Proportions ordinaires entre les diverses dimensions
Si l’on établit entre la saillie et l’épaisseur des nervures les relations précédentes, assez convenables, b' = 36 et e=\b.
on a :
Disposition de la charge.
Formules A employer.
La charge agissant A des distances t et I' des points d’appui.
pi»
La charge étant répartie par moitié en deux points situés it la même distance 1 des points d’appui.
PI
La charge étant répartie sur une longueur 2c’, dont le milieu est aux distances l et 1’ des appuis.
,. ’Cf-f)
ORMULES PRATIQUES. 379
Exemple. — Arbre de la iiouk de la filature db MM. N*
ScnniMRERGER et Comp", a Gubbvyiller. La roue, avec l'eau qu’elle peut contenir, pèse 30500 kilog.; son poids est réparti par moitié en deux points situés à la même distance / = 0m.65 des appuis : on a donc
La foiipule donne 6 = 0"'. 172. __
Le conslrudeur anglais a fnïf b — 0m. 1330 , et les nenures sont proportionnées comme il est dit plus haut Celle dimension est à peu près celle que l’on obtiendrait en prenant R = 750000011. Mais plusieurs arbres proportionnés d’après celle valeur ont été trouvés trop flexibles; c’est pourquoi nous avonsadoplé la valeur R = 37500001'1, comme pour les autres
arbres des roues hydrauliques.
Wt *'t
-422. Observations relatives a la portion de l’arbre sur laquelle se fait l’assemblage. Dans les applications des formules
précédentes on observera que, pour la facilité des assemblages, la parlie sur laquelle repose la charge ne peut avoir le profil que nous avons indiqué aux figures 63 et 64 , et qu’il convient de lui donner, dans tous les cas , un profit carré , circulaire ou polygonal. On en calculera alors les dimensions par les formules des nOT >ÎIG ou 417, relatives à ces formes ; puis on la raccordera avec le noyau et les nervures, dont nous venons de déterminer les dimensions, par une partie pyramidale ou tronconique allongée et par des arrondissements convenables.
Exemple. La roue hydraulique en fer de l’exemple précédent pèse avec l’eau qu’elle contient 30500 kilog.
La charge est répartie par moitié en deux points situés i\ la même distance l = 0m.65 du milieu des coussinets.
L’arbre est en fonte; la parlie qui reçoit les manchons d’assemblage des bras est cylindrique; et la portion intermédiaire est un cylindre, d’un diamètre moindre, renforcé par des nervures.
Fig. 65.
RÉSISTANCE DES MATÉRI
La formule donne pour la partie cylindrique qui reçoit les
manchons d = 0m.299. lire* ÿh
Le constructeur a fait „ d == 0m .258 seulement; mais cette partie de l’arbre porle quatre petites nervures pour servir d’arrêt aux cales qui serrent les manchons, ce qui la renforce un peu.
La partie de cet arbre qui est intermédiaire entre les points de support des manchons est à nervures, proportionnées comme il a été dit au n° 421. g.
425. Aiirres cylindriques creux en fonte. Pour augmenter la résistance et le diamètre extérieur, on adopte quelquefois des arbres cylindriques creux en fonte.
En nommant d le diamètre extérieur, d' le diamètre intérieur, on emploiera les formules suivantes :
Disposition de la charge.
Formules à employer.
La charge agissant au milieu de la longueur
d»— d» Pc d 568 loti
La charge agissant à des distances ( et V des points d’appui.
d* — d1* VU'
La chnrec étant répartie par moitié en dcui points situés ü la même distance I des points d’appui.
d* — d'4 PI
La charge étant répartie sur une longueur 2c', dont le milieu est aux distances I et 1* des appuis.
424. Proportions généralement adoptées dans ce cas. 11 est d’usage de faire le diamètre intérieur égal aux § du diamètre extérieur, ce qui fixe l’épaisseur à £ du diamètre extérieur : alors les formules précédentes deviennent :
FORMULES PRATIQUES. 381
| Disposition de la charge.
Formules & employer.
La charge' agissant au milieu de la longueur.
rap
Pc
La charge agissant à des distances l et l' des points d’appui.
d3— PH' 320 453
La charge étant répartie par moitié en deux points situés à la même distance l des points d’appui.
La charge étant répartie sur une longueur 2c1, dont le milieu est aux distances l et /' des appuis.
Exemple. Un arbre de roue de martinet de la manufacture d’armes de Châlellcrault supporte , sur une longueur 2c' = 2m, le poids d’une roue 2P=21017t; le milieu de la partie chargée est aux distances
/=ln\55, /'= 2,,,.06, des points d’appui; 2c = 3m.6l.
