La soIuUob négative x" =z — 3 répond aussi au problème et signifie que si Tofl compte les distances négativement ou dans l'autre sens, il existe» 3 mètres en arrière de A un point c' situé par conséquent à 6 mètres de B, où l'écran recevrait encore une même quantité de lumière de la part de A ou de B ; on voit d'ailleurs facilement que, en c ', la face unique, tournée vers les corps lumineux, recevrait moins de Inmiéit que la somme des deux faces dans la situation G.
Théorèmes. L'équation générale du second degré étant mise soos la forme x^ ±px± q^=: 0, on démontre que :
1<^ Une équation du second degré ne peut avoir que deux racma (on appelle ainsi les nombres ou quantités que nous avons représeatées par x^ et x" et qui satisfont à l'équation ci- dessus) ;
2<> L'une des racines étant x^ l'autre x^^ est nécessairement = — x\—p;
30 La somme de ces deux racines étant évidemment — p et leor produit donnant — a?** — px' lequel =: q (puisque l'on a 0 rri 9 + px' + x^^)y la somme des racines de l'équation du second degré = le coefficient p du second terme pris avec un signe contraire, et le produit de ces racines = le terme connu q;
40 Deux valeurs numériques ou quantités quelconques -j- a -|-i étant données, on formera immédiatement l'équation du second d^
EQUATIONS. 687
gré dont elies^raienl lesracÎBescn étriTSnix^^-^{a^b) x 4^.a&=30;
50 Chercher les racines d^une équation de second degré, c'est chercher deux valeurs telles que leur somme soit — p et leur produit g;
6<> Le premier membre de l'équation du second degré
cc^ dzpx± jf =: 0
est exactement divisible par x diminuée de chacune de ses valeurs^ numériques x', a;".
Cette propriété s'étend aux équations de tous les.degrés.
Equations qui se résolvent comme celles du second degré. Toutes les équations de la forme x^"^ ^px^ = q dans lesquelles l'exposant de la plus haute, puissance de i'inéonnuc est double de celui de la plus faible, se résolvent à la manière du second degré, par Partifico suivant, soit :
a:' " + px"^ — î • • • W faisant â?" rr y il viendra x^°^ =:y^ ei réquation(a) devient alors
d'où Ton tire y = — i p i± l/Ç^
remettant a;™ au lieu de y on a 0;™=: — { p± [yK + q *^^
-= ]/-'^p=^iA+
on obtient a? en extrayant la racine m^^'' de la quantité comprise sonsle premier radical après l'avoir évalué en nombres.
C'est quelquefois l'inconnue élevée à la plus faible puissance qu'il convient mieux d'égaler à une autre inconnue auxiliaire. Ainsi, soil à résoudre n
a;°— 2aa:^=c
on fait x^ =: y ', l'équation devient :
y* — 2 ay r= c 'd'où y = 4?^ = a ±: (/V*"+c - ■ a
et enfin x = 1/ « ± {/aJ^c = fa ±: (a^ -|-.c)2j"
Equations à deux inconnues qui passent le premier degré. On appelle ainsi celles où non-seulement l'une des inconnues passe le premier degré, n^iisencorecelles où quelques-unes de ces inconnues sont muL
688 EQUATIONS.
tipliées entre elles, et leur degré s^estime par la somme des exposaob des ineonnaes dans un même terme.
Cca de deux équations et deux inconnues. Règle. L'une des încoBnues étant au premier degré dans l'une des équations , prenez la tsleur de cette inconnue comme si tout le reste était connu, puis suMîtuez cette valeur dans l'autre équation et tous avez une noovelk équation qui ne renfermera plus qu'une inconnue. Soient :
a? -j- y = 12 et a?y = 35
on prend â? =: 12 — y qu'on substitue dans l'autre équation qot devient alors 12 y — y^ = 35 d'où l'on tire
y = 6 ± 1 et y' = 5 y" = 7 et par conséquent a?' = 7 rc" = 5
Si dans l'équation la moins élevée , Tune des deux inconnues nt passe pas le second degré; prenez dans celle-ci la valeur da carré de l'inconnue la moins élevée. Substituez-la dans l'autre à la place do carré de cette même inconnue et de ses puissances. Continuez de substituer jusqu'à ce que cette inconnue ne se trouve plus qu'au premier degré. Tirez de cette dernière équation la valeur de celte mène inconnue et substituez-la dans l'équation la moins élevée.
