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Ë Ouvrages à consulter : Lacroix, Intra action à la géogra- 1 te; Puissant, Topographie; Frarcobuk Géodésie; Salneutb, un de Topographie et de Géodésie, le l^émorial da dépdt de la | «rrc.
CENTRES. ( Gehtib db gratitb. ) — Point unique par lequel
Îasse la résultante de tous les efforts exercés sur chaque molécule 'un corps^ par l'action de la pesanteur^ quelle que soit la position de ce corps.
Pour trouver le centre de gravité d'un corps^ il suffit souvent, eo pratique, de suspendre le corps dans deux positions successives différentes, à l'aide de fils verticaux appliqués tour à tour en deux points différents : le lieu d'intersection du prolongement des fils est le ceotre de gravité du corps.
Le centre de gravité de tout corps homogène symétrique, par rap-
Sort à un axe ou à un plan est epnteou dans cet axe ou dans ce plan, i le corps est symétrique par rapport à deux axes, le centre de gravité est à l'intersection des axes.
La recherche du centre de gravité d'un corps ou d'un système d'un corps est basée sur ce théorème : le moment de la résultante est égal k la somme des moments des composantes. Peut-être même estil plus exact de définir le centre de gravité d'un corps, en disant que c'est un point géométrique tel que sa distance à un plan quelcon*
3 ne multipliée par le poids du corps, est égale à la somme des prouits des poids de chaque élément par la distance de cet élément an même plan.
Le centre de gravité Gi de deuxpoidê
Pi P9 est situé sur la droite P| P3 qui P réunit leurs centres de gravité respectifs à une distancePiGi de P^, tellequ'on ait entre les moments pris par rapport à Gt, l'égalité
P.G. X Pi = PaG, X P,=[P|P, — P, G,] X Pi,
P P VP
d'où P| G, = ^^p"
La droite P| P, est ainsi partagée par le point G| en deux parties P4 ^1 1 ^1 Pi 4^i ^^^ ^^^ raison inverse des poids P3 Pi.
JPour inns paidi, on aurait Pi Gi comme ci-dessus^ et l*on obtieadrait facilement
r-p- — P3XG7P7 ^' ^' - P.+P. + P/
Si ks irais poids iiaient égaux, il yiendrait
et de plus, dans ce cas,
G,Ga = iG,Pa;
P,G, = iFP,.
Pour quatre poids, on aurait comme ci-dessns Pi G, etG| G3, on obtiendrait ensuite
GjGg
et rbypotlièse de règalité entre les quatre poids conduit à
G~Gr=TM^i
G«Ga = yGiPs,-
Gx=fprpr
Celui d'un nombre quelcanqtie de poids Pi Pa P3 P4 s'obtiendra en cherchant, comme ci-dessus y le centre de gravité 6| des deux poids Pi Pj. On pourra supposer alors que P1 + P2 sont réunis en Gi, el Ton cherchera le centre commun de gravité Gj de Pi Pa et P^. Supposant encore ces trois derniers poids réunis en G2, on cherchera à son tour le centre commun G, de P4 et des trois poids
réunies en G^ et ainsi de suite.
LiGNBS. — Ligne droite. Son centre de gravité est visiblement aa milieu de la droite supposée matérielle.
Contour d^un polygone rectiligne quelconque. Soit c' c" c'".... la longueur des côtés successifs de ce polygone > , ;, fj,'" les dis-
tances respectives des milieux des côtés c^ c*' c^''... à deux axes tracés où Ton voudra dans le plan de ce polygone, X et Y les distances à ces mêmes axes du centre de gravité du polygone, on aurait
si le polygone est régulier, le centre de gravité se confond avec le centre de figure.
Arc de courbe plane, i étant la longueur développée de l'arc de courbe, et X Y les distances respectives de son centre de gravité k Taxe des y et à celui des x, on a en général
^ J^ài Jydi
On tire de Téquation de la courbe les valeurs de d « et de s en fonction de â? et y, et substituant ces valeurs dans les formules cidessus, on obtient les valeurs de X et Y par Tintégration. On sait qu'on a, en général, 5*= |/ (ia?* -|- dy^); voy. gourbbs. On appliquera ces formules à la détermination du centre de gravité d^un arc de cercle.
Arc de cercle M A M'. Disposez l'arc de courbe symétriquement par rapport aux axes 9 ce qui tend à simplifier les calculs. Pour cela> faites passer p Taxe des a?, AC, par le milieu A de ^ Parc M A M'. Soit alors AP = ic, PM=y les coordonnées d'un point
Îuelconque M, le rayon AC=r et le emi-arc AM = AM' = s, A est l'origine des x^ on aura
l'équation du cercle au sommet est y'^ = 2rx^^x^', il en résulte que de devient
rdx rdx
d'où
r ^ xdx
j J y-i^rx—x*)
intégrant^ il vient
ry
Ainsi^ G étant le centre de gravité^ on a
ry
ry
AG = r — ^ = AC — — i d'oùCG = AC — AG = -^,
c'est i dire que la distance du centre de gravité de Parc de cercle au centre du cercle est au rayon j comme la corde de V arc est d là longueur de cet arc.
Si Tare forme une demi-circonférence , la corde est le double du rayon ^ et l'on a
CG=— == -^=0.63*62 Xr.
ir 1.57..
Si la circonférence est entière^ le centre de gravité se confond avec le centre de figure j y = a et X = r.
Arc de eyclotde M AM'. A B = d étant le diamètre da cercle générateur, le centre de gravité est aa tiers de Tabscisse x = A P qui forme la flèche de Tarc^ en partant du point A.