La formule donne
d 3 = - — = 0.0416 et d = 0ra.346 ,
42». Soudes encastrés par leurs deux extrémités. Lorsqu’un solide est encastré par ses deux extrémités, sa résistance est deux fois plus grande que quand il repose librement sur des appuis, et l’on emploiera en conséquence pour toutes les formes indiquées aux n°* 410 et suiv. les mêmes formules, mais en y
remplaçant P, ou la moitié de la charge totale 2P, par - ou le
quart de celle charge. 11 faudra toutefois, dans des cas pareils, s’assurer que l’encastrement est très-solide, sans quoi il ne produirait pas son effet. Les poutres scellées dans les murs ne peuvent être regardées comme encastrées que quand elles y sont engagées sur une longueur de 0m.70 à 0n‘.80.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
426. Solides prismatiques ou cylindriques exposés a la torsion. Les arbres qui transmettent le mouvement sont exposés à des efforts de torsion dônt il est souvent nécessairfc.-de tenir compte, en les proportionnant. On calculera les aimensions qu’il convient de leur donner pour les mettre en état de résister d’une matiière permanente à ces efforts par les formules suivantes*, en ayant soin d’adopter celles des arbres forts pour les arbres premiers moteurs et pour tous ceux qui ont à mettre en mouvement des machines pesantes , et celles des arbres légers pour les transmissions ultérieures du mouvement aux machines de fabrication marchant rapidement.
Forme de la section trnnsrersale.
Carré.
Matières dont le corps est formé.
Fer ou fonte
Circulaire.
Id et d1 étant quelconques
Dois.
Fer ou fonte
Bois.
Fer ou fonte
Bois.
Annulaire, i
[ Fer ou fonte
si
I Bois.
Formules à employer pour les arbres
allégés.
forts.
PR
ft»- I>R
d>=-HK- 202 000
d*=-ÏÏL
d>= -?JL
PR
d‘-d'* PR
d»— d»’ PR
PR
dV- PR
d*- PR
d*- PR
On désigne dans ces formules par
* Ces formules sont établies en admettant que le corps ne supporte qu’un effort permanent de 2 000000 kilog. pour le fer et la fonte, et de 333 333 kilog. pour le bois , par mètre carré de section pour les arbres allégés.
FORMULES PRATIQUES
P l’effort qui tend à tordre le corps ;
R le bras de levier de cet effort; b le côté du carré, si la section du corps est carrée ; d le diamètre du corps, s’il est cylindrique , ou celui du cercle inscrit, s’il est à section polygonale; d et d’ les diamètres extérieur et intérieur, s’il s’agit d’un cylindre creux.
Nota. Si les engrenages qui transmettent le mouvement sont situés de part et d’autre d’un tourillon, c’est ce tourillon qui supporte l’effort de torsion, et son diamètre doit être calculé en conséquence.
Exemple. Quel doit être le. diamètre du tourillon de l’arbre cylindrique en fonte de -la turbine de Müllbach, pour transmettre une force de 45 chevaux à la vitesse de 50 tours en V par un engrenage de 0m,70 de rayon?
La vitesse à la circonférence de l’engrenage étant égale à
l’effort exercé à la circonférence de cette roue sera
45 x 75km 3”.b63
La formule des arbres forts ou premiers moteurs donne
d’où
Le tourillon de cet arbre a 0m.162 de diamètre, et le corps a 0m.182. Dans des expériences au frein il a transmis une force de 91 chevaux à la vitesse de 66 tours en l', ce qui correspond à un effort de 1410 kil., sans éprouver d’altération.
427. Observation relative aux arbres de transmission du mouvement. Lorsque l’on voudra déterminer les dimensions d’un arbre de transmission de mouvement ou d’un tourillon, on devra les calculer par les formules relatives à la résistance à la rupture par flexion, et par celle du numéro précédent relative à la torsion, et prendre pour la dimension définitive le plus grand des deux résultats.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
428. Solides cylindriques creux, d’épaisseur uniforme, soumis a des tressions intéuieüres. On calculera l’épaisseur à donner aux tuyaux cylindriques par la formule suivante :
pd , , nX 1 03.30 d . ,
' = 2ÏÏ-' + e= 2ÏV + *>
dans laquelle on représente par e l’épaisseur du tuyau, p la pression intérieure sur un mètre carré, n le nombre d’atmosphères correspondant à cette pression en sus de celle de l’air, d le diamètre intérieur,
R' l’effort de traction que l’on peut avec sécurité faire supporter d’une manière permanente à un mètre carré de surface de la substance employée, et qui est indiquée au tableau du n» 370,
e' une épaisseur constante qu’il est nécessaire d’ajouter h quelques tuyaux pour les mettre en état de résister aux accidents de la pose et des transports.
