D.M V D.MV

MD'+J’r'dm' M D* + I.

en désignant par I, le moment d’inertie de mass ej' r* dm’ du corps

choqué, par rapport à l’axe de rotation.

Dans le cas où l’effet du corps M animé de la vitesse V serait remplacé par une impulsion équivalente pu par exemple, la formule, en conservant d’ailleurs les autres dénominations, deviendrait simplement

D . (j.u D . |jl u

J' r * dm’ 1 *

Cette formule serait encore applicable au cas où un corps de masse p. animé d’une vitesse u avant le choc, transmettrait toute sa force vive au corps choqué et s’anéantirait aussitôt.

On démontre que dans ces différents cas, l’axe fixe subira iuiméme un choc toutes les fois que l’impulsion ne sera pas perpendiculaire au plan qui passe par l’axe et par le centre de gravité du corps choqué, et qu’en même temps la direction de celte impulsion ne passera pas par le centre de percussion de celui-ci.

On verra, au reste, l’application de ces principes à la pratique, aux mots marteaux, pendule balistique, etc., et avec des développements que le présent article ne comporte pas.

Comparaison des chocs et des pressions. Il n’y a, en général, aucun rapport numérique entre un choc et une pression simple, et les efforts que l’un et l’autre produisent ne sauraient être directement comparés entre eux. Le choc, en effet, n’est point un effort unique, mais une série continue d’efforts différents et successifs exercés d’instant en instant par la masse choquante, et absorbés par la niasse choquée. Ces efforts sont, il est vrai, mesurables à chaque instant et isolément par un poids; mais on ne pourrait pas plus les exprimer tous ensemble par une pression constante, qu’on ne pourrait, par exemple, exprimer par une pression du même genre la série continue

d'eflorUdifférentssubicpar le fond d’un vasecylindrique, vided'abord, et dans lequel un liquide s'écoulerait avec une vitesse variable, mais sansaucunedisconlinuité, jusqu’à cequ’il eût acquis un certain niveau. On voit clairement ici les efforts sur le fond du vase croître depuis zéro jusqu’au poids du liquide écoulé au moment où il a atteint le niveau; et évidemment nulle pression unique ne pourrait être égalée à la série des efforts variables du liquide. Voyez, au reste, sur ce point délicat et très important de la science, les considérations éminemment philosophiques distribuées dans les applications de la Mécanique industrielle de M. Poncelet, et que je ne puis résumer ici que fort imparfaitement.

Toutefois , si un choc et une pression ne sont pas directement comparables, il n’en est pas toujours de même de leurs effets, et les exemples suivants suffiront pour montrer comment ces effets peuvent être jusqu’à un certain point comparés entre eux.

Choc d'un mouton, battage des pieux. Soit P le poids du mouton, V sa vitesse due à la hauteur H au moment où il atteint le pieu, U la vitesse commune du pieu et du mouton, lorsque le choc est terminé, R la résistance variable que le terrain oppose à l’enfoncement du pieu, et pendant la durée de cet enfoncement. Pour obtenir une relation numérique, on est obligé de supposer, contrairement aux faits, que la force R n’agit point pendant la courte durée du choc, que cette résistance ne commence à agir que lorsque l’extrémité du pieu a pris la vitesse du mouton, et qu'à cet instant le choc est terminé. En admettant cette hypothèse très contestable, on trouve facilement pour la vitesse commune U que prendront à la fin du choc le pieu et le mouton

PV

Le système, après le choc, possédera dès lors une force vive (P+p,) P1 V*

9 9(P-fP')

capable d’un travail

Pour que ce travail soit épuisé par la résistance R du sol, de étant l’élément vertical de l'enfoncement du pieu, il faut qu’on ait

;r^H=/iu.-(P+PV.

