SC
= - . =0,0184, 6 = 0“,264, et o = Û“',189.
Quoique la proportion la plus convenable soit la précédente,
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
l’économie engage souvent à refendre en deux les pièces de bois destinées à être employées dans les constructions. On fera alors a=^b dans la formule du n® 401, et l’on aura
Pc
404. Remarque générale relative au poids propre des solides. On observera que, quand on voudra tenir compte du poids propre du solide dont les dimensions ne sont pas connues, il faudra d’abord calculer ces dimensions en négligeant ce poids, puis le déterminer approximativement d’après cette première recherche, et ajouter la moitié de ce poids approximatif à la charge donnée pour calculer de nouvelles valeurs des dimensions, qui alors seront sufOsamment exactes.
D’après cette remarque, qui s’appliquera dans tous les cas où le poids propre du corps ou une charge uniformément répartie sur sa longueur pourrait avoir une induence notable sur sa résistance, nous nous bornerons à l’avenir à tenir seulement compte de la charge extérieure P.
40;5. Cas où la section transversale du corps est un carré. Si la section transversale est un carré, on a a= 6 et les formules précédentes deviennent : pour
la fonte
le fer
Pc
le bois de chêne ou de sapin
Pc
Exemple. Quel doit être l’équarrissage d’une pièce de bois à section carrée encastrée à l’une de ses extrémités et chargée à l’autre d’un poids de 2000 kilogrammes, la distance de la charge au point d’encastrement étant c= 1"*,50T
d’où
aide-mémoire.
HÉSISTANCE DES MATÉBIAIX.
400. Cas ou la section transversale est un cercle. Si 1 corps est un cylindre à base circulaire, on aura pour
Pc
la fonte f/* =
le fer (P =
le bois de chêne ou de sapin d' =
736312 ■ Pc
Exesiple. Quel doit être le diamètre d’un boulon en fer exposé à un effort de 600 kilogrammes exercé perpendiculairement à sa direction, à la distance de 0“,G6 du point d’encastrement?
La formule donne
d’où
407. Formule particulière pour les tourillons des roues HYDRAULIQUES. Pour Ics tourillons des roues hydrauliques, qui ne doivent point éprouver de flexion sensible, qui sont exposés à être mouillés d’eau et usés par le frottement du sable fin qu’elle culralnc avec elle, et qui sont ordinairement en fonte, on prendra
On observera que cette formule donne aux tourillons une force double de celle qui correspondrait à la formule du n*» précédent, et revient à prendre H = 3 750000 kilog.
Pour diminuer autant que possible la longueur de portée des tourillons, on est dans l’usage de faire c = d.
Premier exemple. La roue de Gucbwiller (n<> 137) pèse 25 000 kilogrammes ; elle peut contenir 5“ %500 d’eau : la charge totale sur ses deux tourillons est donc égale à 30 500 kilog., et chacun d’eux porte 15 250 kilog. La longueur des tourillons est égale à leur diamètre.
RÉSISTANCE DBS MATÉRIAUX.
La formule ci-dessus donne
Le- constructeur anglais a fait
Deuxième exemple. La roue de la fllature du Logolbach,. près Colmar, pèse 44000 kilog., chaque tourillon porte 22000 kllog.
On a
et par suite la formule donne
Le constructeur a fait
.rf = 0”,216.
Cette roue marche- depuis trente ans.
408. Tourillons des arbres exposés a des chocs. La même formule servira pour les tourillons des arbres exposés à des chocs, tels que ceux des marteaux, des pilons, des bocards ,, etc.
409. Tourillons des arbres bien graissés. Pour les autres arbres de communications de mouvement, qui sont bien graissés et s’usent moins que ceux des roues hydrauliques, on prendra les formules du 11“ 406, qui deviennent, en y faisant c=d, pour
la fonte
''’=589ÔM-
Exemple. Quel doit être le diamètre d’un tourillon en fer, bien graissé, qui doit supporter une pression de 800 kilog.?
La formule donne
d’où
"’=589ÔrO=°-‘’‘0^®;
drzrO^jOSeS.
