ATTRACTION

deflaearerait en équilibre quelque pari qu'il tài piaofr dan» cet espaoe.

L'attraction de cette même couche sur un point extérieur est la même que si la masse du corps attirant était réunie à son centre.

Si la couche sphérique se change en une sphère entièrement pleine^ et qu'elle ait partout môme densité|. l'attraction qn*eUe exercera sur un point intérieur sera proportionnelle à la distance de ce point au centre de la sphère.

Les mômes théorèmes ont évidemment lieu, si Vaiiraeiian se changeait en répulsion j pourvu que cette dernière force variM comme la première, en raison inverse du carré des distances.

Un point matériel, situé à Tîntérieuf d'une couche cylindrique, homogène, infiniment mince, y demeurerait en équilibre, parce que toutes les attractions s'entre-détnsisent.

Une couche homogène, comprise entre deox snrfiiees elliptique» semblables, ayant le même centre et leur» axes dans les mènes directions, n'exerce aucune action attractive (ou répulsive) sur un point situé dans l'espace vide que termine la surface intérieure, en sorte que ce point matériel sera en équilibre quelque part qu'il soit placé dans cet espace.

L'attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable, telle qu'une haute montagne, fait dévier le fil à plomb de la direction verticale,- mais ces déviations sont nécessairement très faibles^ et le calcul montre qu'une sphère homogène d'envrron 31 mètres de rayon, et d'une densité égale à la densité moyenne de la terre, ne produit qu'une déviation d'une seconde au plus dans la direction du fil à plomb; encore faut-il que cette sphère touche TextrèmÉLé inférieure de ce fil, et que son centre soit sîtué dana le plan horizontal passant par cette extrémité.

Bouguer a trouvé 7" à S" pour la déviation dnfilàplomb> cautôe par l'attraction du Ghimboraço; et Maskelvne, une déviation de 54" par l'efiet de Tattraction des monts ShénalUeoa en Ecosse.

AXES. Soit N (pi. XX, fig, 1) la résultante de tovie» les forces actives qui agissent sur un système porté par un axe cylindri^ne C, de manière à le faire tourner. La direction NK de cette résultante ne saurait passer par le centre G de Taxe} car, si elle y pawait» elie aurait pour effet de faire prendre k Taxe, dans sea snppartn, une position telle, qu'un rayon de celui-ci se confondrait avec la direction de cette résultante ; et N étant alors détmite par la réaction du support au point de contact de l'extrémité du rayon avee bd, la rotation, contrairement à l'hypothèse^ n'aurait pas lieu. On voit môme fiicilement que la direction de N passera toi^ours, pur rap-> port au centre, de ce côté de la circonférence, dont lea points se rapprochent du point de contact K, et par conséquent à droite di»

centre dans le cas de la figure 1 ; à gauche si la rotation a lieu en sens inverse^ fig. 6.

Quant à la position E que prendra Paxe dans ses supports, elle a été déterminée par M. Poncelet ainsi qu'il suit :

Soit f\e rapport du frottement à la pression pour Taxe et ses sup* ports, <p l'angle de N avec la normale KG. N cos. (p est la pression normale en K, /'N cos. <p le frottement auquel elle donne lieu, N sÎQ. (p sa composante tangentielle directement opposée an frot* tement^ et évidemment Taxe s'arrêtera à ce point K du support pour lequel on aura

/'Ncos.cp = Nsin. (p ou tang,(p=/'

9 est donc l'angle du frottement, et :

Quel que soit le nombre de forces actives agissant dans vnmême plan, qui fasse tourner un axe cylindrique dans son support, la direction de la réaction KH du support fait un angle égal à P angle du frottement <p avec le rayon G R normal au point de contact K.

L^inteasité du frottement /"N cos. 9, à cause de tang. 9 = /*et de

cos.=:

k 1 +.lang. • sera

/^Ncos.(p=p== et r étant le rayon de l'axe, son moment, par rapport à G^ sera

Si l'axe G {fig. 1) était absolument fixe comme un essieu de Toiture, et que le cercle SQ de rayon p tournât comme la roue, autour de lui, les mêmes choses auraient lieu, mais ce serait le rayon p du vide qu'il faudrait introduire dans les formules.