On ne connaît point la relation qui lie la résistance du sol aux di-

yers degrés d’enfoncement; mais, si R peut être regardé comme constant pendant que l’extrémité du pieu s’enfonce de de, on obtiendra

(P^H Kp+p>=R.fd«==Re

R (P-fP<)« (P+P')-

On peut négliger ordinairement le dernier terme (P-f P') qui est très faible par rapport au premier, et poser

Si R croit à mesure que le pieu s’enfonce, appelant R, la dernière valeur de R qui est ainsi la plus grande, on a alors

R, >R, ou R, >

P' Il

Par conséquent, la résistance que le sol présente à la fin du battage est plus grande que le dernier membre de l’inégalité ci-dessus, et si cette résistance devait éternellement persister, le pieu pourrait sans s’enfoncer davantage être chargé d’un poids égal à R.

Soit P = 500*, P'^30011, H = 4“, et supposons que le pieu ait été enfoncé au refus de 0™.004 par coup, le poids R, dont on pourrait charger sa tête pendant quelque temps sans craindte qu’il s’enfonce davantage, pourrait être au moins égal à 312500*. Mais, ainsi que lo remarque M. Poncelet, les bois s’altèrent à la longue, les pilots qui résistent un instant aux efforts du choc d’un mouton peuvent s’affaisser et s’écraser sous des charges permanentes bien moins considérables; aussi propose-t-il, d’après les observations de Perronct de ne charger la tête d’un pilot enfoncé à refus que de la centième partie du poids R, lorsqu’il doit supporter des charges permanentes.

En pratique on exige ordinairement, pour un pilot de 0“.25 de diamètre et 3 à 4 mètres de longueur, que l’enfoncement produit par trente coups d’un mouton de 300 à 400 kil., tombant de 1™. 30, soit au plus de 0.004 à 0m.005; moyennant quoi il devient permis de charger chaque tête de pilot jusqu’à 25000 kil. d’une manière permanente.

Effort moyen dû aux chocs continus d’une lame d'eau qui entre dans une série d'augets . Supposons, comme cela a lieu dans les roues hydrauliques, que lorsqu’un auget ou vase mobile a parcouru un certain espace devant la lame d’eau qui s’y déverse, un second au-

gct le remplace immédiatement en parcourant ensuite le même chemin, puis un troisième et ainsi de suite, de telle sorte que les vases

reçoivent toute la masse d’eau M= — qui s’écoule par l’orifice en

une seconde. V étant la vitesse d’arrivée de l’eau sur l’augct ou sur la palette, V' la vitesse de ceux-ci où celle que l’eau conserve après le choc, a l’angle de ces vitesses, on trouve MV2 pour la force vivo de l’eau à son entrée, M V'* pour celle qui lui reste une fois qu’elle ne tourbillonne plus dans l’auget ou ch arrière de la palette, et que sa masse entière a pris la vitesse V' du vase. On a vu ci-dessus que la force vive absorbée par le choc était

M(y»j Y«2VV'cOS. a).

Le travail transmis par seconde aux parois du vase, abstraction faite de celui dù au poids du liquide, sera donc la moitié de la première quantité diminuée de la moitié de la somme des deux autres, ou

j M V* — ;MV’ — ~ M (V1-)- V" — 2 V V’ cos. a) =

M V'(V cos. a — V').

Si l’on représente par F la pression moyenne, qui, appliquée à nn point ayant la vitesse V' des aubes, reproduirait le travail F V’ transmis par le choc seul dans le sens du mouvement, on a immédiatement

. F = M (V cos. a — X').

Si l’angle des vitesses était nul, il viendrait F = M (Y — V'),

et si la vitesse d’arrivée de l’eau sur la palette était la même que la vitesse de sortie de l’orifice, S étant la section de la veine fluide el fl le poids du mètre cube du liquide, on aurait

expression qui devient elle-même

F nsv*sr,SH

lorsque la palette est immobile. La pression est alors égale au poids d’une colonne liquide qui aurait pour base la section S de la veine fluide et pour hauteur le double de celle qui est duc à la vitesse V du fluide.