Soient : oj* -f- 3 y* = 6 a: . . . (a)
on aurait successivement x'^ =z Sx — 3y^ substituant dans (t) il viendra 2 (6 a; — 3 y*) x — 3y^=8 oul2aî' — 6y*a? — 3y*=8, et comme il j a encore x^ dans celle-ci on substitue de nouveau» valeur 6 a; — 3 y* il vient :
(72 — 6 y^) a; — 39 y* = 8 où X n'est plus qu'au premier degré.
on en tire x •=. -— ! ^
on substitue cette valeur dans (a) il vient :
qui^ ne contenant plus qu'une inconnue^ rentre d^ns un des cas généraux.
Au reste l'examen attentif des équations indique souvent la marche qui conduit le plus promptement à leurs résolutions.
Soit «• , 4«
-r-l = 12 eta? — v = 2
la forme de la première équation montre qu'elle peut être traitée
EQUATIONS. 689
comme une équation du second dégreva une seule inconnue - = //. On en (ire immédiatement : ^
- = — 2 ±: 4 d'où 0?' = -| 2 y a?" = — 6 y
substituant successivement ces deux valeurs de x dans œ — y = ^ il vient y' = 2 y" == — y d'où revenant
on trouve a?' = 4 x'' =: ~
el même a?'" = — y a;'" = — 1 2
Soient ^*y* — 5 = 4 ocy. . (a)
ixy =ty^ . . . (A)
on tirera de (a) a?y = — 2 ±: 3 a?y = 5 ou — 1 substituant la première de ces valeurs dans (i) on a | =: | y ^ d'où y = 1 et a? = 5
substituant la seconde valeur de xy dans (i) il vient — | = * y*
y := — 1/ g et x = y 5 , etc.
Soit encore :
On trouvera par les méthodes x = ±3 ou db Vtï
Trouver deux nombres x, y, tels que leur somme .r + y, leur produit xy et la différence de leurs carrés x'^ — y- soient égaux.
On a d'abord x-^y =z x^ — y^ = {x -{- y) (x — y)
divisant par x-^" y il vient l=a? — y a;=:y-|-.1
donc la somme a?-f-y = 2y4-l
le produit xy = y^ -|- y
et y' + y = 2 y -}- 1 donne y^ — y = 1 y = ~^ —
Equationê exponentielles. L'équation de la forme a' = c se résout par rapport à x au mojren des logarithmes, et l'on a évidemment
^ log a = log c * = i^-
pour résoudre Téquation i* = d par rapport à r on ferait d'abord
log d
c^zzzx d'où 6» = d a: = , — : = c"
log A
690 EQUATIONS,
prenant de nouveau les logarithmes, on a
, log c = log ji^j j = j;:^;;;';/j:;} = log.iog ^-log. i«p a
log. log d — log. log 6
Cl Z ==::
los C
poor obtenir le logarithme du logarithme de d, on coDsidère log d comme un nombre ordinaire.