M. Poncelet démontre (Gabiers de Metz), qu'on ne doit point en général donner, pour supports aux axes, des coussinets à œil prismamoHque.

Pivot. (PL XX, fig. 2, 3, 4, 5.) On nomme ainsi tout axe qui porte par son extrémité sur son support, au lieu d'y porter par sa circonférence convexe. NG (fig. 2) étant l'axe d'un tel pivot terminé par une base circulaire de rayon Ga =:Gi = r quis^appuiesurlefond plan de Tencastrement fabd d'une crapaudine^ contre les bords du-

Siuel il est épaulé latéralement, soit R la résultante ffénérale des eforts qui agissent sur cet axe. Décomposez cette résultante Ben deux forces^ l'une perpendiculaire à Taxe qui donnera lieu à un frottement

dont l'intensild et le moment se calculeront comme il a été dit ci-dessus, l'antre N parallèle à l'axe, et qui est ici censée agir de N vers G; M. Poncelet démontre qu'en supposant la pression N répartie uniformément sur la surface v (r^ — r'^) de la crapaudine, et fai*

sant

N n = la pression par mètre carré = ^^^ ,^.

on a :

Frottement total de la couronne ^zftfzmfnT (r* — r'*) Moment de ce frottement = \ fn tÇt* — r'*)

Bras de levier moyen du frottement = -r— -7-: — —

/'est le rapport du frottement à la pression pour les substances en contact et tt hz 3.1415...

En substituant aux rayons extrêmes rr* de la couronne un rayon moyen Ti = | (r-j-^') ®t nommant! la eJ^t-largeur de la couronne = i (r — r'), on trouve que Y effort total fîi du frottement peut être considéré comme appliqiÂé en un point unique situé à une

distance du centre = rj | 1 -{- ? ( ) }

de sorte que pour une révolution complète 2 yr, le travail T absorbé par le frottement est

Si la base du pivot est un cercle entier (Ag. 3) de rayon p^ r' devient = 0 et e = t'y et l'effort total /'N du frottement peut être considéré comme appliqué à une

distance du centre = f f

De sorte que le travail résistant T, qui s'oppoae à la rotation du pivot pour ute révolution complète 2 tt est

Dans tous les cas représentés par les ftg. 3, 4 et 5 ; cette dernière formmle sera encore applicable en y désignant par p le plus grand rayon des surfaces de contact.

Epaukments. Ordinairement les arbres des roues sont beaucoup plus gros que leurs axes ou tourillons, il arrive alors que , quand ces arbres sont sollicités par des forces Q agissant dans le sens de leur axe, Tune des feces vient s'appuyer latéralement contre le sup-

port, il en résulte un frottement qui absorbera un travail T que l'on calculera encore par la formule

I étant la demi-largeur de Pépaulement^ r^ son rayon moyen.

Je donne encore quelques théorèmes généraux sur les axes, en renvoyant pour les déyeloppements que j'omets, à l'ouvrage de M. Mos^hEY (Mechanicd principks of Engineering. London, 1843.)

Soient (fig, 6 eifig. 7, planche XX).

P^ P, deux efforts constants (quant à leur intensité, leur direction et leur position relative) en état d'ÉQOiLiBRB dynamique autour d'un axe G, qui tourne uniformément comme le veut P^ et agissant dans un même plan.

t l'angle P^ I P, formé au point I de rencontre de leurs directions, et que nous désignerons quelquefois par t\«9 cet angle étant toujours ouvert du côté des flèches des forces.

a^ a, les perpendiculaires GA^ GA, menées du centre G sur les directions respectives des forces P^ P,

L = A^ A^ la droite qui joint les pieds de ces perpendiculaires» %i pour laquelle on a dés lors la relation

L* =: aj -|- aj *f- 2 a^ a, cos. i^^

N la résulUnte de P^ et P|

X la perpendiculaire menée de C à la direction de N; x:= çsin.<p

p étant le rayon de l'axe

<p l'angle du frottement pour l'axe et son support, <p se prend positivement, si, comme on le suppose, le mouvement a lieu comme le veut P^, et négativement dans le cas contraire.

