I : T : : cos a : 1 : : 1 : sec a

T =/8eca.

Ainsi la tension ou l'effort tangenliel exercé sur un élément quelconque , est proportionnel à la sécante de l'inclinaison de cet élément sur l'horizon.

On déduit de ces deux formules un tracé très simple. Prolongez au-dessous du point le plas bas l'axe des x d'une quantité CO z=/j du point O comme centre, et avec le rayon i décrivez un cercle; soit b un point quelconque de la chaînette, menez son ordonnée y = bd-, du point d où celte ordonnée rencontre l'axe des x, menez une tangente cfN; !<> cette tangente sera parallèle à la tangente bh à la courbe qui serait menée par le point A; 2» sa longueur sera celle s de l'arc de courbe Cb-, 3» la tension t en i auira pour mesure la sécante Od.

0(/ = Oc-|-cd onTz=/-)-a?.

CHAINETTE. 265

La seule inspection du triangle d NO fournit les relations Od = OC+CD, ouT=<+a? (S).

Od=ÔN*+N? ouTz^V^ï^+iT (4).

Ainsi (3), la tension pT en un point quelconque b d'une chaînette, égale la tension pi au point le plus bas, plus le poids px d^une chaîne dont la longueur serait Tabscisse â? de ce point b. Cette tension (4) est la résultante de deux composantes , 1 une est la tension horizontale au point le plus bas, et Fautre verticale est le poids de la portion de chaîne s comprise entre le point le plus bas et celui que Ton considère.

Il en résulte que dans toute chaînette suspendue à deux points fixes également ou inégalement élevés , ces points fixes sont soumis d'une part à des efforts horizontaux constants et égaux à la moindre tension de la chaîne , de Taulre à des efforts verticaux qui tendent à presser ces points fixes sur leurs bases.

Le triangle (I NO donne encore

(Cd+Coy=t^ + $* oua?=K7+? — I (5).

$ = Vix?-\-2ix. ....... (6),

La tension au point le plus bas , augmente pour une même longueur de chaîne (7) lorsque la courbe prend une plus petite flèche, et si cette flèche x pouvait jamais être nulle, la tension serait infiniment grande ; une chaîne tirée par ses extrémités ne peut donc jamais être rectiligne et horizontale.

Si Ton remarque, que la portion A aC {fig. 1) étant en équilibre, on ne changerait rien à cet état en prenant le point a pour pomt fixe au lieu du point A, ce point fixe remplaçant alors la tension en a de la partie A a, on en conclura que, pour une même chaînette, la tension au point le plus bas demeure la même, quelque point qu'on prenne sur cette chainetle pour le point de suspension.

En combinant Péqualion (1) dy = —dx avec Péquation (6) on

obtient entre a; et y l'équation diiTérenticllc.

dy= !l! (8)

dont 'm TBGaALE est

y == t log. hyp. '+"+^^,^H^ = t log. hjp. î±f!:!. (9)

36« CHÀINETIB.

oa , en Yftétttfnt polir t ssi vaktir et èlvisatit par « -f-^

y=/Iog. hyp.-^3^ = /XMlog.teng.(45<>4-{tt) . . . • (10) La dtolaiioe «a sommet du cenire et gm^ki de la courbe S «^ est

ÎK't'-') ('•)

De toutes les courbes de même longueur fixées aux pointa A et B, la chalnelte est celle qui a son centre de grayitë le plus bas. Donc aussi, si Ton fait tourner une chaînette autour de Taxe ▲&, elle engendrera , par sa réyolution , une sur&ce plus grande 4|oe celle qoi serait produite par toute autre courbe de même longueur terminée aux mêmes points A et B.

Le rayon p de courbure de la cbalnetleteat domié ftar

au sommet de la courbe, il devient ^±zU

Résumant les équations ci-dessus pour la facilité des calculs na* mériques et y ajoutant celles qu^on peut en déduire, on voit que :

Gommis^aat a et I,. onobtient

^ZEiU tang. oe T=<^C. a;

rc = < (sec. « — t) =

eoa. a ^

y s MH. log. iaqg. (*5o + î a)^ Cotitiaissant « et #, on a

/zr^cotang. a rr^'rcosec. a;

â? = # cosec. tt sin« vers, a;

y = M « cotang. « log. tang. (45» -|- ^ «).

Etant donnés oc et y, on a

MIog.Ung. (45<^+ia)'

M €08. a log. taag. (45<* •\-\^

CHAINETTE. 9«7

, yteng. a

Mlog. Uing.(4ô«> + itt)

M COS. a log. tang. (45^ + î «)'

Enfin connaissant â? e/ y, on a ,

log.tang.(45<>+|a) y

8CC. 01 sin. lera. « "~* M a: *

X m sin. a g y ■■ ^

""" sio. vera. a "^ sin. vers, a ^^ y «» -f- 2 f

»cc. ot — 1

C(w parHcuUeri. Lorsque oc= 45o, on a

Si L?^ 2 D, on a

^3= 0.7966 D, et a c= 77* 3'.

Lorsque a = 56o 28', t : x : yeis sont entre eux resiiectivOiment :: 1 : 0.81 : 1.1995 : 1.5089 o( l est alors mmimtim parrap*port ày.

Lorsque tzzif et qu'on fait i =; f;:fz 1 , ou a^

D= 2.6339, Lss 3.4641.

Les tensions aux points de suspension sont chacune double de la tension au point le plus bas et a :z= 60^.

Si la tension au point le plus bas est égale au poids de la chaîne^ etsiroo fait j)<:^pL 7=1, on a

D= 0.96242 /œ 0.1180340; la tension k chaque point de suspensbn

= 1.118, a = 26o34'5 à très peu prés :