C'est par la résolution d^qoations exponentielles que Huttoo a essayé de déterminer la puissance de la vitesse à laquelle la résistance est proportionnelle, lorsque des sphèrrs ou boulets se meuvent dans l'air ;
Soit V V deux vitesses, R R' les résistances que les boulets éprouvent à se mouvoir dans Pair à ces deux vitesses, x étant la puissance inconnue de la vitesse à laquelle R et R' sont proportion* nelles ; on a
ou ^ • Iy) '• ^ " r ou encore I- - ^
d'où X
log R' — log R
' log V — log V
En calculant ainsi a; pour un grand nombre de vitesses Vy'V'V'''... et les résistances R R' R" R^'' ... correspondantes données par de nombreuses expériences il a trouvé des exposants xx' x" a;'" .,. très différents, et il en a conclu en particulier, contrairement à rhypothëse des géomètres,* que les résistances éprouvées par les boulets n^étaient nullement proportionnelles aux carrés des vitesses IVoy. Résistances des fluides).
Si Ton demandaitMe trouver l'arc x du cercle dont le développement est égal à son cosinus, on se trouverait conduit à l'équation
.r zz: COS X
qui ne pourrait être résolue par les méthodes précédentes; on aurait alors recours à la règle de fausse position (Voyez Faissb position).
Des équations en général. Si Ton fait passer tous les termes d^one équation dans un seul membre et que l'on ordonne les puissances de Tinconnue, quel que soit le degré n de cette équation, elle prendra la forme
Si a est une des valeurs qui satisfont à Pêquation, cette équation
EQUATIONS. 691
est divisible exactement par {x — a) et si a n'est pas une racine, l'éqoation ne peut se diviser exactement par (a;— a).
b, c, d, ... étant d^autres valeurs qui satisfont à l'équation, elle sera encore divisible exactement par (x — b}, par (x — <?), par (x — d)y par . . .
^ pouvant recevoir toutes les valeurs x = a, x z=. b, x :=: c, x=: d ...
on a X — a=:o, X — bz=:o ^ x ^-czzzo, x — (/= o.
Et si a, by Cf d, sont les seules valeurs et toutes les valeurs qui satisfassent à l'équation, cette équation peut être considérée comme le produit fait des binômes (x — a), (j: — b)^ x — c), {x — d). Cela posé, on démontre :
que toute équation d'un degré quelconque peut être ainsi considérée comme formée du produit d'autant de facteurs binômes simples qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant de Pinconnue. Ces binômes ont tous pour premier tenue la lettre x qui représente la valeur générale de l'inconnue, et pour seconds termes les valeurs particulières de celte inconnue qui toutes satisfont à l'équation proposée ou sont Xt^racines de Péquation, chacune étant prise avec un signe contraiire.
Le nombre des racines d'une équation est donc égal au nombre d'unités contenues dans le plus haut exposant de Pinconnue. Ces racines peuvent être d'ailleurs positives ou négatives; les unes réelles, les autres imaginaires y et l'on remarque que dans toute équation :
le coefficient P du second terme pris avec un signe contraire est égal à la somme de toutes les racines
— (« + é-|-c4....)=P; a-f-é-fc+... = — P;
Le coefficient Q du troisième = la somme des produits des racines multipliées entre elles deux à deux;
Le coefficient B du quatrième terme pris avec un signe contraire z=zla somme des produitsdes racines multipliées eutr' elles trois à trois
— ^-ziz abc '\'ahd-\' acd ^ bcd .., i
Et ainsi de suite en observant de changer le signe des coefficients des termes de rang pair, quels que soient les différents signes des termes do l'équation, de sorte que le coefficient du m*^° terme =: la somme des produits des racines multipliées entre elles
(//* — i) h (ni — 1) ;
Le dernier terme C de l'équation = le produit abcd .. de toutes les racines, mais en signe contraire si le degré n est impair ^
69Î EQUATION du temps.