388 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
410. Essieux des voitüres. La nécessité de diminuer autant que possible le travail consommé par le frottement des essieux des voitures a conduit à adopter, pour ce cas, la formule suivante, qui donne des dimensions plus faibles que les précédentes :
Pc
Essieux en fer ‘^’ = 7ÔÔÔÔÔ’
Cette formule revient à prendre R = 7 130 On observera d’ailleurs que l’on emploie pour les essieux des fers de première qualité.
Le tableau suivant des dimensions adoptées par les meilleurs constructeurs de voitures en Angleterre montre que cette formule reproduit, aussi exactement que possible, les dimensions déduites d’une longue expérience.
ESPÈCES de Toiiures.
Nombre
de
rouee.
Charge
de
cb»qae
easicu.
Portée
dea
essieux.
Dian
au gros bout.
être
an petit l>out.
Diamètre
au
gros bout calculé par la rurmule.
kil.
cent.
cent
cent.
Charrette de roulage..
La charge totale des diligences des Messageries générales de France dépasse rarement 5000 kil. Elle se compose du poids de la voiture, égal à 2000 kil. environ, sans ses roues; de 18 voyageurs, pesant moyennement 1200 kilogrammes; de marchandises, formantle complément, et pesant 1800 kilogrammes. Les deux premières porlions sont réparties à pey près symétriquement sur les quatre essieux, et les essieux de derrière portent environ les ^ de la 3v On a donc pour
chacun des essieux de derrière . . . P=1475‘“. chacun des essieux de devant .... P= 1025“'.
La longueur commune de ces essieux est c = 0"’,277.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 389
La formule cUdessus donne pour les essieux de derrière
et pour les essieux de devant '
Dans les ateliers de construction de ces messageries, on donne respectivement à ces essieux, fabriqués avec beaucoup de soin, des diamètres égaux à 0“,068 et 0“,063; ce qui revient à prendre moyennement
Ainsi la règle ci-dessus donne des dimensions plus fortes qu’il n’est nécessaire.
411. Soudes d’égale résistance encastrés par l’une de LEURS EXTRÉMITÉS. Poup diminuer le poids des pièces de support chargées à leur extrémité, on peut leur donner, dans le sens de leur longueur, la formé d’un solide parabolique qui ait la même résistance en un point quelconque de sa longueur.
Le profil longitudinal du corps est alors ordinairement une demi-parabole dont l’axe forme la partie supérieure ou inférieure du corps, ou une parabole eittière.
La hauteur et la largeur du solide à la partie encastrée sont encore données par les formules des n“ 400 et suivants; et, quand on connaît ces dimensions, dont l’une des deux est arbitraire, on détermine le profil du solide ou la parabole par l’équation
dans laquelle
X représente les abscisses de la courbe du solide comptées à partir du point où agit la charge,
y les ordonnées correspondantes dans le sens perpendiculaire à sa longueur.
390 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Celle équation rcvienl à la xèglc suÎTante :
Pour déterminer la courbure parabolique que doit avoir un solide d'égale résistance ,
Calculez d'abord, par les règles des îi" 400 et suivants, la hauteur du solide à la partie encastrée si sa largeur est donnée, ou sa largeur si sa hauteur est donnée;
Cela fait, portez sur sa longueur, à partir de l'extrémité extérieure, des distances ou abscisses égales; à texlrémité de chacune de ces abscisses élevez ii la longueur du corps des perpendiculaires égales à la racine carrée de la quatrième proportionnelle à lalongueur du solide, à l’abscisse correspondante et au carré de la hauteur au point dî encastrement.
Si le solide a la forme d’une demi-parabole , les ordonnées ;/ se mesurent depuis l’axe de cette parabole ou des abscisses jusqu’à la ooBrbe (lig. 58 et 69).
rig. Fig. s». IFIg. «0.
S’il a la forme d'une parabole entière, ces ordonnées se mesurent d’one branche à l’autre de ta courbe (fig. 60).
Cette forme convient particulièrement aux consoles ou corbeaux, chargés à Icar extrémité ou destinés à supporter des arbres de Irunsniission, etc.