Celte formule revient aux suivantes pour les tuyaux, en prenant pour (tableau du n° 370)
le fer ft'=6000000; e=0.00086 «rZ-J-0.0030
la fonte R'=2170000; e=0.00238 nd-f 0.0085
le cuivre laminé. . R'=3500000; e =0.00 1476 nd -f- 0.0040
le plomb R'= 213000; e=0.00242 nd + 0.0050
le zinc R'= 833000; e=0.00620 n^-j-0.0040
le bois R'= 160000; e=0.03230 nd-f 0.0270
les pierres nalur. . R'= 140000; e=0.0J690 nrf-j-0.0300
les pierres factices. R'= 96000; e=0.05380 «d-f-0.0400
On sait que pour les chaudières 5 vapeur en tôle de fer, exposées à être détériorées par l’action de la flamme, on doit , d’après une ordonnance royale, régler l’épaisseur par la formule
e = 0.0018 nd -(- 0”\003,
qui revient à peu près à prendre R'=3OOOCO0kil. et à augmenter l’épaisseur calculée d’une quantité constante de 0n’.003 ; et
FORMULES PRATIQUES-
que pour le service des eaux de Paris, on donne aux luyaux en fonte des épaisseurs qui correspondent «à peu près à la formule
e = 0m.002 nd -f- 0m.01,
dans laquelle w=10 atmosphères est la pression d’épreuve pour la réception de ces tuyaux.
429. Résistance d’une sphère a la rupture. Lorsqu’une sphère creuse est soumise à une pression intérieure qui tend à la faire éclater, si l’on nomme r son rayon extérieur; r' son rayon intérieur; eson épaisseur, égale à r — r' ;
p la pression intérieure, exprimée en kilogrammes, snr un mètre carré, en sus de celle de l’air;
R la charge par mètre carré capable de produire la rupture (tableau n° 370),
on calculera la pression capable de faire éclater celte sphère par la formule
qui devient, pour
le fer p— 40000000
la fonte p= 13500000
le cuivre rouge battu p = 25000000
Exbmplb. Quelle est la pression exercée par l’eau sur les parois intérieures d’une bombe de 0m.32, qu’elle brise par l’effort de dilatation qu’elle exerce en se congelant ?
Le diamètre extérieur de la bombe 2r=0"’.32
Le diamètre intérieur 2r'=0m.23
On a donc
ou
l268190Gkil,
= 1228 atmosphères.
AlDg-MÉHOIBE.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
La rupture ayant lien par l’œil, et par conséquent sur une surface un peu moindre que celle des autres sections passant par le centre, la pression au moment de la rupture peut être en réalité un peu moindre.
Lorsque l’épaisseur du métal n’est que de du rayon intérieur, r*— r'* = 2er à très-peu près, elles formules ci-dessus deviennent, pour
le fer
la fonte
le cuivre rouge battu
Mais s’il s’agit de calculer l’épaisseur qu’il convient de donner à une sphère pour qu’elle puisse résister d’une manière permanente à une pression intérieure donnée, on emploiera les formules suivantes dans le cas où l’épaisseur sera au-dessous de | du rayon extérieur, pour
le fer
la fonte
le cuivre rouge battu.
pr
e-. Pr
Exemple. Quelle épaisseur convient-il de donner à une sphère creuse en cuivre rouge battu soumise à une pression de 4 atmosphères en sus de celle de l’air, et dont le diamètre extérieur est de 0m.60?
On a
p = 4 X 10330= 413201"1 et e = ~ = 0-.0015.
430. Proportions et dimensions des vis. Dans les constructions, les boulons employés à la réunion des diverses parties doivent être proportionnés ainsi qu’il suit :
Le noyau de la partie filetée ne doit pas être soumis à une
FORMULES PRATIQUES. 387
tension de plus de 2lil.80 par millimètre carré de l’aire de sa section.
En appelant
P l’effort que doit supporter le boulon, d le diamètre du noyeau fileté en millimètres, on calculera ce noyau par la formule
d = 0.674 y/jp7
Le diamètre extérieur des filets sera égal à g d ou f du diamètre du noyau , et la saillie des filets sur le noyau sera égale à 75 d ou -fa du diamètre du noyau.
Le pas sera égal à J d ou £ du diamètre du noyau.
Lorsque les écrous ne doivent pas être dévissés souvent , on leur donne une épaisseur égale au diamètre extérieur de la vis, ou à f de celui du noyau. Ils contiennent alors six tours de filet.
Si l’écrou doit être dévissé souvent, son épaisseur devra être 1 J fois le diamètre extérieur ou f de celui du noyau.
Pour la facilité du passage des filets dans les trous des pièces à réunir, il convient de donner au corps du boulon dont l’extrémité est filetée un ou deux millimètres de diamètre de plus qu’à l’extérieur des filets.
Ces proportions conviennent également aux vis à filets carrés ou à celles doilt les filets sont triangulaires.
Formules pour calculer la flexion que prennent les solides