Ei ]les chemins quelconques décrits simultanénàent par les points

E, ) d'application de Pf et F, dans leurs directions propres.

T^ T, les travaux simultanés de P^ et P,

S'en référant à ce qu'on a vu ci-dessus, établissant l'équation des

moments pour les deux cas fig. 6 et 7, mettant dans cette équation

au lieu de N, sa valeur en fonction de Pj et Pa, élevant au carré

l'équation qui en résulte, transposant et divisant par P* , résolvant

cette équation du second degré par rapport à-— ^, y introduisant pour

A et L les valeurs données ci-dessus, il vient

n («« «1 + P* COS. sin.* P) ±: F sin. o) (L* — />• sin.* î sin.* <P) n / \

rp /gi\(aig> + P*cos. isin.*(p)+/>[L*~-/>'sin.'tsm.''<p]sin.<p .

** — ^flj (aî-/'*sin.»(p) • *2 W

équations fort complicjaées et par conséquent inutiles à la pratique^ si celle-ci ne permettait pas toujours d'y négliger les puissances supérieures de — sin. <p et de les ramener ainsi à

Ces équations montrent que le travail de P| sera un multiple d'autant plus petit de celui de P^ que L sera plus petit; or L sera toujours plus petit dans le cas de la (ig. 7 que dans le cas de la fig. 6, c^est-àdire plus petit lorsque Pi et P3 agiront du même côté de Taxe aue lorsqu'ils agiront de côtés différents; et L sera le plus petit possiole lorsque, en outre, ai et o^ se trouveront sur la même droite, c'està-dire lorsque P| et P2 seront parallèles. Donc :

Lorsque deux forces P| P2 appliquées à une machine qu^eUes font tourner uniformément sur un axe cylindrique^ sont en équilibre dynamiquCj et lorsque Von peut négliger l'accroissement de frottement qui résulterait du poids de cette machine ^ le travau. m4>teur est minimum^ si les forces P| Pq agissent du même côté de Paxe et si elles sont parallèles.

Pour tenir compte du poids de la machine ^ il suffit d'introduire dans le système une troisième force Pg verticale dans le plan de P^ et P3, de la faire passer par le centre G de l'axe, ce qui suppose la machine symétrique par rapport à cet axe.

Nommant alors tj^ tjs ir^ les angles respectifs de P| P^, P| P3, P2 P3 dont l'ouverture est toujours tournée dans le sens des flèches, faisant de plus M=a| (oj cos. t|3 -^ a^ cos. 123) il vient :

P.= (^) P, + (-^) [PI L' + P; al + 2 P, P, M]l- (.) T. = T,+ ^ [T:L'+2T,P3E.M (^]+p;eîoî]' . . (d)

Lorsque toutefois le poidsPgde la machine sera assez faihle par rapporta la force résistante P2 pour que Ton puisse négliger les puissances

p supérieures de -p^ les équations ci-dessus deviendront

^'-^{-rr) ['+^ sin.,]p,+^P.8in.,. . (C) T.=T, 1^1 + -^ 8in. , ] + -^ P,E. sin. ,p . . . («f)

Le second terme du deuxième membre de la formule (d) exprimant le travail absorbé par les frottements, on y substitue d'abord pour

L et M leurs valeurs, puis à la place de £« — ^ sa valeur E^, il vient

î^— I Tj (aj 4- 2 o, a, COS. t„ 4- «; ) + 2 T, P, Ej a, (oj COS. »■„+ a.cos.f„)+P;E|o: I' (n)

Cest cette valeur qui, rendue HiNiMoai, donne à M. Moseley les théorèmes suivants^ qui me paraissent aussi importants que nouveaux.