412. Solides encastrés par l’une de leurs extrémités et ■Fig. #1. renforcés par DES NERVURES. Lorsquc Ic soüdc encastré par l’une de ses extrémités a la forme de la figure 61, la formule qui lie entre elles les dimensions et l’effort supporté est , pour les pièces en fonte,
■ot»— (g— a') (g— ■è)>+a'(è'4-6— g)»
Pc = 2 500 000 X-
dans laquelle
1 aà»+o^6'»+ao!fcà'
2 ab-\-a’b
RÉStSTANCK IVES MATÉRIAUX.
on a
Lorsqu’on adopte les proportions suivantes a'=b=la et b'=a,
La' formule à employer pour calculea- la valeur de a est
Pc
on a
Lorsqu’on adopte les proportions
a' = b=^a et b' = \a, ou environna.
La formule à employer pour calculer la valeur de a est . Pc
Exemple. Quelle doit être la largeur d’une pièce en fonte destinée à supporter à son extrémité un poids de 600 kilogrammes, à la distance de O™, 80 du point d’encastrement, et pour laquelle on æ donne a priori
d=b = la et b' = a.
d’où
a=6'=0”,099, 6 = o'= G", 01 98 soit O™, 020
413. Forme des consoles, corbeaux de support, etc. Ce profil, qui convient particulièrement aux consoles, corbeaux , etc., se combine souvent dans le sens longitudinal avec la forme parabolique, dont la courbure se déterminera par la règle du n* 41 1.
On calculera alors les dimensions du proPil à la partie encastrée, en laissant & la face supérieure la même épaisse»' et la Blême large» sur toute la longueur, et l’ôn donnera à Qa nervure un profil parabolique dans le sens de la longueur.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
La forme de ce profil sera déterminée par la relation
du n® 411.
Exemple. Quels doivent être les dimensions et le profil longitudinal d’une console en fonte dans les proportions de l’exemple du n® 412, et qui doit supporter à son extrémité un poids de 800 kilogrammes, à la distance de 1“ de la partie encastrée?
On a d’abord, par la règle du n® 411,
d’où
a = 6' = 0"',117, fl'=6 = 0"’,0234.
Puis l’équation
î/*= — a; = 0,1 37 ic
de la courbe du profil longitudinal de la nervure donne successivement
Aux distances de l’ex-
in
trémité égales à
Les hauteurs
414. Autre forme en usage. Si le solide présente la forme f ig. 62. (Je la figure 62, on aura la relation
Pc «6* —
Si, par exemple, on établit a priori les relations a'=^a, 6' = 2a,
la formule devient
Exemple. Quel est refforl que peut supporter le balancier de la machine à vapeur' des forges de Decazeville, de la force de 100 chevaux?
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Le constructeur, M. Hullette, a fait a = 0“,24, 6=1"*, 25, a' = 0“*,0876, 6'=1“',134, c=4“,40.
On trouve
Le diainèlre du cylindre = 0"’, 850 ; la pression dans la chaudière est au plus de 4 atmosphères en sus de celle de Tair ; la machine est à haute pression. Le double de la pression supportée par le piston (voir l’observation du n® 4 i 6) est donc
411$. Balanciers. Ce profil est celui que Ton donne aux balanciers des machines à vapeur, des machines soufflantes, des 63. pompes, etc. Mais, dans ce cas, la hauteur totale au I milieu est ordinairement égale à 12 fois l’épaisseur du corps du balancier.
Les nervures du dessus cl du dessous ont une largeur égale à i de la hauteur au milieu, ou à trois fois l’épaisseur, et une épaisseur égale à celle du balancier.