Si dans une équation telle que x^ — 19 or -4" ^^ = ^> ^^ ieamd terme ( ici celui en oc^ ) manque , c'est qu'il y a nècessaireoient des racines positives et des racines négatives, et que la somme des unes égale la somme des autres:
Si le troisième terme manque^ la somme dos produits des racines positives combinées avec les négatives se réduite 0, etc. ;
Si le dernier terme manque, Puue des racines = 0 ; alors on peut abaisser Têqualion en divisant les deux membres par a; = 0 ;
ainsi a;* -f- ax^ + ha? -|- ca? = 0,
devient, en divisant par x,
ic' -|- ax'^ 4- A ic -[- c == 0 j
Les'valeurs de Tinconnucse trouvent parmi les diviseurs du dernier terme, de sorte que, en substituant dans Téquation à la place de X, chaque diviseur du dernier terme, d^abord avec le signe 4- ^' suite avec le signe — , on sera sûr d'avoir une des racines lorsque la substitution d'un de ces diviseurs rendra la somme de loœ les termes = 0 ;
ainsi -|- b substitué pour x dans
x^ — (a 4" * + 0 ^^ + (^* -^ ac -{-le) X — abc = 0, rend effectivenient le premier membre = 0 ; donc -j- i est une racine, — b n'aurait pas réussi.
En divisant chaque coefficient négatif de Téquation (A) par la somme des coefficients positifs qui le précédent , prenant la plas grande des fractions ainsi obtenues et y ajoutant l'unité, on obtient une limite supérieure des racines.
Quand deux valeurs mises pour x dans Téquation A donnent ies résultats de signes contraires, cette équation a , entre ces limites, 1, 3, 5 ... ou un nombre impair de racines interposées; et deai quantités qui, substituées, donnent des résultats de même signe^ n'interceptent aucune racine ou en comprennent un nombre pair.
ÉQUATIONS des lignes. Voyez Gourbbs, droites.
ÉQUATION DU TEMPS. On est convenu d'appeler ainsi Texcés de l'heure moyenne sur Theure vraie (voy. Astronomie, p. 89); on a donc :
équation du temps = heure moyenne — heure vraie.
L'équation du temps est toujours exprimée en temps moyco.
Elle est posilive oa négative, suivant que le soleil vrai retarde ou avance sur le soleil moyen.
La Connaissance des temps et V Annuaire des longitudes donnent, pour tous les jours de Tannée, le temps moyen au midi vrai , on peut en déduire l'équation du temps pour le midi vrai de chaque jour en observant que : temps mojen à midi vrai = équation du temps à midi vrai , si le temps moyen à midi de la table surpasse 0^ 0', 0".
Si, au contraire, le temps moyen à midi vrai de la table est audessous de 12 heures, on a :
équation du temps à midi vrai = 12** — temps moyen à midi vrai.
L'équation du temps ainsi obtenue pour le midi vrai de chaque jour, on Taura pour une autre heure h du temps vrai à Paris, en prenant la différence d entre l'équation du temps pour le raidi vrai qui précède h et pour le midi qui la suit, en calculant le quatrième terme x de la proportion
puis ajoutant x algébriquement à Tcquation du temps qui correspond au midi vrai qui précède h.
Cette méthode ne peut entraîner qu'à des erreurs insignifiantes.
ÉQUILIBRE (pi. LXIII). On dit que des forges se font équilibre lorsque, appliquées à un corps ou à un point matériel, elles laissent ce corps ou ce point à l'état de repos ou de mouvement dans lequel il se trouvait avant leur application. L'idée d^équilibre n'implique donc pas nécessairement l'idée de repos que le langage vulgaire lui attribue; elle n'exclut pas celle du mouvement.
(2). Résultante lorsque plusieurs forces agissent à la fois sur un corps ou sur un point matériel, leur action combinée peut toujours être remplacée, soit par celle d'une force unique, soit par celle d'un autre système de forces plus simple. Cette force unique ou ce système de forces, capable de produire sur le corps ou sur le point matériel le même résultat que les premières forces, est la résultante ou le système résultant de celles-ci :
(3). Composer des forces entre elles, c'est chercher la résultante ou le système résultant dont ces forces sont les composantes. Décomposer une force, c'est résoudre le problème inverse.
