OB

sin. |(Ut. A 4- Ut. B)

^ . COS. (lai. A)

8iD.i(lat.A + la(.B)'

Prcjeeiim ék Flamêteed (fig. 7, pkmche XXYII). Traces une rer* ticale AM ; elle représentera le méridien du milieu de la carte. Porlei sur cette droite, à Véchelle convenable, des divisions Ma, ab, bc, edy

proportionnelles à la longueur des arcs de méridiens. Par les points M, a, b^ Cy d, tirez des parallèles. A droite et à gauche de A M» et sur chacun des parallèles, portez, à Téchelle adoptée, des distances égales M/>=pg = M'p' = p' q'; ao=zon = ao' = o^ n', etc., chacune étant proportionnelle à la longueur des degrés de parallèle. Par les points usxop, vtynq^ etc., faites passer des courbes, vous aurez ainsi le canevas d^unc carte d'après la projection de Flamsteed.

La longueur du degré de Péquateur étant pris pour unité, la longueur d'un degré de parallèle, dont la latitude est l, est évidemment le cosinus de /. (Voyez la table des sinus naturels).

Ce mode de projection n'altère point les dislances mesurées dans le sens des parallèles; il représente, par des quadrilatères équivalents^ chaque quadrilatère correspondant formé sur la surface du globe par deux méridiens et deux parallèles quelconques, mais il altère considérablement la configuration des parties situées vers les limites de la carte, par Pobliquité qu'y prennent les méridiens à Fégard des parallèles. En sorte que les quadrilatères sphériques rectangles y sont représentés par des trapèzes mixtilignes dont les aires sont égales à la vérité, mais dont les angles sont très inégaux*. La projection suivante remédie à ce défaut : c'est la plus usitée en France. Au reste, dans celle-ci comme dans celle qui suit, les distances ne peuvent être mesurées avec rigueur que le long des méririens et des parallèles.

Projection de Flamsteed modifiée^ frojeclion française ou du dépôi de la guerre (fig. 8, planche XXVII).

Sur une verticale OX, portez le développement PX du méridien principal rectifié; d'un point 0, pris sur cette droite, et d'un rayon ^al à la tangente de la colatitude du parallèle moyen, décrivez la portion de circonférence BAC qui deviendra la projection de ce parallèle. Tous les autres parallèles sont concentriques à celui-ci 3 on les obtient donc en décrivant du point O, comme centre, des arcs de cercle passant par des points D, X... autant éloignés du moyen parallèle qu'ils le sont en effet sur le méridien principal rectifié.

Portez alors sur chacun de ces parallèles à Pest et à l'ouest du méridien principal, les valeurs réelles des degrés de longitude qui sont, «omme l'on sait, proportionnelles aux cosinus des latitudes des parallèles. Faites alors passer des courbes Pm G M, PGIR, PGTK'^

Pm' BM', par chaque série de points correspondants, et vous obtiendrez ainsi autant de méridiens.

Dans le cas particulier de la France, où le moyen parallèle est celui qui correspond au 45« degré de latitude, la cotangente qui devient le rayon du développement de ce parallèle est égale au rayon de la terre = 63661 98 mètres Le tracé d'une carte de France, à l'échelle du millionième, exigerait donc un compas dont les bran-

i38 CARTES.

ches passent s'ouvrir de 6*. 36. Afin de remédier à rimpossibililé de l'emploi d'aussi grands rayons, on calcule, pour cbaque parallèle, la position sur le plan de projection d'une suite de points également espacés et assez rapprochés pour que le petit arc, compris entre deux points consécutifs, puisse, sans erreur sensible, être considéré comme une droite. On rapporte cette position à deux coordonnées rectangles dont l'une, l'axe des X, est le méridien principal, et Pautre, celui des Y, est une perpendiculaire à ce méridien passant par le point O, centre commun du défeloppement des -parallèles. De là le problème suivant :

Etant données, la longitude x à partir du méridien principal et la latitude I d'un lieu quelconque m, trouver les coordonnées rectangles X = OEj y = £m de ce point.