On a alors
a = \by a' = -j^6, 6' =
Pc
et la formule ci-dessus devient pour les balanciers en fonte 6*=
en bois
192 000’ Pc
416. Autre proportion envsage pour les balanciers des machines A vapeur. On donne souvent aux balanciers une hauteur égale à 16 fois l’épaisseur du corps, et l’on a, à très-peu près, les proportions suivantes :
La formule devient alors, pour les balanciers en fonte,
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
417. Observation. Dans rupplication des lorinules précédentes aux balanciers des inacliincs à vapeur, il parait que les constructeurs anglais sont dans l’usage * d’estimer l’eîTorl P supporté par l’extrémité du balancier au double de celui qui correspond à la pression habituelle de la chaudière, ce qui revient à prendre
Quoique la forme du profil longitudinal doive être parabo - Fig. 6v. liquc, et déterminée par la règle
du n® 411, on est dans l’usage de donner aux extrémités une hauteur égale au tiers de celle du milieu ; et on fait passer parles points ainsi déterminés des arcs de cercle, ou la courbe d’une règle flexible, qui limitent le contour supérieur et inférieuT du b.alancier.
Enfin pour compenser l’alTiiblissement produit par le percement des trous de boulons pour l’assembl.age du parallélogramme et des différentes tiges, on dispose au milieu, et suivant Taxe longitudinal de figure, unenervure de môme épaisseur que les précédentes, et qui règne des deux côtés.
Exemple. Qaclles doivent être les dimensions du^ balancier d’une machine à vapeur à basse nression dont le cylindre a un diamètre égal à 0™,90, la course du piston étant de
I>alongneur totale du balancier est (n° 207)
on a donc
3,0825Xl“',82 = 5"’,6l0 = 2c :
L'effort snpportë par le p'iston, en admettant que la vapeur ait une pression de 1,25 atmosphère, doit, d’aivrès l’observation précédente, être estimé à
* Trail/ des machines d vapeur, pw Tredgold, page 400.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
La formule ci-dessus donne
d’où
îôsW—
Cet exemple est relatif à la machine à vapeur de la filature de Logelbacb, construite par MM. Watt et Boulton. Ces ingénieurs, ont donné au balancier une hauteur égale à 0,750.
4t8. Cas 'OU le profil est renforcé far deux nervures. Lors* Fig. 66. que le profil a la forme indiquée (fig. 65), la foç- - , mule àiemployer pour les pièces en fonte est
a la’
’li
Pc
Dans le cas parliculier^où l’on fait
2a'-|-a=‘5 et W—a,
la formule devient
Pc — O*.
et SI de plus on se donne
la formule se réduit à
Si l’on Tait la formule devient
258 000 a = 4'5 = 6'=û', Pc
254 ÛOD
Si l’on avait négligé tout à fait l’influence de la nervure , on aurait eu
Pc
250 OOO’’
oetqui montre queidans^ee cas les nervures auginaitent peu la résistance :de tla pièce dans le sens de fia dimension >è.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Mais les pièces de cette forme sont habituellement employées comme supports horizontaux , mobiles autour de leur axe de ûgure; ou comme supports verticaux, et destinées alors à ré' sister dans tous les sens, et Tusage des nervures leur donne une' grande rigidité dans le sens des diagonales.
419. Bras en fonte des roues hydrauliques. Pour les bras des roues hydrauliques la forme ci-contre (ûg. 66) est assez con- Fig. 66. venable ; mais alors l’effort exercé par l’eau à la circonférence de la roue étant dirigé dans le sens de l’épaisseur 6, et les nervures étant toujours min ces, leur effet se borne à peu près à empêcher le bras de fléchir, de fouetter dans le sens perpendiculaire à l’efforl P, et l’on calculera les dimensions du bras par la formule
Pc
(ib' =
dans laquelle il conviendra de faire o= J 6 et qui deviendra alors
Pc
Si l’on fait a=^bj on emploiera la formule
Pc
Ces formules reviennent à la règle suivante :
Multipliez l'effort auquel chaque bras doit résister par la longueur totale de ce bras, à partir de l'embrasure ou du moyeu ;
Divisez le produit par
250000 si a = ib,
208000 si a = ^b,
La racine cubique du quotient sera l'épaisseur du bras dans le SOIS de V effort qu'il doit supporter.