(A-), Il est évident que deux forces égales et directement contraires, qui agissent sur un même point, se font équilibre.
(5). Donc, si l'on substitue à la résultante d'un faisceau de forces appliquées à un point matériel, et en son point d'application une force égale et directement contraire , l'équilibre naîtra dans le système.
Le problème de l'équilibre revient donc, en général, à celui de h composition des forces.
(6). On considérera successivement quatre cas généraux, savoir :
A. Celui de forces situées dans un même pian et appliquées i a& même point matériel ;
B. Celui de forces appliquées à un même point j mais dirigées d^une manière quelconque^
C. Celui-de forces appliquées à différents points d'un corps solide tous situes dans un même plan ;
D. Enfin celui de forces appliquées à différents points d^un corps solide silués d'une manière quelconque.
(7). Lemmes, Dans tout système dont la forme reste complètement invariable sous l'action des forces auxquelles il est soumis, on peut prendre pour point d'application de chaque force l'un quelconque des points de sa direction, qu'on suppose lui-même invariablement lié au système.
Un obstacle immuable dans un système de forme invariable , un axe fixe par exemple, ne peut détruire directement l'effet d^ane force qu'autant qu'il est situé sur un des points de la direction de cette force.
(8). Si dans un système en équilibre on substitue à l'une des forcer un obstacle immuable pris sur sa direction, l'équilibre n'est pas troublé, car cet obstacle ne réagit qu'avec l'intensité et dans la direction de la force qu'il remplace en vertu du principe d'égalité entre l'action et la réaction.
(9). Deux forces de même sens qui agissent dans la même direction ont une résultante égale à leur somme et dirigée dans le même sens.
(10 . Deux forces qui agissent suivant une même droite et en sens directement contraires ont une résultante dirigée dans le seos de la plus grande et égale à leur différence;
(11). Quel que soit le nombre des forces qui agissent suivant une même droite, leur résultante est égale à leur somme algébrique et en prend le signe.
(12). A. Forces situées dans un même plan et appliquées au méiM point matériel, La résultante d'un nombre quelconque de forces qui agissent dans un même plan est tout entière dans ce plan.
(13). Si, à un point déjà en équilibre sous l'action des forces qui lui sont appliquées, on applique un nouveau système de forces en équilibre, on ne changera rien à l'état du point.
(14). La résultante R [fig, \, pL LXIII) de deux forces quelconques F, , F^, appliquées à un même point matériel M, est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale MR du parai-
lélogrammc coostruit sur des droites MF, , MF, proportionnelles à ces forces F, F, et prises sur leurs directions.
(15). On a donc en général :
R' = F,» + F,^ + 2 F, F, C08 F,M F, R = F, cos F,MR + Fj cos F,MR
,inF.MR=:!iii:iIlHî, sin?,MR = ^-l±ll^
R. MnF,MR R. 8inF,MR
^ sinFjMFT' '^~ sinF.MF,
FjSinFjMR = FjSiDF2MR
R Fi F,
sinFjMF, sinF.MR siii FiMK
(16). Ainsi : lorsque deux forces Fj, F^ appliquées à un point M sont représenices par les côtés M¥^ , MF^ d'un trian^le^ leur résultante R est représentée par le double de la droite MO, menée du point d'application M au milieu O du troisième côté F^ F^ de ce triangle.
(17). Deux forces concourantes F, , F^ et leur résultante R sont ciltre elles comme les sinus des angles formés par les directions des deux autres.
(18). Ce que Ton a dit de la composition de deux forces et de leur résultante s'applique encore aux vitesses simultanées dont serait animé un point matériel M ^ en ce sens que si MF^ , MF, représentaient ces vitesses en grandeur et en direction , la vitesse réelle de ce point serait encore représentée en grandeur et en direction par la diagonale MR du parallélogramme construit sur ces vitesses.