L est la latitude du moyen parallèle de la carte,

R le rayon de la sphère, Q Tangle qui correspond à la longitude A sur le parallèle qui a l pour latitude. L'on a facilement

x:=zOm cos. B j/ = 0 m sin. 0

Om = OD = 04 — AD =; R cotang. L— tf

en appelant d le développement de l'arc l — L du méridien eorapris entre le moyen parallèle et le parallèle du point m. Cet arc sera évalué en mètres, en comptant 111111". lit.... par degré {voyez

AsTROIfOtflB ).

Pour déterminer 0, on remarque qu'un arc quelconque de parallèle est, dans son développement, représenté par un arc de nadme longueur, mais de rayon différent. Il en résulte que les nombres de degrés embrassés par chacun de ces arcs, sont en raison inverse des rayons. On a donc

R cotang. L—d : R cos. / :: ^ : 0,

R coUng. L — d

jpss (R cotang. L—d) cos. 0, y = (R cotang. L — d)sin. ft.

Résumons les propriétés générales de ce mode de projection :

lo Sur le méridien recliligne de la carte et sur les parallèles, ka longueurs sont les mêmes que sur le globe;

^o Tous les méridiens coupent à angles droits le parallèle moyen ;

D'oà

30 La projection Trançaiso s'identifie absolumeiit avec la projection de Flamstced proprement dite, lorsque Ton prend l'èqaateur pour le parallèle moyen ;

4<» Les projections des aires da sphércAde sont dans les mêmes rapports qne ces aires.

Caries plates. Ces cartes, spécialement destinées à la navigation, ne s^emploient, d'ailleurs, que pour représenter des tones très peu étendues en latitude. Concevez un cylindre droit, donlPaxc coïncide avec Taxe de rotation du globe, et qui ait pour rayon celui du parallèle moyen de la carte; les plans indéfinis des méridiens couperont ce cylindre suivant des droites parallèles à Taxe terrestre. Les plans indéfinis des parallèles formeront^ au contraire, sur la surface courbe du cylindre, des cercles parallèles et égaux, chacun^ à celui du moyen parallèle. Développez alors le cylindre sur un plan, et vous aurez le développement connu sous le nom de carte plate. Ce mode de projection est attribué à Don Henri, infant de Portugal. On voit facilement que dans ce développement !<> les parallèles deviennent dos droites parallèles entre elles et perpendiculaires aux autres droites parallèles qui représentent les méridiens; 2» les degrés de parallèles n'ont leur longueur réelle, relativement aux degrés de longitude, que sur le parallèle commun avec le cylindre et la sphère; 3^ que, en dehors du parallèle moyen, les degrés de parallèle sont trop petits vers Téquateur, et trop grands vers le pôle. Malgré ces défauts, cette projection, appliquée seulement à des zones peu étendues en latitude, est fort commode pour les marins, en ce

Iue les rumbs de vent qu'ils y tracent y sont représentés par des roites.

On suppose quelquefois les méridiens rectifiés sur les génératrices qui les représentent. Les distances mesurées sur la carte selon ces méridiens, ont alors même longueur que sur le globe.

En général , l'emploi des cartes plates est fort dangereux lorsqu'on s'en sert sous des latitudes plus grandes que celles de 7^ dans la navigation hauturière; aussi n'emploie-t-on guère aujourd'hui qne les cartes réduites, (Voyez ci- après).

Projection de Cassini. Ce mode de projection est celui adopté pour les cartes connues sous le nom de cartes de Cassini; on en prendra Qne idée suffisamment claire, en imaginant un cylindre tangent à la sphère suivant le méridien principal (celui de Paris); puis, par les divisions de Téquateur des plans indéfinis, parallèles à ce méridien, et enfin des grands cercles passant par les divisions du méridien, et qui ont dés lors leur diamètre commun situé dans le plan de Téquateur. Développant le cylindre et le méridien principal dans un sens, et les grands cercles qui passent par les divisions du méridien dans le sens perpeDdiealaire,'il en résulte que les distances mesurées sur le méri-

(lien rectiligne de Paris et celles mesurées suiyanl des droites perpendiculaires à ce méridien, y sont absolument les mômes que sur un globe semblable au sphéroïde terrestre et supposé construit à Véchelle de cette carte; on voit en même temps que les grands cercles

