COS

sin. / + COS. A sin. A

" sin. l -j- cos- A

f=tang. (450 — 1/ — ^ A).

Méridiens. Ils passent tous par les projections pp' des pôles, de sorte que l'axe pp' est une corde qui leur est commune. Sur le milieu F de pp'j élevez une perpendiculaire indéfinie, elle contiendra les centres de tous les méridiens. Pour déterminer les centres de chacun d'eux, faites en p un angle â = BpH' égala la différence des longitudes du méridien à tracer et du méridien ApB qui passe par le milieu de Thémisphère. Au point p menez p H perpendiculaire à p H', H est le centre et H p le rayon du méridien : p H' est une tangente à ce méridien. On peut même réduire l'opération en menant immédiatement p H, faisant avec A p B, au point p, un angle B p H, complément de celui de 0 qui est compris entre le méridien cherché et le méridien Ap B du milieu de l'hémisphère. Chaque centre H, ainsi déterminé, a son correspondant h de l'autre côté de AB, à une distance F A = F H.

On a d'ailleurs, pour la distance de F au centre de la carte C,

C F = cot. D = tang. l.

On obtiendrait de la même manière tout autre méridien. Projection sur le méridien (fig. 3, pi XXVI). On suppose ici que

l'œil est placé au centre de Phémisphère opposé à celui qu'on veut représenter^ à Tintersection de Péquateur et du méridien qui divise cet hémisphère en deux parties égales.

Parallèles, PP' est Taxe des pôles, Péquateur est projeté selon le diamètre OQ. QN ou ON' étant la latitude / du parallèle qu'on veut tracer, tirez NO N'O, ces droites déterminent sur Taxe les points M et M' dont la distance est le diamètre de la perspective N M N' du parallèle; t est le centre de ce cercle perspectif, et Ton a

Mi = JMM'=p.

Faisant D = 90^ dans les équations générales, il vient d'ailleurs

p = tang. A = cot. l = rayon du cercle perspectif,

a = -^ == — : = distance du centre de la carte C au

C08. A 810. ( centre du cercle perspectif,

C = tang. I / = distance du centre de la carte au

point M.

La symétrie des cercles de part et d'autre de Téquatenr donne à la fais les deux parallèles NMN', nmn', à la même latitude boréale et australe.

Méridiens^ Pour tracer un méridien dont la longitude est Q, on prend à partir de Q un arc Qi; = 0 ; on tire v G v\ puis du pôle P' les cordes P' v, P v' qui coupent QO en fel f'-, ff est le diamètre du centre P /"P', le milieu de /*/"' est le centre de ce cercle. Un cercle symétrique de Tautre côté de la ligne des pôles a même rayon et son centre situé à même distance du point G.

Faisant dans les équations générales

A = 90oetD = e, " il vient pour les méridiens :

f = C/=tang. (450 — iû) C' = C/' = tang.(45o-f iO)

P= ^^To a = p — C/ = p-f-C/' = tang.6.

TABLE des valeurs %, de p et de C, tant en longitude qu'en latitude, de 5° en 5°, le rayon de la mappemonde ifant 1. Celte table al extraite de la Géodésie de M. Francoeub.

Projection- polaire (fig. 4, planche XXVI). L'œil est place aa pAle P' dùimctralcmenl opposé à celui V, qui esl ici le cenlre de la carte, cl le plan de perspective est celui même de IVqualcar A O B Q.

Méridient. Les perspectives des màridieDs sont toutes des lignes droites t/LM', diain6lres du cercle AOBQ dont elles divisent la circonrérence comme les degrés de longitude divisent l'équatcur.

Parallèles. AN étant la latitude d'un parallèle quelconque, tirei ON, cette droile déterminera sur AB un point n. Pn esl le rajon du cercle perspectif du parallèle dont la latitude est AN; ainsi des autres qui sont tODs des cercles dont le centre est au pâle P.

Faisant D = o dans l'équation gémirait; (3), on a pour le rajonp du parallèle dont la latitude est l

p = targ. i A = tang. (15" — ~l),

Les valeurs que prend p de 5<> en 5o sont comprises dans la colonne des valeurs de C pour les méridiens dans le tableau précédent.

La planche I est une application de la projection polaire.

.Ce mode de projection dilatant les espaces à mesure qu'on sV vance du centre P vers la circonférence AOBQde la carte, Delorgna a remédié à cet inconvénient par la méthode suivante, qui conserve aux contours leurs étendues superficielles^ mais qui ailëre encore un peu les rapports de distance et de configuration.

Projection de Delorgna (fig. I, planche XX Vin. Delorgna est parti de ce principe, savoir : que les régions d^égales étendues devaient être représentées sur la carte par des espaces égaux. En conséquence, pour construire une projection polaire d'après ce principe, il conçoit Phémisphére APD partagé en demi-fuseaux par des plans menés par son axe CP, et sur le centre du grand cercle perpendiculaire à cet axe, il en décrit un antre de rayon r, tel qu'on ait

TT r' = 2 11 R A.

R étant le rayon de rhémisphère à représenter, h la hauteur P c d'une calotte dont la surface 2 ?r B & doit être représentée par le cercle équivalent tf r^, on a donc en général pour le rayon d^ûn parallèle

C'est-à-dire que ce rayon est moyen proportionnel entre le diamètre de la sphère et la flèche B hj et dès lors ce rayon n'est autre chose que la corde de l'arc terrestre qui mesure la distance polaire. Ainsi A'C = AP est le rayon de la projection de l'hémisphère APD.

Tous les autres parallèles sont des cercles concentriques au cercle de rayon A'G, décrits d'un rayon égal à la corde du complément de la latitude. Les méridiens sont les rayons du cercle A'G qui tcr^ mine la carte.

