Tracé de la courbe décrite par le filet moyen de la
VEINE FLUIDE, A PAR- TIR DE l’extrémité DU COURSIER. Après
avoir déterminé, dans l’un ou l’autre des cas examinés aux n®* 57 ou 56 précédents, la vitesse de l’eau à l’extrémité du coursier il devient facile de tracer la courbe décrite par le filet moyen de la veine fluide à parür de cette extrémité.
En effet,
U désignant la vitesse à l’extrémité du coursier,
a l’angle de ce coursier et de cette vitesse avec l’horizontale,
ÉCOULEMENT DE L’EAU
la courbe décrite par le filet moyen de la veine fluide aura pour équation, en appelant
X ses abscisses mesurées sur une horizontale menée par le milieu du profil où la vitesse moyenne est u,
y ses ordonnées verticales à partir de la même origine,
Cette équation revient à la règle suivante :
Pour calculer les ordonnées de la courbe décrite par le filet moyen correspondantes à des abscisses horizontales données ,
Multipliez le carré de la vitesse u de Veau à V extrémité du coursier (n°‘ o7 ou 1)8) par le double du carré du cosinus de Vangle formé par sa direction avec V horizontale; par ce produit divisez le nombre 9,81, et multipliez le quotient par le carré de V abscisse x donnée;
Au produit ajoutez celui de cette abscisse par la tangente de Vangle a, que fait la vitesse u avec Vhorizontale.
La somme sera la valeur cherchée de Vordonnèe y.
En se donnant des valeurs de x égales à 0"',1, 0™,2, O*”, 3, etc., on obtiendra les valeurs correspondantes de y, et l’on tracera par points la courbe décrite par le filet moyen.
Dans le cas où le coursier est horizontal, on a
et
a = 0, cosa=l, tanga = 0,
Cette équation revient à la règle suivante :
Divisez 9,81 par le double du carré de la vitesse à V extrémité du coursier J multipliez le quotient par le carré de V abscisse x donnée : Le produit sera Vordonnèe y correspondante à la valeur de Vabscisse.
Si l’orifice est un déversoir, on aura approximativement la
72 ÉCOULEMENT DE L’EAU
vitesse du filet moyen en se rappelant que l’épaisseur de la lame d’eau au-dessus de la vanne n’est que 0,80 environ de la hauteur H du niveau au-dessus du même point. Le filet moyen étant alors à 0,60 de celte même hauteur, la vitesse de ce filet sera
u = v'19,62xO,6H,
et dirigée à peu près dans le sens horizontal. On pourra donc, dans tous les cas, déterminer facilement la parabole décrite par ce filet moyen à partir de l’origine.
62. Vitesse d’arrivée de l’eau sur les roues hydrauliques PLACÉES au-dessous d’un COURSIER. Au point où la courbe du filet moyen rencontre la circonférence extérieure de la roue menez une tangente à celte parabole : sa direction sera celle de la vitesse d’arrivée V de l’eau sur la roue. Puis à la hauteur duc à la vitesse w (n® 2 ou table n«4) ajoutez la hauteur de ce point de rencontre au-dessous de l’origine delà courbe : la vitesse due à la somme de ces hauteurs sera la vitesse d’arrivée V de l’eau sur la roue.
Exemple. Quelle est la vitesse d’arrivée de l’eau sur une roue hydraulique de 3*”, 50 de diamètre, dont l’axe est à 0"‘,25 en avant de la verticale qui passe par l’extrémité de ce coursier incliné au douzième? On suppose que cette extrémité soit à O*", 02 au-dessus de la roue, et que la vitesse moyenne de la lame d’eau, qui a 0”\10 d’épaisseur au bout du coursier, soit de S*" eu T.
Si le coursier est incliné à on a
a SW 2
tang a = — =0,083, cos a = 0,995, ^=3»",
on en déduit pour les coordonnées de la courbe a? = 0“,l00, 0™,200, 0"’,300, 0™,400, 0‘”,500, 0"’,600,
ÉCOULEMENT DE L’EAU
L’intersection de la courbe ainsi déterminée avec la circonférence de la roue est à 0"‘,07 environ au-dessous du point milieu de la veine au bout du coursier ou de l’origine de la courbe, et la hauteur due à la vitesse de 3"' étant de 0"’,46, la hauteur totale à laquelle est due la vitesse cherchée est C”',53, et par conséquent celle vitesse est de 3“,23 en 1".
