COIN,— COLS
Si F calculé d’après cette formule a une valeur positive , le coin reculera ; si cette valeur est négative, non-sculemcut il ne reculera pas, mais il faudra un certain effort dirigé de la tête vers le tranchant pour vaincre les frottements auxquels il est soumis; enfin, si F=o, ce qui suppose
(t— //') sin. y =(/+/') cos. y, ou lang. T = —jj,. (i),
le coin sera dans une sorte d’état d’instabilité et le moindre effort pourra le faire avancer ou reculer.
Travail utile dans le coin. Soit de le chemin infiniment petit décrit à un certain instant par le point d’application de P dans la direction de cette force, il est facile de voir que de cos. a et de cos. J3 seront les chemins décrits simultanément par les points d’application de N et de N' perpendiculairement aux faces du coin, on a donc
P de= N de cos. a-|~N' de cos. jl=N de jcos.*-|— ^cos.pj ( k )
Introduisant dans celte équation les valeurs trouvées ci-dessus pour P, N,— ; représentant l’intégrale du second membre qui exprime le travail résistant par Tr et celle du premier qui exprime le travail moteur par Tm, il vient
sin. -f — ( f-\- f') cos. a cos. (3
(1 — )«“•?+ f/4-D cos- Y
expresion qui montre que l’angle y du coin étant donné, le travail résistant se rapprochera d’autant plus du travail moteur que cos. a cos. § se rapprochera plus de zéro, de sorte que le premier travail se rapprocherait le plus possible du dernier, pour une même valeur de y si l’on avait
cos. a cos. 6 = o,
ce qui suppose que a ou ^ est droit. Au contraire, le travail obtenu sera une fraction d’autant plus petite du travail dépensé que cos. a. cos. J3 sera plus grand, ce qui suppose
cos. a = cos. P oua=p.
C’est le cas du coin isoscèlc que la pratique a cependant consacré. (Voyez Cours de machines lithographié, de M. Poncelet.)
COLS ou PORTS. Dépressions qui se trouvent entre les hautes
sommités des chaînes de montagnes. C’est par les coh que l'on passe
d’un côté de la chaîne sur le revers.
En général, c’est dans le voisinage d’un col que se trouvent les sources des cours d’eau opposés, appartenant aux bassins qu’il sépare, et que les vallées opposées de chaque côté du faite sont à leur plus grand rapprochement.
COMBES, vallons étroits, profonds, escarpés et torrentueux des Hautes- Alpes.
COMBINAISONS, m choses que nous désignerons par les lettres abc... étant données, on peut les combiner enlre elles d’après les conventions suivantes :
1» ou l’on admettra tous les arrangements possibles sans rejeter ceux qui se trouveront composés d’une seule letirc répétée plusieurs fois, de telle sorte, par exemple, que abc combinées 2 à 2 donneraient dans ce système
aa
ab
ac
bb
ba
bc
ca
cb
Nous appellerons ce mode permutations avec répétition ou arrangements, et pour exprimer le nombre d’arrangements qu’on peut faire avec m lettres en les prenant p à p , nous emploierons la notation
[m Ap].
On aura en général ( p ne devant jamais excéder m),
[mAp] = mp
c’est-à-dire que pour avoir le nombre d’arrangements possibles de m lettres prises p à p, il faudra élever le nombre de lettres données à une puissance marquée par le nombre des lettres qui doivent entrer dans chaque arrangement.
Ainsi 4 lettres prises successivement 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, et enfin 4 à 4 donneraient
[4Al] = 4‘ = 4; [4A2]=4J= 16;
et la somme s réunie de tous les arrangements possibles de m lettres
prises depuis l’arrangement 1 à 1 jusqu’à m à m sera évidemment la somme de la progression
dans laquelle le premier terme est m, le quotient m est le nombre des termes m.
On trouverait de même pour la totalité des sjgnes réellement différents qu’on pourrait écrire avec les 2* lettres de l’alphabet
2° On peut aussi convenir de rejeter des arrangements précédents ceux tels que aa bb ce qui sont formés par la répétition d’une même lettre, de telle sorte que les trois lettres abc, prises deux à deux, par exemple, ne donneraient plus que
ab ba bc cb ca ac
et prises (rois à trois,
abc bac cba bca acb cab.
Nous appellerons ce mode permutation sans répétition, ou simplement permutation, et pour exprimer le nombre de permutations qu’on peut ainsi former avec m lettres prises p bp, nous emploierons la notation [mPpl.
On a en général,
[mP/>] = m, (m — 1) (m — 2) X (m— p-f 1),
. le nombre des facteurs devant être égal k p, cl p ne devant jamais excéder m.
Ainsi, 6 personnes pourraient être placées dans une diligence de [6P6] = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 720 manières différentes, et le nombre de permutations des 7 notes de la gamme musicale est de
8 personnes pourraient se placer de 40320 manières.
3° On peut enfin, toutes choses restant comme ci-dessus, convenir toutefois de ne prendre qu’une seule des permutations composées des mêmes lettres en rejetant les autres, ou. ce qui revient au même, considérer, par exemple, ah et ba comme une seule combinaison, ainsi que
abc bac cba bca acb et cab.
Suivant cc mode auquel nous réservons le nom de Combinaison , ces trois lettres abc prises deux à deux ne donneraient plus que ah ac bc c t trois à trois que abc. Nous exprimerons que m choses sont combinées php par la notation [mCp], et nous aurons en général
[m Pp] m(m— 1) (in— 2) X(m — P + I)
” ÎÏPÏÏ “ 1 X2X3 X P
cette expression devant avoir p facteurs.
On parviendra souvent à simplifier les calculs, en remarquant que
[mCp] = [mCç], quand m=p-\-q.
Ainsi [100 C 88] = [100 C 12], parce que 100= 88-]-12.
On trouverait que les 90 numéros de la loterie donnent 90 extraits, 4005 ambes, 117*80 ternes, 2555190 qualcrnes et *39*9268 quines.
m points dont on connaît les hauteurs absolues donnent — - ,
différences de niveau; combinés trois à trois, ils donneraient
m (m-<} (m-2i triangles.
On peut aussi passer du nombre de combinaisons de m lettres prises (p — t) à (p — 1) à celui de m prises p h p, h l’aide de la relation
[mCp] = [mC(p— »)]X
Enfin, l'on a aussi
[(»+!) Cp]=[mCp] + [»C(p—l)].
Ces relations apprennent à déduire les combinaisons de (m-j-1) lettres de celles de m lettres, et cela par une simple addition.
C’est sur ces relations qu’est fondé le triangle arithmétique de Pascal, qui se forme en remarquant que chaque nombre est la somme du nombre qui lui correspond dans la ligne supérieure, plus celui qui se trouve à la gauche de ce dernier. Ainsi, 165 (12« ligne) = 120-]- *5 (11« ligne).