Celui de la cycUMe entière est au tiers da diamètre d = A B^ quel que soit ce diamètre.
Celui de la demi-cyclotde A M G B A serait donné par
Y = dair-Î);
Tc étant le rapport de la circonférence au diamètre.
CkaîMite suspendue à deux painis de nweau. Le centre de gravité est sur la flèche à une distance G, au-dessus du point le plus bas de la chatnette donnée par
G = i(sH + ^-),
S étant la demi-longueur de la chatnette, a la demi-distance horizontale des points de suspension, H la flèche de la courbe, c la tension au point le plus bas, p le poids du mètre courant da chaîne.
Si la courbe n'est pas définie par nne équation, on la partage en un grand nombre de parties assez petites pour être considérées comme des lignes droites, et pour que le centre de gravité de chacone de ces parties paisse être amposé sans erreur sensible en leur miiiea. On dnrise sacoessiTement m sommes desf moaients par rapport à deux axes tracés dans le plan de la courbe par la longueur de €ette ocmrbe; les quotiens donnent les distances da centre de gravité aux deux axes.
Ceci suppose qu^on sait mesarer assez exactement la tongaear d'une courbe qui n'est point définie : or, on trouvera au mot goumbbs une solution pratique et suffisamment exacte de ce problème.
SmuTAOBa. — Aire d^un polygame reeiHifM fudc^mque. On le décompose en triangles par des diagonales menées d'an des angles. On che^
CENTRE DE GRAYITË. 839
che les centres de gravité respectife de chacun des triangles -, on mène den axes redangBlaires dans le plan du polygone ^ si x^ x" a;'".,.. yt yfi yffi j|qq( 1^ distauccs aux axes des centres de grayité de chacun des triangles^ et c' i^^ c'" leurs aires, on obtient les distances X Y du centre de grayité du polygone aux axes coordonnés par les mêmes formules que celles données ci-dessus pour le eantaur du polygone.
Si le polygone est régulier, le centre de grayité est au centre de figure.
Si c'est un parallélogramme^ le centre de grayité est à Tintersection des diagonales.
Surface plane terminée par une courbe définie. Les coordonnées X Y du centre de grayité sont données par les formules
desy =
distance à Paxe
desj; =
fy xdx-\'X J]fdx + B fy^dx + A' 2jydx+B'
k, B, SJ W sont les constantes qui complètent les intégrales.
Surface plane terminée par deux courbée quelconques M N , m n. Tracez dans le sens de la plus grande longueur la droite A B; partagez cette droite en un nombre patr de parties égales; élevez par chaque point de division des ordonnées perpendiculaires à AB, et terminées de part et d'autre aux deux courbes. Soit yi y, y, y^ les
longueurs de ces ordonnées (le numéro n est nécessairement impair), h leur intervalle commun. L'aire MN mn de la surface sera exprimée par
f*[yt + ^ya+«y3+*y4+2y5+....+y„].
â40 CENTRE DE GRAVITE.
On voit qae, dans la parenthèse^ les ordonnées eitrémes ont le coefficient i, les ordonnées de rang pair ont le coefficient 4 et les ordonnées intermédiaires de rang impair le coefficient 2. Si les ordonnées extrêmes ou toute autre se trouvaient nulles, il faudrait également leur donner leur numéro, et elles fourniraient un terme nul. Lorsque les courbes ne sont pas très irrégulières et qu'elles ne serpentent pas trop, il suffit de prendre cinq ordonnées au plus.
La distance du centre de gravité de Taire M N m n à la première ordonnée MA m est
yi+*y.+2y3+4y4 + 2y3-f....ytt.
Le dénominateur est la quantité comprise dans la parenthèse de a formule précédente. La parenthèse du numérateur est égale an dénominateur, dont tous les termes auraient été multipliés dans Tordre
où ils se présentent, et successivement par 0, 1,2, 3, 4 (n — i).
Le premier terme donne un produit nul ; on Ta écrit pour la régularité de la formule : cette méthode est connue sous le nom de Méikode de Thomas Simpson.
La projection sur un plan du centre de gravité d'une aire plane quelconque est le centre de gravité de la projection de cette aire.
Surface de révolution. Le centre de gravité est sur Taxe de révolution à une distance de l'origine de cet axe qu'on calcule par
pD yà$ +A Jyàs+ B
Le centre de gravité de l'aire du triangle est situé sur les droites qui joignent les sommets aux milieux des côtés qui leur sont opposés^ il est donc à leur intersection 6. On démontre G facilement que
DG = iDA.
Ainsi, le centre de gravité de l'aire d'un triangle est situé, à partir du sommet'd'un de ses angles aux deux tiers de la droite menée du sommet de cet angle au miliea du côté opposé.
[Le centre de gravite de l'arc d'un triangle est le mémo que celai
de trois poids égaux situés aux sommets des trois angles de ce triangle.
Si trois forces dont les intensités et les directions seraient représentées par GC, G 6, G A, sont en équilibre sur un point G^ ce point G est le centre de gravité du triangle formé par les droites qui réunissent les extrémités dos forces.
Lorsqu^un triangle porte sur trois pieds verticaux, si Ton décompose le triangle total ABC en trois autres triangles formés par les droites menées du centre de gravité G aux trois sommets^ la charge totale P se répartit sur chacun des appuis dans le rapport des triangles opposés à chaque appui. Ainsi
charge en A = P X charge en B = P X
charge en C = P X