(19). Il en serait de même des chemins MF^ , MF, que le point M parcourrait simultanément; de telle sorte , par exemple, que si le point M placé sur un bateau s'avançait de M vers F^ en une seconde, tandis que le bateau s'avancerait lui-même de M vers F, dans le même temps, le point M aurait réellement parcouru la diagonale MR dans l'espace.
('20}. Si Ton substituait à la résultante R des F^, F, une force S = — R qui lui fût égale et directement contraire , l'équilibre aurait évidemment lieu dans le système entre S, P^ et F, et chacune de 'ces trois forces serait égale et directement contraire à la résultante des deux autres.
(21). Et comme le sinus d'un angle = celui de son supplément, on peut dire que lorsque trois forces S , F^ , F, , situées dans un même plan et appliquées à un même points sont en équilibre, cha-
cane d'elles peut être représentée par le sinus de T angle formé par la direction des deux autres.
(22). Les rapports do ces trois forces Fj, F^, R ou F,, F,, S pourront donc être représentés par ceux des côtés d*nn triangle Mfti (fig. 2) ou TAfS (fig. 3) dont les côtés sont parallèles i la direction des forces. La fig. 2 se rapportant au cas de deux forces F^; F, et de leur résultante R, et la fig. 3 aif cas de trois forces F| , F,, S qui se font équilibre. La résultante R a sa flèche dirigée du point d'application , la force S, qui lui ferait équilibre, a sa flèche tournée vers ce point.
(23}. Si sur chacune des directions des côtés de ces triangles od élevait des perpendiculaires, on formerait ainsi de nouveaux trian gles dont les côtés seraient encore dans les mêmes rapports de grandeur que les trois forces.
^24). Dans le cas où les deux composants F^ , F^, seraient égaux. F, = Fjj donnerait sin F, M R = sin F^ M R , la résultante R diriseraît Tangle des forces Fj M F^ en deux parties égales , et Fia
aurait
R = F \/ 2(l + cosF^IMF,) =: 2 F cos FjMR
La résultante de deux forces croit lorsque Tangle de leurs direc tions diminue. Cet angle devenant zéro on tSO^ ou retombe sur les cas 9 et 10.
(25). Quand Vangle F^ M F^ des deux forces F, F^ est droit
cosF^MF^zizo sînFjMFjZzi 1; cosF^MR =sinFjMR
et Ton a simplement
R = Fj cos F,MR + F^siu F, M R sin F,MR = ~% sinF^MR^cosFjMR^:^
F, = R cos F, M R ; Fj = R sin F^ M R
F,^ tang F, M R = F^^ tang F^ M R
(26). Donc si l'on décompose une force R appliquée à un poiot matériel en deux composantes rectangulaires entre elles, chaque composante est le produit de la force R par le cosinus de TaDgl^ compris entre la direction de R et celle de la composante.
(27). M. Poncelet a démontré (Radicaux) que lorsque l'on sail d'avance que F^ est plus grand que F^^, on a toujours, pour le cas ci-dessus et avec une approximation qui suffit à la pratique,
/ (28). RésuUarUe d'un nombre quekonque de forces appliquées à un mimepomi et situées dans un même plan. Composez deux des forces ^Dtre elles F^ F, par les méthodes ci-dessus^ vous obtiendrez leur résultante B,^^ y que vous composerez à son tour avec une troisième force F3 y ce qui donnera une nouvelle résultante B,,, , qui , composée à son tour avec la quatrième force F^ ... et ainsi de suite, donnera la résultaige générale B^, 34 ... en grandeur et en direc* tion. Ce problème peut être résolu par le tracé suivant.