Quel que soit le poids P3 dune machine tournant uniformément sur un axe cylindrique en vertu des forces P| P, , agissant dans un même plan, et constantes d^ ailleurs en intensités ^ directions et positions relatives, le travail moteur est minimum, 1° si la force mouvante Pj est appliquée de ce côté de Vaxe ou la résistance P, est vaincue-^ 2^ si la direction de la force mouvante fait avec la verticale un angle i^^ déter^ miné par les relations suivantes :

P3 sin. f,3 taDg.7= p. + p, COS. 1,3

Tracé. (PlancheWffig. 8.)Les éléments P2 P3E2 Oj aj d'un projet ainsi que Pangle 133 que fait la direction de la force résistante P3 avec la verticale, étant connus, il suffira pour tracer la direction la plus avantageuse de la force mouvante P| d'opérer comme suit :

Par le centre G de l'axe, menez une parallèle C/>a à la direction connue de P2, prolongez cette perpendiculaire de G vers q-, faites l'angle jfCr=>, la tangente de cet angle est donnée ci-dessus. Par le pointe, menez une perpendiculaire indéfinie Cm k Gr, portez sur la direction de Cm de G vers m une longueur Cm égale à a^ bras de levier de Pi, par le point m tirez mP| parallèle à Gr ou perpendiculaire à Gm. G'est la direction cherchée.

Lorsque 1*23 =1: 0, on a tang. > = 0 et par conséquent ii^ = '^

Donelorsque la force résistante travaille dans une direction verticale^.

il faut que la force mouvante travaille dans cette même direction, et

qu'elles travaillent toutes deux d'un même côté de Vaxe,

Lorsque 1*23 =90o,tang. Y devient -p^ donc

Lorsque la force résistante travaille horizontalement j la force mouvante doit travailler du même côté de l'axe, mais dans une direction inclinée dl'horizon, sous un angle dont la tangente s^ obtient en divisant le poids de la machine par t effort mouvani.

L'angle ti3 étant plus grand que 180» outt, et plus petit que y ?r, son cosinus est négatif et par suite cos. t'is est lui-même négatif dans certains cas. La fonction (n), sous certaines conditions, admet donc un MiiviHUH non-seulement par rapport à Pinclinaison de la force mouvante^ mais encore par rapport à la distance ai de sa direction au centre de l'axe. Dès lors si l'on connaît le chemin E| parcouru par le point d'application de Pi et dans sa direction propre, pendant

:|ue le travail résistant Tj s'accomplit, on peut substituer dans la onction à la place du produit Ea a^ sa valeur E^ a^y égalant alors à zéro (voyez HAXiHDii) le coefficient difîércntiel de la fonction par rapport à a^, on a, après réduction,

^ „ TÎ + ^T,P,E,cos.f\,+PÎE; ..

^* ~ "" ^ ï; COS. t'ij + Tj p, E4 COS. t,3 * ' ' ' yp)

procédant de même en prenant E<2 constant au lien de Ei et substituant dans la fonction au lieu de É^ a^ la valeur E^^ a^ on obtient

^ Pl£i / V

* Pj COS. Iia+ P, COS. i,, ' ' ' \H)

Si l'on substitue dans (p) et (9) les valeurs de i^^ et ««q déterminées par les équations (m) les valeurs de a^ seront positives, elles correspondent aux valeurs minimum de la fonction (n) et déterminent complètement les conditions de plus grande économie du travail ma^ teurfdiT rapport à la direction de la force mouvante de la machine.

On a supposé jusqu'ici que les forces P| Pj conservaient sans cesse leur position relative , considérons maintenant le cas de deux forces Pi P2 (P'- ^^' fis- ^) toujours appliquées à un corps qui tourne sur un axe C, mais dont tes positions relatives changent à chaque insta$U,

{larce que le point d'application A| de Pune (Telles P^ tourne avec e corps ; on suppose que sa dislance a^ au centre de l'axe est toujours la même, et que Pj reste constante en intensité et en direction.

Soient S la valeur de l'angle AG Ai décrit après un temps quelconque par ai et par conséquent a^ 0 le chemin parcouru après ce même temps par le point d'application Ajde Pi.