420. Exemple. Roue de la cristallerie de Baccarat. La force de la roue est au maximum (expériences déjà citées sur les roues hydrauliques, page 138) de 20 chevaux, à la vitesse ordi-
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 397
naire de l'Oise à la circonférence extérieure de la roue en une seconde.
Le rayon extérieur de la roue est La longueur des bras est de . . .
Il y a quatre systèmes de bras.
On a donc
et comme a = ^ 6, on a
Le constructeur a fait
Cette roue marche depuis plus de trente ans.
421. Proportions de la nervure pour les bras des roues HYDRAULIQUES. Quant à la nervure, si elle règne de part et d’autre du bras, on fera
a'=l,5a et 6' = 0,66a.
Si elle n’existe que d’un côté , ce qui convient dans certains cas pour les roues à aubes courbes et les roues à augets à joues en tôle ou en fonte, afin de faciliter leur circulation dans le coursier, on fera
6'=0,66a et a'=3a ou 4a.
Pour les roues hydrauliques d’une grande largeur, et dont les aubes ou augets, en fléchissant, pourraient tendre à rapprocher les joues ou les extrémités des bras, il conviendra d’augmenter l’épaisseur et la saillie de la nervure.
422. Observation. Les bras des roues hydrauliques et des roues d’engrenage étant également sollicités à rompre par les deux bouts, il convient de leur donner la même épaisseur 6 dans le sens de la résistance sur toute leur longueur.
Quant à la largeur a, elle reste aussi la même dans toute l’étendue du bras.
RÉSISTANCE DES ÏFATBRrAÜN,
425. Règles pour déterminer l’epport que chaque bras d'une ROUE HYDRALTJQUE DOIT ÊTRE EN ÉTAT DE SUPPORTER. L’effort P exercé à l’extrémilé du bras est toujours facile à déterminer quand on connaît la quantité de travail transmise à la circonférence de la roue (voy. n' 181). Mais on observera que, s’il y a plusieurs systèmes de bras pour soutenir la roue, l’effoil exercé par l’eau se répartit entre eux à peu près également. On divisera donc l’efTort exercé par l’eau à la circonférence de la roue par le nombre de systèmes de bras qu'elle porte, et le quotient donnera la valeur de l’effort P que chaque bras, considéré isolément, doit être en étal de supporter. Celte valeur est un peu trop grande, et conduit, surtout pour les roues en bois, è des dimensions plus que suffisantes. Mais l’humidité altérant le bois, il est prudent de tenir les bras des roues hydrauliques plus torts, à proportion, que d’autres pièces.
424. Bras des roues d’engrenage. Pour les bras des roues d'engrenage en fonte on suivra encore la formule
en négligeant l’elTet de la nervure, qui est alors très-mince, et qui n’a guère pour objet que d’cmpéchcr le bras de fléchir perpendiculairement au plan de la roue.
On fera alors b= 5,5a, et l’on emploiera, pour déterminer 6, la formule
Cette dimension sera celle du bras près du moyeu et sur toute sa longueur.
Quant à la nervure, si on la répartit également des deux côtés du bras, près de l’anneau qui porte les dents, elle effleurera cet anneau de part et d’autre, et l’on fera a' = 0,5a.
Si la nervure règne d’un seul côté du bras, ce qui se fàit toujours pour les roues d’angle, elle affleurera encore le bord de l’anneau, et on fera o'=0,5a.
Cette nervure aura, dans tous les cas, près du moyeu ou de l’axe, une largeur plus grande qu’auprès de l’anueau.
RÉSISTArtCE DES MATÉRIAUX.
4Sd. EZBMPLE. RoUB D’EGRENAGE DE LA HEATURB DK GUEBwiLLER. Sur le premier arbre de couche conduisant toute kt filature la force maximum de la roue hydraulique est de 49,4 chevaux, à la vitesse de 1”,54 à la circonférence extérieure. Le rayon du pignon intérieur est égal à 0“’,89, celui de la roue d’engrenage est de 2", 63 : on a donc pour celte roue
et
d’où
6=0“,2I0 et fli = 0”,038.
Le constructeur anglais a fait
ft = 0",21 et a = 0”,047.