(29). Solution graphique, (fig. 5). Soit M le point d'application des forces représentées en grandeur et en direction par M F^ , MF, , MF,, MF4, ...; par Pextrémité F^ de la première force MF^ , menez Fj /, parallèle et égale à MF, et dirigée dans le môme sens ; par le point /*, ainsi déterminé» menez Z^,/', parallèle et égale à MF, et dirigée dans le môme sens et ainsi de suite jusqu^à la dernière force
MF^, dont la grandeur et le sens sont représentes par la droite qui va de f^ à fj^. La droite qui joint le point M au point /'^ représente, en grandeur et en direction, la résultante f^R=Mf^dn système. Le sens de son action est toujours indiqué par la flèche qui marcherait du point d'application M vers le point déterminé/^. Donc la force MS, qui produirait Féquilibre du système, serait égale à ilf^ et dirigée en sens inverse.
(30). Et si la force M S avait fait partie du premier système^ ce système eût été en équilibre de lui même et le polygone MF^ f*if%f^}A se fût fermé.
Donc, lorsqu'un nombre quelconque de forces^ agissant sur un même point M, peut être représenté en grandeur, direction et sens par les côtés d^un polygone qui se ferme de lui-même, le point M est en équilibre.
(51). Méthode des coordonnées rectangulaires. Cette méthode est surtout employée dans les traités de mécanique rationnelle ; nous en rappelons le principe.
Sdient {fig. 6) F^ F, F, ... des forces situées dans un même plan , appliquées à même point matériel M et représentées, en grandeur, direction et sens, par les droites MF^, MF,, MF,; menez par le point M deux droites perpendiculaires entre elles Ma?^, My,, mais dirigées, d'ailleurs, d'une manière quelconque. Des extrémités Fj, F,, F3 de chacune des forces, abaissez, sur les coordonnées lAœ^ , My, les perpendiculaires
F|^f ^xVi ; ^2^2» ^îV^J ^3^3, F3y3 ... Par un point O quelconque du plan des forces, menez deux axe» OX, OY, respectivement parallèles à M â?^, ^Vs; portez bout à bout, sur ces axes, lés longueurs
Ox^ r= M^,, x^x^ z=z Mo?,; x^x^ = Ma-j ... Oy, = Myj, y^y., = My^; y^y^ = Myj...
en observant le sens des composantes cl reoiarqaaot que, s^il exisuit daos le système une force dirigée comme MF^, elles fournirait de composantes Vkx^y My^ , qui devraient être portées de œ^ en x^el de y^ en y^ , en sens inverse des premières ; nous ferons ici abstn^ tion de cette dernière force.
Complétant le parallélogramme Ox^y^Rj on aurait OR. et grandeur, direction et sens, pour la résultante des forces MFp MF^, MF3, appliquées an point matériel M, supposé transporté en O.
Il est évident que Ton produirait Téquilibre dans le système, si Ton substituait à OR uoe force égale et directement contraire OS, qui passerait dès lors dans Tangle X|OY|.
Si l'on décomposait cette force OS suivant OX* et O Y% sa composante, suivant OXS serait visiblement égale et de signe contraire à la somme des composantes des forces suivant OX, et sa composante suivant OY^, égale et de signe contraire à la somme des composantes F|, F,, F3, suivant OY.
(32). On peut conclure de là que Téquilibre ne peut exister de lui-même entre toutes les forces appliquées à un point matériel dans on même plan, qu'autant que la somme algébrique des composantes, suivant chacun des axes, est nulle d'elle-même.
(33). Solution par le calcul. On substitue facilement le calcul i ce procédé graphique. Soient, en effet (fig. 6), a^, ^2, a, ... io angles formés par les forces MF^ , MF,, MF, avec Paxe borizootal OX, a Tanglede la résultante R avec le même axe, on a
Mo?! = Oajj == F, cos a^-^ My^ = Oy^ = F^ sin a^ Mx2 =x^x^ = Fj cos a^i My^zzzy^y^zznF^àna^ et ainsi de suite, d'où
F, cos a, -|" ^2 c^s ^j, -}" F3 cos «3 -|- =: R cos az=z%
Fj sin a^ -f- F, sin a^ -f- F3 sin a^ -j" = R sin a = Y
R = j/ Xï + Y»
cos = ^ ; sin a = -; tang « = -
Observons que les cosinus et les sinus doivent être positifs quand les forces tendent à augmenter les coordonnées positives, et qu'ilssont négatif dans le cas contraire. Les forces F^, ^39^9» ^o^ toujours positives.