{perpendiculaires au méridien qui, sur la sphère, conTcrgent tous es uns vers les autres et se coupent tous aux pôles de ce méridien, deviennent parallèles entre eux sur la carte où le méridien est rectifié. Les portions déterminées par deux cercles perpendiculaires au méridien sont donc représentées par des rectangles de même longueur, mais plus larges vers leurs extrémités, et les distances prises en dehors des méridiens et des parallèles, ainsi que les aires, sont d'autant plus altérées qu^elles sont prises plus loin du méridien de Paris. Cependant, pour les cartes de France en particulier, l'étendue en longitude n'est pas assez grande pour que la convergence des perpendiculaires au méridien sur le globe, puisse causer des erreurs importantes par rapport 4ux usages ordinaires des cartes. Pour bien saisir ce défaut de la projection de Cassini, on peut encore remarquer, avec M. Lacroix, que, si par un alignement dirigé au moyen de piquets verticaux et perpendiculaires au méridien de Paris, on marque une suite de points, ces points appartiendront au grand cercle que détermine le plan vertical mené par l'Observatoire de Paris, perpendiculairement au méridien, et que le parallèle de Paris se sépare bientôt de ce cercle quMl ne fait que toucher au point où il coupe le méridien.

Sur les cartes de Cassini^ les parallèles à la méridienne et à la perpendiculaire de l'Observatoire sont tracés ft 60000 toises les anea des autres.

Caries réduites. Dans ces cartes, spécialement destinées aux navigateurs, les méridiens sont parallèles entre eux, comme dans les caries plates, c'est-à-dire que les degrés des parallèles sont partout égaux aux degrés de Péquateur. Toutefob, afin de conserver enlre les degrés de parallèle et ceux du méridien le même rapport que celui qui existe sur le globe, on fait croître les degrés de méridien soi* vaut la même loi qui doit exister dans le décroissement des degrés de parallèle. Ainsi, les minutes des parallèles sur la terre étant aux minutes de l'équatcur, comme les cosinus des latitudes de ces parallèles sont à Tunité, ou comme l'unité est à la sécante de la latitude, si Ton fait la minute de parallèle constante, il faudra, pour conserver le rapport indiqué, faire la minute de méridien égale à la minutc d^équateur multipliée par la sécante de la latitude du parallèle.

Ainsi, m*,m'\ m'" représentant respectivement la première,

la seconde, la troisième minute croissante et m la minute de l'équa-^ teur, on aura successivement,

m' = m sec. 1' m" = m sec. 2' m'" = m sec. 3'...

PIqs exactement^ si (Mr) représente la partie du méridien recliligne comprise depuis l'équateur jusqu'au parallèle dont la latitude Traie est représentée par L''^ on doit avoir en diffcrentiant

d (Mr) : dL" : : 1 : cos. L", d'où d (Mr) = -^^ , qui donne par l'intégration ^

(Mr)=log. tang.(iu-fiL").

S'il ne s'agissait que d'avoir une partie (Mr)' de Féchelle des latitudes croissantes^ correspondante à la différence L" — L' des latitudes Traies, alors^ ajoutant une constante à Téquation précédente^ en observant que, quand (Mr)' = o, on a L" = L', d'où

constante = — log. tang. ({ ^ + ^ L'),

on aurait complètement

Au reste, on trouvera, dans la table ci-contre, toutes les valeurs nécessaires pour construire une carte réduite.

On comprendra la nécessité ou plutôt la commodité, pour Tusagc de la navigation, de cartes où les méridiens et les parallèles soient disposés parallèlement entre eux, si Ton remarque i^ que par suite de l'emploi de la boussole, la direction de la route d'un navire, tant qu'elle est constante, fait un même angle avec chaque méridien qu'elle rencontre; 2» que pour représenter sur la carte, la route qu'on a suivie, ou qu'on veut suivre, il faudrait, si les méridiens n'étaient pas parallèles, j tracer une courbe, qui rendrait le problème de la réduction des routes fort compliqué. (Foy. Loxodromique.)