Etablissement des canaux à régime constant.
63. Les canaux qui précèdent ou suivent les usines doivent, autant que possible, être à régime constant, c’est-à-dire que la pente, l’aire de la section d’eau et la vitesse doivent y être constantes.
64. Détermination de la vitesse moyenne. Cas où les dimensions DU CANAL SONT DONNÉES. Si, par des considérations de localité ou d’économie, on a fixé les dimensions du canal, on connaîtra d’avance faire A de son profil et le périmètre mouillé S. Le volume d’eau à débiter étant Q, on aura pour déterminer la vitesse moyenne U à établir dans le canal la formule
Cette vitesse doit d’ailleurs être telle, que celle que prend le liquide au fond du canal calculée par la règle du n" 35, ne dépasse pas la limite indiquée au n® 56, suivant la nature du sol.
65. Cas où les dimensions du canal ne sont pas données. Dans ce cas et s’il s’agit d’un canal d’usine on adoptera provisoirement pour la vitesse moyenne U une valeur voisine de 0"',50 à O^eo et l’on se donnera d’après les conditions locales et celles d’économie de la dépense la profondeur d’eau dans le canal ainsi que sa forme, ce qui permettra de déterminer approximativement sa section A , le périmètre mouillé S a par suite le
rapport g = R*
On calculera ensuite la pente I à donner au fond par mètre
courant à l’aide de celle des formules suivantes qui conviendra au sol dans Ifquel le canal devra être creusé.
1" TYPE. Parois très-unies .0,0001 | 1 -f |
2* TYPE. Parois unies I = ^0,(KX)19 ^ 1 + |
.2" TYPE. Parois peu unies I = ^0,0(K)24 | 1 -f }
4* TYPK. Parois en terre 1=^^ 0,00028 j 1 -) —
Connaissant la pente I par mètre courant, l’on pourra calculer les valeurs de RI et de y/Rl et ensuite celle de la vitesse de fond par la formule
\V= U — ey/Ri.
Ce qui permettra de s’assurer si celte vitesse \V n’excède pas celle que permet la nature du fond et qui est indiquée au n® 56.
Exemple. Soit U = 0“,60, le volume Q à débiter en 1" = 3“', 50, la profondeur du canal h= l",25. La section en forme de trapèze avec talus à 45“.
On aura d’abord
En nommant! la largeur au fond, on aura
d’où
et par suite
Si le canal est à parois en terre on déduira de ces données
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/ De sorte que si le canal a 500“ de longueur sa pente totale sera égale à
Ce qui dans la plupart^des cas serait négligeable.
La vitesse de fond serait
Ce qui n’excède pas la vitesse convenable pour un fond de gravier.
Si le fond plus léger était susceptible d’être délayé par cette vitesse il faudrait recommencer le calcul, en supposant une vitesse movenne U inférieure à 0“*,60 en 1".
66. Proportions des canaux. Si les canaux sont en bois ou en maçonnerie à parois verticales, il convient, pour diminuer la résistance des parois, que la ‘profondeur d'eau soit la 'moitié de la largeur au fond.
Pour les canaux en terre, la largeur au fond est ordinairement égale à quatre, cinq ou six fois la profondeur, et les parois en talus.
Si l’on appelle
h la profondeur d’eau dans le canal , b la largeur au fond,
n le rapport de la base des talus à leur hauteur ,
on aura, pour les canaux en bois ou en maçonnerie à parois verticales ,
\=zhb = 2h%
et par conséquent Ainsi ,
Pour déterminer la profondeur d’eau qu'il convient cP adopter dans un canal en bois ou en pierre à parois verticales^ divisez faire
76 ÉCOULEMENT DE L’EAU
du profil de la section d'eau par 2, el extrayez la racine carrée du ijiiotient.
Exemple. Quelle doit être la profondeur d’eau dans le cas des exemples précédents, le canal étant supposé en bois et à parois verticales?
La règle ci-dessus donne
et par suite
Pour les canaux en terre ou revêtus en pierres sèches avec talus on a
\=:bh-\-nh^;
et si l’on fait
6 = 4/1, A = /i*(4-t-n), b = bh, \ = h*{h+n),
on aura donc la profondeur d'eau dans le canal par l'une des formules
selon le rapport que l'on aura adopté entre la base des talus et la profondeur d’eau.