La distance L= (aj -f- 2 aj Oj cos. e -f- aj)* yariant sans cesse, la Talear de P^ donnée pour un instant quelconque par l'équation (a% c'est-à-dire

P.= {-^ + ^sm.ç JP, . . .(a')

changera à chaque instant ; or le teayail T| de cet effort variable^ pour une révolution complète^ est comme on sait

sahstituant dans cette expression la Talenr (a') de Pi il yient

^^ = ^^'\ ^i;— JV.Ld^ . . . . (r)

mettant pour L sa valeur^ et remarquant que P2 étant constant, on a

qui dif!%re peu de

négligeant dans cette dernière quantité les puissances supérieures de

(--^ — I — ] qui sont dans tous les cas moindres que Fanité , et

intégrant^ on a sensiblement pour la valeur T| du travail de P4 relatif à une révolution complète

T. = T,[l + (^ + -4)'/'sin.,] V)

et si les puissances de ( — i — | ^| supérieures à la première

doivent être conservées, on a

Que si, revenant au cas (#), reUbrt P, était dû à la tension d'une

CORDB s'enroulant autour d'une poulie ou d'un tambour de rayon 02 on voulait faire entrer dans l'équation (s) l'influence de la rotdeur de celte corde, posant pour simplifier (voyez Corde)

cette raideur pourrait être considérée comme ayant pour effet d'élever Teffort Pj à la valeur

mettant cette nouvelle valeur de l'effort résistant dans (r), remar*

quant que est excessivement petit, négligeant le terme où cette

quantité se trouve multipliée par -^|i^ et intégrant, le travail T| relatif à une révolution complète devient

T.=T, (t+^) [l + (^+-l-)ï,sin.<p] + 2,A («)

Soient, enfin, trois forces Pi Pg P^ (PL XX, fig. 10) appliquées comme ci-dessus à un corps qui tourne sur un axe cylindrique, avec cette condition que P2 P3 sont constantes et parallèles^ que le point d'application de Pi tourne avec le corps à une distance constante Ai du centre C; que P| et P2 tendent à faire tourner dans le même sens et que P3 tend à faire tourner en sens contraire.

Soit aussi 6 l'angle de a^ et a, à un instant quelconque; R==Pa + Pala résultante de P^ et P3, r son bras de levier C A, de sorte qu'on a Rrz^Paaa^— PaO^; L la distance A Ai des pieds des perpendiculaires menées du centre C aux directions des forces P| R • on a L2 = oî— 2aircos.e+H=(a<— rcos.6)2-|-r^sin.=^e '

Remplacez Pj et P3 par leur résultante R, le système sera ramené au cas dé'deux forces, et l'on aura, comme pour ce cas, et pour une révolution complète de Ai

Tr étant le travail de la résultante pour une révolution.

Multipliant parR^ la valeur de L*, supposant d'ailleurs ai> og, on trouve que R^ U est représentée par la somme des carrés de deux quantités dont le premier excède le second ; extrayant alors la RAGiNB approchée par le théorème de M. Ponceletj remarquant que

ÀZIMCTH. t05

T| — T9=:Tr= 3 ic (P, O) — Psat)ft^ûaQ^ 'os substitations, oo a, après avoir inlègré

Dans le cas où reiïort P3 serait dû à la tension d'ane corde s'en* roulant sor an tambour auquel elle serait tangente en A3 , la raideur de cette corde produirait uu effet égal à celui qui résulterait d'un accroissement d'effort qui élèyerait la yaleur de P3 à celle

en conserrant lesnotations données plus haut. L'accroissement correspondant du travail devient ainsi celui de T3 à

T3 (l+~^) +2itA

pour une révolution complète; substituant cette valeur dans (v)y négligeant les termes qui comprennent les produits des quantités ex-

^ ..^ B p sin. <p p sîn. ç trémement petites — , et a, on a pour une

révolution

J^ai laissé subsister partout la trace des méthodes qui ont fourni ces formules importantes^ parce que Touvrage de M. Mosdey n'étant pas traduit^ je ne pouvais y renrojer les ingénieurs qui désirent vérifier l'eiactitude des formules dont ils font usage.

AZIMIITH d'un astre> d'un signal, etc.: arcd'horison HT (Plan-^ che III y fig. I)y compris entre le point H où la partie élevée du méridien ZHP de l'observateur coupe Phorizon, et le point T où le vertical ZAT de l'astre coupe le même plan.

L'angle UZJ=Zy qui a pour mesure HT, est V angle azimu ihal.

Etant données la latitude EZ=PO=:I^ la hauteur vraie de l'astre TA=&, la distance polaire AP==(i de l'astre, on a facile ment l'angle azimuthal Z par la relation.

' ' V COS. h COS. /