(34). La valeur de R montre encore ici que Téquilibre ne peot avoir lieu dans le système, ou, en d'autres termes, que la résultante du système ne peut être nulle qu'autant que l'on a à la fois
X = 0 et Y = 0
l'équilibre n'aurait pas lieu si une seule de ces équations était satisfaite; la résultante serait alors parallèle à Tun des axes. Ainsi :
X = R cos a = o,
R n'étant pas nulle^ suppose cos a == o , ou a =: 90^; c'est-à-dire que la résultante serait parallèle à l'axe des Y, ou perpeDdiculairc à I axe des X.
Y = R sin a pz o suppose a =: o ou ISOo et la résultante parallèle à Taxe des X ou perpendiculaire à celui des Y.
(35). Je crois utile de donner ici une application numérique de ces formules, dont on ne saisît pas toujours bien le sens, en remarquant que la table des sincs dispense de l'emploi des logarithmes et abrège beaucoup ces calculs.
Applications numériques. Soient F^, F2 ^s» --- respectivement égales à 20 , 25 et 30 kilogrammes;
Les angles F3M Fj= 30®; F^MFj = 28», et ¥^Mx^ = angle de ¥^ arec l'axe des abscisses =: 20» ;
On aura pour les angles respectifs formés par la direction des forces avec l'axe des X :
pourFj, a, = 20oj pourF,, a^z=zM^', pour F,, «3 = 780;
d'où X == R C08 a = 30 X 0.2079117 + 25 X 0.6691306 + 20 X 0.9396926 Y =. R »în a «- 30 X 0.9781476 + 25 X 0.7I3144« + 20 X 0.3420201 X = R cosa= 41^759468 Y =R sina = 54^.76345
C'est la grandeur de la résultante. Il a fallu^ pour l'obtenir^ former deux carrés en faire la somme et en extraire la racine.
L'utile théorème de Jlf. PonceUt réduit celle recherche à deux multiplications et une addition. Gomme on sait ici que T est plus grand que X y on a :
R = 0.96 X 54.76345 -f 0.40 X 41.759468, d'où
R = 69^ 2 , approximation très suffisante, mais qui peut, d'ailleurs, être encore plus exacte (Foy. Radicaux). Pour avoir la direction de la résultante, on a :
tang a = ^ = 1.31140203
C'est la tangente de l'angle formé par la direction de la résultante ayec l'axe des X. Ce nombre répond à un angle de 52» 40' f|. En retranchant 48^, il reste 4® 40^ y~ pour l'angle formé par la résultante avec la direction de F^ , en dessous de cette dernière force.
Lorsque In direction de la résultante est connue, on en obtient ia grandeur, sans exiraction de racine, par la relation : *
R = -: — = 68^86857 8in a
Les calculs sont Qo peu moins longs lorsque la direclion delaK des X se confond avec celle de Tune des forces, avec MF^, par exemple. Les données numériques restant comme ci-dessus, on trouverait :
pour la somme Ydescomposantes suivant OX, X ~ 57^ 971369;
pour celle Y des composantes suivant OY, Yi=: 37*.178î33;
d'où -- = 0.641 3332 = tang 32© 40' f|
et . ^^,^,.n = R = 68^86857
siD 32» 40' ^
(36). On remarque que, lorsque des forces situées dans un même plan sont en équilibre ^ leurs projections sur un même plan quelconque forment un système en équilibre.
(37). B. FOBCBS APPLIQUBBS A UN MEME POINT ET SITUEES DAXS