Ed général, p étant le rayon d'un parallèle, l sa latitude et r le rayon A'G de la mappemonde, on a

p = r ,/2 8in. (45« — {/).

Il résulte de cette construction que les régions dVgale étendue sont représentées par des espaces égaux; que les quadrilatères formés par les méridiens et les parallèles qui terminent une zone sont égaux et rectangles comme sur la sphère. On remarque que les distances de deux points ne peuvent pas se mesurer exactement par la droite qui joint ces deux points sur la projection.

Projection anglaise {fig. 2, planche XXYII). Les cartes anglaises sont souvent construites d'après un mode de projection purement conventionnel et qui n'a plus rien de commun avec la perspective.

Il consiste h partager le rayon de Téquatcnr CQ, celui du p6lc CP et Parc PQ en un ni6me nombre de parties égales. Les parallèles sont alors des arcs de cercle assujettis à passer par les trois points de même dénomination 30, 30, 30, 60, 60^ 60^ et dont les centres se trouvent tous sur Taxe P' P suffisamment prolongé. Les méridiens sont également des arcs de cercle passant tous par les pôles P' etP, et par leurs longitudes 30 , 60^ 90..., et dont les centres sont tous situés sur la droite OQ qui représente Péquateur, ou sur son proloo* gement.

r étant le rayon de la mappemonde, p le rayon d^un méridien, -

la fraction de r à laquelle correspond le point de CO ou CQ par laquelle passe ce méridien, on a

nr . r

Ainsi, dans la figure 2, le rayon pdu parallèle qui passe à 50« de longitude, aurait pour valeur, à cause de - = --, n =-

P = j^ + ^g = -9^r=i.1777...Xr.

Pour les parallèles, on aurait, en faisant les distances CH = € et CD = Y> p exprimant encore le rayon du parallèle ,

C = -, Y = rsm. ^-J,

Ainsi, pour C = - r, on a

Y=r sin. 40o = 0.6t28r, et p = 1.578 r.

On construit une projection polaire sur le même principe (fig. 3). Les méridiens y sont représentes par des diamètres également incli* nés Tun sur Taulrc^ et les parallèles par des cercles concentriques avec la mappemonde, également distants entre eux et divisant, dôslors, tous les rayons en parties égales.

La projection anglaise altère moins le rapport des surfaces que la projection stéréograpbique.

Projection orthographique (fig. -I, planche XXVII). Ce mode de

GABTES. t85

projection est de peo d'usage en géographie. Les lignes projetantes^ au Ueu de concourir en un point déterminé^ comme dans les projections précédentes, sont parallèles entre elles et perpendiculaires au tableau perspectif; ou, en d'autres termes , le point de Tue et le tableau sont supposés h une distance infinie Pun de Tautre.

Les méridiens et les parallèles s'y trouvent en général représentés par des ellipses^ excepté dans les projections polaires^ où les méridiens sont oes droites et les parallèles des cercles concentriques.

La fig. 4, pi. XXYII est un exemple de projection orthographique sur le méridien.

Tous les parallèles sont des lignes droites, les méridiens sont des BixiPSES dont le demi-grand axe est le rayon de la mappemonde, et dont le demi-petit axe est le cosinus de l'arc qui mesure la longitude sur le cercle décrit avec le rayon de la mappemonde.

Ainsi, en partageant l'arc OP en neuf parties égales et menant par chacun des points de division des cordes parallèles au diamètre OQ, on aura les parallèles de 10 en 10 degrés. Abaissant cosuiCc de chacun des points de division du qoarl de cercle OP des perpendiculaires 30 30, 60 60> elles détermineront en même temps les deux petits axes G 30, G 60, des méridiens P 30 P', P 60 F, P 150 P', P 120 P* et ainsi des autres.

On peut d'ailleurs obtenir facilement tant de points que Ton voudra des ellipses méridiennes. Pour avoir, par exemple, le point N où le méridien qui a pour longitude 60o rencontre le parallèle dont la latitude est 30<>, on décrirait sur le parallèle 30 n, comme diamètre, un cercle sur lequel on prendrait un arc, 30 N', égal en degrés à la longitude: du point N'^ on mènerait la perpendiculaire N' N qui détermine le point N de rencontre du parallèle de 30^ latitude, avec le méridien qui compte 60^ de longitude , on obtiendrait ainsi quatre points de l'ellipse outre les quatre sommets et les deux axes.

Projections pàh dbvbloppevbnt. On ne pourrait appliquer aucune des projections précédentes aux cartes particulières, en isolant et agrandissant la portion de mappemonde qu^elles comprennent. Il en résulterait du moins des déformations qui altéreraient d^une manière trop sensible les rapports de distance, dé configuration on d'étendue, surtout vers les bords de la carte, et c''est aux projections par développemeni quMI faut alors recourir. La plus simple d'entre elles est la suivante.

Projection conique (fig. S, planche XXYII). Imaginez un cône tronqué tangent au parallèle moyen de la carte, développez ce cône sur un plan en un secteur circulaire, vous aurez alors la projection conique proprement dite de la zone sphérique à représenter. Bemar* quoDS que le parallèle moyen conservera dans le développement, U longueur qu'il a réellement sur lo globe , mais que les autres paraV-

lèles^ tant au-dessos qu'au-dessous de lui^ excéderout toujours leurs correspondants*

Soient D et d les nombres de degrés respectifs de longitude et de latitude que la carte doit embrasser^ { la latitude du parallèle moyen, S Tangle au sommet du secteur circulaire exprimé en degrés.

On a, le rayon de la sphère étant I,

S = Dsin. /

S A = rayon qui du contre S servira à tracer le parallèle moyen