Ces formules reviennent à la règle suivante ;
Pour déterminer la profondeur d'eau qu’il convient d adopter dans un canal en terre avec talus, ,
Divisez l'aire du profil de la section deau par le rapport de la base des talus à leur hauteur, augmenté du rapport 4, 5 oit 6, adopté pour celui de la largeur au fond à la hauteur.
Extrayez la racine carrée du quotient : le résultat sera la hauteur rhcrchée.
ÉCOULEMENT DE L’EAU
Exemple. Quelle devrait être la hauteur d’eau dans un canal eu terre avec talus à l" de base sur 1™ de hauteur, dans le cas des exemples précédents?
On a
La règle ci-dessus donne, si
b = <Jh A=y/Ï^=0”,496,
et par suite
67. Pente des talus. Pour les canaux revêtus en pierres sèches, on fait ordinairement n = 0,50 pour les talus en terre, n= 1 pour les terres franches, et n = 2 pour les sables ou terres coulantes.
68. PÉRIMÈTRE MOUILLÉ. La profoodeuT d’eau et la largeur du canal au fond étant déterminées, on calculera facilement le périmètre ou contour mouillé S.
Il sera
S = è -}- 2 /» pour les canaux à parois verticales ,
S = 6-|-2,23 /i, si les talus sont à 1 de base sur 2de hauteur,
S = 5-}- 2,83 h, si les talus sont à 1 de base sur 1 de hauteur, S=6-|-4,47 h, si les talus sont à 2 de base sur 1 de hauteur. •
Quel est le développement du périmètre mouillé dans le cas de l’exemple précédent?
On a
I^a règle ci-dessus donne
ÉCOULEMENT DE L^EAÜ.
69. Cas où la profondeur du canal est donnée d’avance. Dans quelques circonstances, la profondeur d’eau dans le canal ou sa largeur sont données d’avance par des conditions particulières. Alors on déduira celle des deux dimensions qui ne sera pas donnée de la connaissance de l’autre et de l’aire A du profil.
70. Pente a donner au canal par mètre courant. L’aire A du profil et son périmètre mouillé S étant connus, ainsi que le volume d’eau à débiter et la vitesse moyenne convenable , on calculera la pente du canal par mètre courant, ou sa déclivité, par l’une des formules suivantes, selon le type auquel se rapportera le canal dont il s’agit.
l.rTYPE. Parois très-unies 1 = 0,0001 1 1 +
2* TTPK. Parois unies 1 = 0,00019 1 1 4- \
r /\ rt •’ C \ TTJQ
3* TYPE. Parois peu unies 1 = 0,00024 | I -\ — |
il O*" C 1 T
Exemple. Quelle doit être la pente par mètre courant dans un canal à parois en terre pour lequel on a
La formule relative au 4* type donne
1 = 0,00028 j 1 + j 01406* xj^=0”, 000216.
L’on voit par ces exemples et par celui du n® 66 que pour les canaux d’usines on pourra la plupart du temps se dispenser de calculer la pente à leur donner, pourvu que la vitesse moyenne y soit faible.
7 1 . Cas où le canal doit être creusé en partie dans le roc ou sur le flanc d’une montagne. Dans ce cas l’économie et les conditions locales obligent à restreindre les dimensions du canal
ÉCOULEMENT DE L’EAU. 79
et à adopter des vitesses moyennes assez considérables, ce que permet d’ailleurs le plus souvent la grandeur de la chute.
Si, par exemple, il s’agissait d’un canal à creuser dans le roc pour débiter un volume d’eau 0 = en 1" avec une vitesse moyenne U = 1"’,50 et en donnant au canal à section rectangulaire une largeur de r",20, la profondeur d’eau devrait être de 0'“,555 et l’on aurait
1 me » 9
puis S = 2®, 31
puis la formule rekitive au 4* type, parois très-peu unies, donnerait
L’on voit que si le canal devait avoir une longueur de 500'", sa pente totale ou la perle à faire sur la chute disponible serait
72. Petïte totale. La pente totale sera évidemment égale au produit IL de la pente par mètre courant et de la longueur totale
du canal.
Exemple. Quelle doit être la pente totale du canal dans le cas de l’exemple du n** 70, sa longueur étant de 1200 mètres?
On a pour la pente par mètre courant
La règle ci-dessus donne