Vérification expérimentale de la dernière formule. Les expériences

de M. Bidone paraissent avoir confirmé cette formule pour le cas où les molécules fluides s’échappent, après le choc, parallèlement à la palette.

Dans les autres cas, M. Bidone propose de faire

F=îHSH (,-^î.cos.,)

expression dans laquelle h est la hauteur due à la vitesse moyenne que les filets ont en quittant la palette, et sp est l’angle moyen que font les mêmes filets avec l’axe de la veine, ç est aigu quand le filet continue à se mouvoir dans le même sens que la veine, obtus quand il y a rejaillissement et qu’il revient en arrière. Dans le premier cas Cos. est positif et par conséquent F est < 2 II S1I, dans le second cos. <p est négatif et F > 2 II S H.

Si l’on supposait, par exemple, que l’eau s’échappât avec la même vitesse qu’elle arrive contre la palette et que cette palette armée d’un rebord fit rejaillir le liquide à angle droit, on aurait

- — — =r 1 if — 180° cos. if z= — I et F =: 4- Il SH. V H

Cette valeur donnée d’abord par Euler peut être considérée comme un maximum qu’on n’atteindra pas dans la pratique. Toutefois une veine de 0m.027 diamètre animée d’une vitesse de 9m.27 agissant horizontalement sur une plaque verticale de 0m.081 diamètre, munie de rebords de 0m.0079 hauteur, et placée à 0m.t6 de l’orifice, a donné à M. Bidone'

F = 3.9288 Tl S H.

M. Bidone, du reste, a été conduit, par l’observation, à faire une distinction entre l’effet du premier coup d’une veine liquide, et l’effet permanent qui le suit. Le premier l’emporte toujours sur le second, et est comparable à celui que produirait une masse finie et déterminée qui serait lancée avec une vitesse finie contre la palette. Il explique ainsi l’effet prodigieux des vagues qui agissent toujours par premier coup à des intervalles très rapprochés contre les obstacles qu’elles rencontrent, les effets subits des coups de vent, etc., etc. M. Bidone s’attache aussi à montrer que sa formule générale s’applique encore au cas où ce serait la palette qui choquerait le fluide dans lequel elle se mouvrait.

Quant au choc oblique et permanent contre un plan immobile, il paraîtrait que la pression moyenne F auquel il donne lieu, est généralement supérieure à celle qu'on tirerait de la formule théorique

F = 2 II S H sin. a.

II est vrai qne lorsque l’angle d’incidence a est au-dessus de 60°, le coefficient numérique 2 de cette formule ne s’élève pas à plus de 2.37; mais sous des inclinaisons de 10°, par exemple, il a dépassé 14. (Voyez Expériences sur la percussion des veines d’eau, par Georges Bidone, Turin, f836.)

Pression moyenne due au choc d’un corps sur une substance molle. Je donnerai encore, d’après M. Poncelet, la solution approchée de ce problème. Soit P le poids d’un corps très résistant, tombant d’une hauteur U sur une substance molle terminée par un plan de niveau et dans laquelle, par l’eiïet du choc, il s’enfonce d’une hauteur verticale e ; le travail dépensé par la pesanteur sera évidemment P(H + r) ; si l’on suppose que le corps P ne se déforme point, et que la masse de la substance qui reçoit le choc est très grande par rapport à P, qu'elle fasse partie du sol, parexemple, le travail ci dessus pourra être considéré comme entièrement consommé par la résistance R que la massechoquée oppose à la pénétration ; or, quelle que soit d’ailleurs la manière dont varie l’intensité de celte résistance aux divers degrés d’enfoncement, on aura évidemment :

P(H+e) = He d’oùR=^-fP.

R est donc le poids moyen et constant qui produirait, dans un temps plus ou moins long, l’effet que produit PH dans un temps très court t, qu’on obtiendrait lui-méme par la relation